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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》河南—?jiǎng)⒓选O(shè)計(jì)—
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》河南—劉佳—設(shè)計(jì)—
4.4.2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉佳
一、教學(xué)內(nèi)容解析
本小節(jié)選自人民教育出版社出版的《普通高中教科書：數(shù)學(xué)A版》（必修第一冊(cè)）第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
《普通高中課程方案（2017年版）》指出：“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化．”本節(jié)課研究的對(duì)數(shù)函數(shù)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中函數(shù)主線中繼冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)之后另一個(gè)重要的初等函數(shù)，是基于研究函數(shù)的一般觀念的對(duì)數(shù)函數(shù)的研究．
從函數(shù)主線的宏觀角度來(lái)看，學(xué)生在初中經(jīng)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)．高中又通過對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)建立了完整的函數(shù)體系，并經(jīng)過了“理論應(yīng)用，方法示范”過程，對(duì)數(shù)函數(shù)處于高中對(duì)函數(shù)研究的“鞏固方法，豐富經(jīng)驗(yàn)”的階段．
從課時(shí)學(xué)習(xí)的微觀角度來(lái)看：新教材把對(duì)數(shù)函數(shù)的研究拆分成了兩個(gè)課時(shí)，上一個(gè)課時(shí)已經(jīng)完成了對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)．本節(jié)在研究函數(shù)的大方向指引下，通過對(duì)圖象的探索挖掘函數(shù)性質(zhì)，又通過對(duì)性質(zhì)的應(yīng)用加強(qiáng)對(duì)數(shù)函數(shù)和現(xiàn)實(shí)生活間的聯(lián)系，特別是最后反函數(shù)的引入，通過對(duì)同一問題中的兩個(gè)變量用兩種不同類型的函數(shù)去刻畫，使對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系更加清晰明朗．
本節(jié)課蘊(yùn)含了分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．對(duì)數(shù)函數(shù)的研究方法以及研究的問題具有普遍意義，有利于進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解．
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1．通過對(duì)研究函數(shù)的方法的總結(jié)，使學(xué)生掌握研究基本初等函數(shù)的一般方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，感悟數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在聯(lián)系．
2．通過對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的探究，使學(xué)生感受類比推理、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．
3．通過對(duì)情境創(chuàng)設(shè)、問題導(dǎo)向的體驗(yàn)，激活學(xué)生深度的理性思維．
4．通過合作探究的活動(dòng)，使學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提升學(xué)生的探究力、學(xué)習(xí)力．
三、學(xué)生學(xué)情分析
在初中時(shí)期，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了幾個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，到了高中階段，函數(shù)便成為了貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，對(duì)函數(shù)的研究也更加的深入．學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，并已完成了對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究，所以學(xué)生已經(jīng)基本熟悉了研究基本初等函數(shù)的方法和過程：背景——概念——圖象和性質(zhì)——應(yīng)用，也掌握了數(shù)形結(jié)合、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法．但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，仍保留著初中生許多學(xué)習(xí)特點(diǎn)，能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維過渡的階段，更注重形象思維．
四、教學(xué)策略分析
1．按認(rèn)知規(guī)律教學(xué)
本節(jié)課類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究方法，以基本初等函數(shù)的研究為單元的大概念教學(xué)引領(lǐng)了本節(jié)研究方向，符合知識(shí)發(fā)生的過程和學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律．
2．采用多樣化教學(xué)方式
教學(xué)過程中教師和學(xué)生共同參與，學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生積極自主的學(xué)習(xí)精神．其中小組間的合作為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題提供了契機(jī)；教具（透明坐標(biāo)紙）的使用，實(shí)現(xiàn)了對(duì)不同的函數(shù)圖象的自由組合，也使學(xué)生活動(dòng)更加豐富有趣；信息技術(shù)在教學(xué)中的使用，增強(qiáng)了圖象的直觀性，讓學(xué)生直觀感知圖象特點(diǎn)，符合新課程理念中的信息技術(shù)與課堂的深度融合；數(shù)學(xué)工具（計(jì)算器）的運(yùn)用，讓學(xué)生在真實(shí)的情境中動(dòng)手解決實(shí)際問題．
3．聯(lián)系實(shí)際，體會(huì)數(shù)學(xué)有用
創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中解決問題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)．
4．落實(shí)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練
