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視頻標簽：三角形中邊與角,之間的不等關系
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊13.3實驗與探究《三角形中邊與角之間的不等關系》濟源
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初中數學人教版八年級上冊13.3實驗與探究《三角形中邊與角之間的不等關系》濟源市濟水一中
13.3實驗與探究 《三角形中邊與角之間的不等關系》 教學設計
科目 數學
時間
2018.06.
課題 三角形中邊與角之間的不等關系 課型
活動課
教 學 目 標
知識與技能：（1）知道三角形中邊與角的不等關系；
（2）能利用軸對稱的性質進行探究三角形的邊角不等關系，能利用三角形邊角相等的知識，解決邊角之間的不等問題.
過程與方法：經歷"觀察→猜想→驗證→證明"等一系列活動，獲得合情推理、歸納推理能力，
積累數學活動經驗.
情感與態度：提供動手操作的機會，讓學生體驗數學活動中充滿著探索與創新，激發學生學
習幾何的興趣，獲得解決問題的成功體驗.
教學重點 添加輔助線,將邊角之間的不等問題轉化為“一個角是另一個角所在三角形的外角”的問題. 教學難點 折紙的無意操作與輔助線的有意添加結合.
教學過程
教學過程
設計意圖
一、課題引入
我們知道，在一個三角形中，如果有兩條邊相等，那么它們所對的角也相等.如果兩條邊不相等，那么：這兩條邊所對的角會不會相等？ 類比等腰三角形的邊角關系猜想.
二、 探究"大邊對大角" （一）觀察圖形，提出猜想
1）讓學生自己動手制作不等邊三角形（為了教學方便 統一制作△ABC，且AB＞AC）. 2）通過觀察圖形，猜想性質.
在⊿ABC中，邊AC對∠B，邊AB對∠C，同學們通過肉眼觀察可得到∠C大于∠B，故猜想大邊對大角.
（二）驗證猜想 量角器測量或折紙.
① 疊合法：沿ＢＣ邊的垂直平分線折疊. ② 沿角平分線折疊：作∠BAC的角平分線
AD，將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）.
通過觀察圖形發現：在一個三角形中角之間的不等關系.
根據研究幾何問題的一般思路和方法,體會觀察—猜想—驗證—推理證明的過程.
培養學生的動手操作能力,為后面證明時添加輔助線作鋪墊.
A
B
C
C'
D
A
B
C
E
D
B
C
A
2
③沿高翻折：作BC邊的高AD,將△ADC沿AD翻折（或將△ADB沿AD翻折）.
追問：通過折紙，如何說明∠C > ∠B？
通過幾何畫板演示驗證猜想的正確性,并歸納猜想.
猜想：在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大（簡寫成"大邊對大角"）. （三）證明猜想
師：我們通過折紙和幾何畫板驗證了猜想是正確的，你能否用學過的知識來證明你的猜想？
（1） 你能根據文字命題畫出圖形，寫出已知、求證嗎？ （2） 你認為證明兩個角不等的方法是什么？ （3） 從折紙的過程中你能獲得什么啟發？ 已知：如圖，在△ABC中，AB>AC . 求證：∠C > ∠B. 證法一:
證明：作△ABC中∠A的平分線，與邊BC交于點D.在邊AB上截取AE，使AE=AC,連接DE.
∵AD為∠BAC的角平分線（已知） ∴∠BAD=∠CAD（角平分線定義） 在⊿EAD和⊿CAD中
∵
（公共邊）（已證）作圖）ADADCADBADACAE( ∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS）
∴∠C=∠AED（全等三角形的性質） 又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B（等量代換）.
或作△ABC中∠A的平分線，與邊BC交于點D.在AC延長線上截取AB’，使AB’=AB，連接B’D .
既對所需知識進行合理
復習，也為后面學生添加輔助線構造基本圖形奠定了基礎. 驗證猜想具有一般性. 通過講解，提高學生語言表達能力和歸納能力.
會進行文字語言、圖形語言、符號語言的轉換.
培養學生語言表達能力和歸納能力.
讓學生逐步實現由實驗幾何到論證幾何的過渡.
規范書寫幾何推理的過程，尤其是注意輔助線的說明和折紙方法對應結合，將無意識的操作
變為有意識的添加輔助線.
C'
D
A
B
C
E
D
A
B
C
B'
D
A
B
C
3
A
B C
E
證法二
過A作BC的垂線，垂足為D，在BD邊上截取DC’，使DC’=DC，連接AC’ .
小結：沿角平分線所在直線翻折，使∠B或∠C轉移位置，利用三角形外角的性質證明了∠C > ∠B. 證法三：
在邊AB上截取AD,使AD=AC，連接CD. 由等邊對等角可知∠ADC=∠ACD.
又由三角形中外角的性質知∠ADC=∠B+∠DCB. 所以∠ADC＞∠B， 又因為∠ACB=∠ACD+∠DCB. 所以∠ACB＞∠ACD 所以∠ACB＞∠B.
或：由于AB>AC，故可延長AC到E，使AB=AE.
歸納結論：在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大. （簡寫成：在一個三角形中，大邊對大角）. 符號表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C > ∠B.
從對“大邊對大角”的探索過程中，你有何收獲？ （１）折紙對我們添加輔助線的啟發
（2）利用等腰三角形和軸對稱的性質（截長補短）構造全等，將角進行轉移.轉化為“一個角為另一個角所在三角形的外角”. （四）鞏固應用
1.如果一個三角形中最大的邊所對的角是銳角，那么這個三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？
2.如圖, ⊿ABC中，AD是中線，如果AB>AC，判斷∠BAD與∠DAC的大小關系， 并給予證明.
讓學生在運用不同方法證明的過程中提高思維的深刻性和廣闊性.
學生充分利用邊不等的已知條件添加輔助線.
培養學生總結歸納的能力，和評價反思的意識.
不同方法添加輔助線的本質是相同的.
例題條件中沒有角平分線、高等條件，區別于前面的題，學生經過嘗試，翻折變換無法實現，為實現目標角的轉移，引導學生關注中點條件.
D
A
B
C
C'
D
A
B
C
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通過此題讓學生充分鞏固和掌握利用旋轉變換添加輔助線的方法以及利用“大邊對大角”證明角不等關系的方法.
三、小結提升
1、本節課通過對三角形邊角不等關系的探究，我們了解了研究幾何問題的方法. “觀察圖形→猜想性質→實踐檢驗→推理證明”等一系列活動.
2、 在解決問題時，我們可以將新問題轉化到我們已知的、熟悉的定理，用已有
的知識解決新問題.利用軸對稱的性質，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉化為外角的問題，這種轉化的思想是研究幾何問題時常用的方法.
通過小結，使學生梳理
本節課所學內容和研究方法，把握本節課的核心——轉化，提升學生思
維的深刻性 ，養成善于總結的學習習慣.
四、布置作業
1、整理做法：選出兩種你喜歡的作法完成證明.
2、類比今天探究“大邊對大角”的活動過程，請你探究“大角對大邊”. 3、請你寫出今天探究過程中用到的所有數學知識.
作業1：規范書寫幾何推理的過程，并進一步鞏固所學.
作業2的推理，讓學有余力的同學課后充分探究，提高知識方法的遷移能力，并鍛煉克服難題的毅力.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
