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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》貴州—任
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》貴州—任
《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
本節(jié)課是《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)A版必修第一冊(cè)》第四章第五節(jié)函數(shù)的應(yīng)用（二）第一課時(shí)的內(nèi)容．
2.內(nèi)容解析
函數(shù)與方程是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位．本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及性質(zhì)、基本初等函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)，探究函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系以及函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的條件是函數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的應(yīng)用，同時(shí)本節(jié)課的學(xué)習(xí)也是為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”奠定基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用．
本節(jié)課要求學(xué)生通過(guò)二次函數(shù)的零點(diǎn)的定義抽象出一般函數(shù)的零點(diǎn)的概念，并通過(guò)對(duì)一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)以及二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系的判斷，推斷出一般的方程的根與相應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)、函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，通過(guò)分析具體二次函數(shù)零點(diǎn)附近的圖像和函數(shù)值的特征，結(jié)合其他函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的函數(shù)值特征，總結(jié)歸納出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理，最后利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理研究具體方程根的問(wèn)題，并利用信息技術(shù)作出函數(shù)圖像幫助學(xué)生直觀形象地理解本節(jié)內(nèi)容，體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值．
函數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，把函數(shù)在解方程中加以應(yīng)用，滲透了許多重要的數(shù)學(xué)思想，比如函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想．對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)，以及樹(shù)立學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的觀念與信心具有至關(guān)重要的作用．
故本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理．
二、學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的高一學(xué)生，在初中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)一元二次方程的根的三種情況有了深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)二次函數(shù)的圖象也比較熟悉，通過(guò)前面章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解了一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫(huà)法及函數(shù)的一些性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、最值等）．本節(jié)內(nèi)容是將函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步討論，通過(guò)幾個(gè)學(xué)生熟悉的具體函數(shù)，抽象出零點(diǎn)的概念，歸納函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)的條件，從而得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理．進(jìn)一步從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．從代數(shù)到幾何,從幾何到代數(shù)全方位理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間的關(guān)系，幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化對(duì)學(xué)生認(rèn)知水平的要求屬“最近發(fā)展區(qū)”，但學(xué)生對(duì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系把握不到位，應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，其觀察、歸納能力還有待進(jìn)一步提高．故函數(shù)零點(diǎn)的存在定理的生成過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)．這種從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)理解探究新知識(shí)的過(guò)程既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法．
故本節(jié)課的難點(diǎn)是：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出，以及理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理中的兩個(gè)條件是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件，借助函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1.根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的定義抽象出一般函數(shù)
零點(diǎn)的定義．在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；
2.通過(guò)對(duì)一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)以及二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，推斷出一般的方程的根與相應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)、函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系．在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
3.通過(guò)分析具體二次函數(shù)零點(diǎn)附近的圖像和函數(shù)值的特征，再結(jié)合更多函數(shù)圖像，通過(guò)觀察、對(duì)比、分析、總結(jié)歸納出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，得出函數(shù)零點(diǎn)存在定理。在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．
四、教學(xué)策略分析
根據(jù)＂建構(gòu)主義＂、＂最近發(fā)展區(qū)理論＂和本節(jié)課的特點(diǎn)，貫徹“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，問(wèn)題解決為主線，能力發(fā)展為目標(biāo)”的教學(xué)思想，采用啟發(fā)誘導(dǎo)，通過(guò)營(yíng)造問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究．充分利用學(xué)生熟知的一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，由淺入深，從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性，精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問(wèn)題鏈．采用“設(shè)問(wèn)—探究—歸納—定論”層層遞進(jìn)的方式來(lái)突破本課的重難點(diǎn),由淺入深，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神．著眼于知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程體驗(yàn)，給不同層次的學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的舞臺(tái)．
五、教學(xué)過(guò)程
（一）整體感知，明確任務(wù)
在“函數(shù)的應(yīng)用（一）”中，通過(guò)一些實(shí)例，我們初步了解了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)習(xí)了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)律的方法，體會(huì)了函數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具的重要性．本節(jié)我們將繼續(xù)探究和學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法。首先我們來(lái)探究函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間的關(guān)系．
設(shè)計(jì)意圖：小節(jié)統(tǒng)領(lǐng)明確研究的內(nèi)容和目標(biāo)．
（二）以問(wèn)題為導(dǎo)向探究新知
1.問(wèn)題引入
問(wèn)題1：判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)解？若有,是否有求根公式？
（2）
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：第一個(gè)方程是一元二次方程，它有實(shí)根，可用求根公式求解；第二個(gè)方程不會(huì)解．
回顧數(shù)學(xué)的發(fā)展史，古今中外的數(shù)學(xué)家們對(duì)方程的求解進(jìn)行了一系列的探索，并取得了驕人的成績(jī)：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了某些類型方程求解問(wèn)題，約公元50~100年編成的《九章算術(shù)》記載了一次方程、二次方程、三次方程的求根方法；南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”，提供了一種用算籌布列解任意數(shù)字方程的有效算法，此法可以求出任意次代數(shù)方程的正跟．