針對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，本節(jié)精選了例題和當(dāng)堂檢測(cè)，并設(shè)置了書面作業(yè)和探究作業(yè)，做到實(shí)時(shí)評(píng)價(jià)，實(shí)時(shí)反饋．
五、教學(xué)過程
環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè)，方向引領(lǐng)
在研究對(duì)數(shù)函數(shù)之前，學(xué)生們研究過幾個(gè)基本初等函數(shù)，比如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，也由此得出了研究函數(shù)的一般“套路”．首先，由實(shí)際問題得到某類函數(shù)，并根據(jù)解析式特點(diǎn)抽象出這類函數(shù)的概念，即：結(jié)合實(shí)際，抽象概念．接下來(lái)，為了要研究函數(shù)，就要先作出圖象，再根據(jù)圖象特點(diǎn)去概括性質(zhì)，即：作出圖象，概括性質(zhì)．最后，回歸到研究函數(shù)的最終目的上，即：利用性質(zhì)去解決問題．今天，教師將帶領(lǐng)學(xué)生按照這個(gè)步驟繼續(xù)研究對(duì)數(shù)函數(shù)．
設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)的開頭，教師以研究函數(shù)的一般套路作為研究對(duì)數(shù)函數(shù)的第一個(gè)情境，以解決真實(shí)情境中的真實(shí)問題為導(dǎo)向，激發(fā)學(xué)生的理性思維．并構(gòu)造出了研究的大致框架，統(tǒng)領(lǐng)了本節(jié)的方向和內(nèi)容，也為學(xué)生今后研究其他的函數(shù)問題提供了方法指引．
預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：教師向?qū)W生展示研究函數(shù)的一般方法和過程的思維導(dǎo)圖．
環(huán)節(jié)2：啟發(fā)誘導(dǎo)，合作探究
構(gòu)建出研究框架后，為了引導(dǎo)學(xué)生研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)設(shè)計(jì)了第二個(gè)情境——類比指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，這里分為4個(gè)活動(dòng)展開．
活動(dòng)1：引導(dǎo)學(xué)生們回憶，之前在研究指數(shù)函數(shù)時(shí)，先用描點(diǎn)法畫了哪幾個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象呢？通過類比，能否確定本節(jié)要先畫哪幾個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呢？課前教師已經(jīng)給學(xué)生分了組并做了編號(hào)，每組都有A、B、C、D四名同學(xué)，引導(dǎo)大家根據(jù)教師的分工和要求，先完成探究一，并在坐標(biāo)紙上用描點(diǎn)法畫出函數(shù)
，
，
，
的圖象．（說(shuō)明：四個(gè)人一小組，按照下面圖片中的要求每人只畫一個(gè)圖象．）
探究一：
| x | ... |
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1 | 2 | 4 | 8 | ... | ||||
 |
... | ... | ||||||||||
 |
... | ... |
| x | ... |
 |
 |
1 | 3 | 9 | ... |
 |
... | ... | |||||
 |
... | ... |
|
|
和
時(shí)的圖象．此時(shí)學(xué)生猜想，老師通過作圖軟件驗(yàn)證學(xué)生的猜想，并引導(dǎo)學(xué)生完成探究二.
 |
 |
|
 的圖象 |
呢？最后讓學(xué)生完成學(xué)案上探究二．
軸對(duì)稱）教師帶領(lǐng)學(xué)生證明.軸對(duì)稱這一結(jié)論．在本活動(dòng)中，學(xué)生再次對(duì)不同圖象進(jìn)行組合、對(duì)比，學(xué)生再次經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)——猜想——驗(yàn)證的思維過程，引發(fā)了學(xué)生積極的思維活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．軸對(duì)折，發(fā)現(xiàn)兩圖象重合（對(duì)稱事實(shí)），教師引導(dǎo)學(xué)生去證明．|
|
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| 定義域 | ||
| 值域 | ||
| 過定點(diǎn) | ||
| 單調(diào)性 | ||
| 函數(shù)值變化情況 |
當(dāng) 時(shí), ______當(dāng)  時(shí),______ |
當(dāng)時(shí),______ 當(dāng) 時(shí),______ |
，
；
，
；
，
．
計(jì)量.的計(jì)算公式為
，其中
表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；
摩爾/升，計(jì)算純凈水的．
摩爾/升，胃酸的是多少？值的計(jì)算．
隨著死亡年數(shù)
的變化而衰減，它們之間滿足指數(shù)關(guān)系式
，定義域?yàn)?img height="24" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image079.gif" width="52" />，值域?yàn)?img height="24" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image081.gif" width="31" />，反過來(lái)，如果已知碳14含量，如何求死亡年數(shù)呢？由此引出對(duì)數(shù)函數(shù)
，它們的定義域和值域互換，并說(shuō)明這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．最后教師更改變量的符號(hào)，即
與
互為反函數(shù)．
與
互為反函數(shù)的結(jié)論，得出：一般地，指數(shù)函數(shù)
（
，且
）與對(duì)數(shù)函數(shù)
（
，且
）互為反函數(shù)．
具有互逆的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域之間的關(guān)系，完成探究四后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
_____
； （2）
______
； （3）
_____
．
的大小：
； （2）
； （3）
．
的定義域?yàn)?nbsp; ，過定點(diǎn) ． | §4.4.2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) | ||||||||||||||||||||||
一、圖象和性質(zhì)
|
 和 的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱.二、例3 解：（1） 三、一般地，指數(shù)函數(shù)  （ ，且）與對(duì)數(shù)函數(shù) （ ，且 ）互為反函數(shù)． |
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