外國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)方程求解也有很多的研究：9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花啦子米（Al-Khowarizmi,約780-850）給出了一次方程和二次方程的一般解法，1541年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞（N.Tartaglia,約1499-1557）給出了三次方程的一般解法；1545 年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501-1576)的名著 《大術(shù)》一書(shū)中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費(fèi)拉里(LFerrari，1522-1565)的四次方程的一般解法．
設(shè)計(jì)意圖：教師提出問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲，凸顯研究的必要性，同時(shí)融入數(shù)學(xué)文化展示方程求解的發(fā)展史，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的眼光看問(wèn)題．
今天我們站在巨人的肩膀上利用函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)探究方程的解的情況．
問(wèn)題1：如何從二次函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)一元二次方程的根？
例如:一元二次方程的根是什么?它們與相應(yīng)的二次函數(shù)
有什么關(guān)系？
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：一元二次方程的根就是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即就是二次函數(shù)的零點(diǎn)。
問(wèn)題2：類比以上結(jié)論，對(duì)于一般的方程
我們是否也能從函數(shù)的角度來(lái)探究其解的情況？
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：能，方程的解就是函數(shù)的圖像與
軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
與二次函數(shù)一樣，這里我們也把方程的解叫做函數(shù)的零點(diǎn)．
設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)解決新問(wèn)題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神．
2.函數(shù)的零點(diǎn)定義探究
一般函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于一般的函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．
設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生直接將二次函數(shù)的零點(diǎn)的概念推廣到一般的函數(shù)，從而讓學(xué)生自己抽象出一般函數(shù)零點(diǎn)的定義，讓他們體會(huì)從特殊到一般的解決問(wèn)題的思路，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．
追問(wèn)（1）函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是方程的根，是一個(gè)實(shí)數(shù)。
追問(wèn)（2）由此我們可以得出：方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖像三者之間的關(guān)系是什么？
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：
方程的根（方程有實(shí)數(shù)解）
函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（函數(shù)有零點(diǎn)） （函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)）
因此關(guān)于方程的解的情況的探究可以轉(zhuǎn)化為探究函數(shù)的零點(diǎn)或者函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)情況．
設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義提出相關(guān)問(wèn)題，讓學(xué)生分別從代數(shù)和幾何的角度認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)的零點(diǎn)，以達(dá)到辨析定義的目的，同時(shí)緊扣最初我們提出的方程問(wèn)題將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度以及對(duì)轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理探究
問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們觀察二次函數(shù)
的圖像，并計(jì)算其零點(diǎn)所在的區(qū)間
和
上端點(diǎn)處的函數(shù)值你有什么發(fā)現(xiàn)？
學(xué)生回答（預(yù)設(shè)）：在區(qū)間
上零點(diǎn)左側(cè)的圖象在x軸下方，零點(diǎn)右側(cè)的圖象在x軸上方．相應(yīng)的函數(shù)
的取值在零點(diǎn)左側(cè)小于0，在零點(diǎn)右側(cè)大于0．即函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號(hào)，即
，在區(qū)間
亦然．
問(wèn)題4：觀察下列函數(shù)的圖像，思考：對(duì)于一般的函數(shù)，在其零點(diǎn)所在的區(qū)間
上 
是否也有上面的結(jié)論？
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時(shí)，函數(shù)在區(qū)間
上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況如何?時(shí)，若函數(shù)的圖像連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間
上可能有一個(gè)零點(diǎn)，也可能有多個(gè)零點(diǎn)；若函數(shù)的圖像不連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可能沒(méi)有零點(diǎn)．
時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況如何?時(shí)，無(wú)論函數(shù)的圖像連續(xù)與否，函數(shù)在區(qū)間上都可能有零點(diǎn)也可能沒(méi)有零點(diǎn)．滿足什么條件時(shí)它在區(qū)間上就一定有零點(diǎn)？滿足以下兩個(gè)條件時(shí)它在區(qū)間上就一定有零點(diǎn)？ 在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；�。� 
在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有
，那么，函數(shù)在區(qū)
內(nèi)一定有零點(diǎn)，即存在
，使得
，這個(gè)c也就是方程
的解．在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有
，那么，函數(shù)在區(qū)內(nèi)一定有零點(diǎn)，那么函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)呢?在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有
，那么函數(shù)
在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，再加上什么條件就能保證函數(shù)在區(qū)間
上有且只有一個(gè)零點(diǎn)？（請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)圖加以說(shuō)明）
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在區(qū)間
上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間
上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有
，是函數(shù)在區(qū)間
上有零點(diǎn)的什么條件？在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有
，是函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的充分不必要條件，為后續(xù)學(xué)生準(zhǔn)確應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．
的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
B.
C.
D.
的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．
，即
，且函數(shù)
圖象在定義越(0，+∞)上連續(xù)．由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．，x∈(0，+∞)，可以先將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)
與
，由于它們?cè)?0，+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增，所以函數(shù)
在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)．
只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖2所示，由圖可知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
表1| x | y |
| 1 | -4 |
| 2 | -1．306 9 |
| 3 | 1．098 6 |
| 4 | 3．386 3 |
| 5 | 5．609 4 |
| 6 | 7．791 8 |
| 7 | 9．945 9 |
| 8 | 12．079 4 |
| 9 | 14．197 2 |
解法三： 
和函數(shù)
的圖像可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程
只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
的根（方程有實(shí)數(shù)解）
函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)的圖像與
軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（函數(shù)有零點(diǎn)） （函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)
習(xí)題1,2
在區(qū)間(2，3)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，那么如何把零點(diǎn)所在的區(qū)間長(zhǎng)度縮短，又如何求其零點(diǎn)的近似值呢？（為下一節(jié)內(nèi)容做準(zhǔn)備）|
課題 一、函數(shù)零點(diǎn)的定義： 例1. 例2.
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