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視頻簡介：

視頻標(biāo)簽：冪函數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)必修一2.3.1冪函數(shù)_天津市 - 濱海新區(qū)

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人教A版高中數(shù)學(xué)必修一2.3.1 冪函數(shù)_天津市 - 濱海新區(qū)

課題：§2.3冪函數(shù)
一、教學(xué)內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容
教材內(nèi)容是人教A版教材《數(shù)學(xué)（必修1）》2.3冪函數(shù)。
函數(shù)是刻畫一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化狀態(tài)，給出一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，它是覆蓋面廣、有統(tǒng)率作用的概念。而基本初等函數(shù)（I）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，又是為學(xué)習(xí)一般函數(shù)提供了方法和工具，在初中接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單的函數(shù)的又一次再認(rèn)識過程。為后面的選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。而冪函數(shù)的學(xué)習(xí)將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等形式的函數(shù)推向一個(gè)高度，研究一般形式函數(shù)性質(zhì)的方法提供一種模型。
了解五種冪函數(shù)，體會建立和研究一個(gè)函數(shù)的基本過程和方法，同時(shí)會運(yùn)用它們解決一些實(shí)際問題;體會研究問題從特殊到一般的過程。
（二）解析
教材將冪函數(shù)放在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之后,主要考慮到冪函數(shù)在以下幾方面的作用：第一，是冪函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用.第二，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了y=x、y=x2、y=x-1三個(gè)簡單的冪函數(shù)，對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認(rèn)識.現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu).第三，冪函數(shù)是基本初等函數(shù)（Ⅰ）研究的最后一個(gè)函數(shù)，在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之后，冪函數(shù)的學(xué)習(xí)與探究過程可體現(xiàn)類比的學(xué)習(xí)方法，滲透分類討論數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)歸納、概括的能力，并使學(xué)生進(jìn)一步體會并掌握研究基本初等函數(shù)的一般思路與方法.
二、教學(xué)目標(biāo)及其解析
（一）目標(biāo)
1、能從五個(gè)具體冪函數(shù)中認(rèn)識冪函數(shù)的一些性質(zhì)，畫五個(gè)冪函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力；
2、教學(xué)中通過冪函數(shù)中的變化，引起冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的變化，體現(xiàn)變化的觀點(diǎn)，滲透學(xué)生辯證思維的方法；
3、引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠從個(gè)性中歸納出冪函數(shù)的共性，從整體上觀察、分析冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力。
（二）解析
遵循教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體地位相統(tǒng)一的教學(xué)原則，本節(jié)課采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方法達(dá)到提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量的目的。從教與學(xué)的實(shí)際情況出發(fā)在教學(xué)過程中深入挖掘課本資源，通過從生活情境中抽象出，，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。整節(jié)課教學(xué)材料的選擇安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與度，幫助學(xué)生逐步學(xué)會思考。
圍繞本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教學(xué)過程中以問題為驅(qū)動，逐層遞進(jìn)，使學(xué)生對知識的探究由表及里，逐步深入。通過思考題，以“問題串”形式組織教學(xué)，通過探究，引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納、總結(jié)。
例題、練習(xí)、變式題的設(shè)置從淺入深，課后作業(yè)分層設(shè)置為鞏固型、思維拓展型兩個(gè)階段，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)機(jī)會。
三、教學(xué)問題診斷分析
1、在教學(xué)中學(xué)生首先遇到的困難可能就是高一學(xué)生雖然思維活躍，求知欲強(qiáng)，但在思維習(xí)慣上還有待引導(dǎo)。對函數(shù)的一般性質(zhì)探究不完善，定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、定點(diǎn)問題沒有自主探究意識，需要老師引導(dǎo)。
2、在教學(xué)中學(xué)生可能遇到的另一個(gè)困難是冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，特別是單調(diào)性的應(yīng)用，比較大小選擇構(gòu)造函數(shù)法，要分清是否是冪函數(shù)？是否是指數(shù)函數(shù)？是否是增函數(shù)？是否是減函數(shù)？
四、教學(xué)支持條件分析
在本堂課中,可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況的需要，利用計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器中的有關(guān)教學(xué)工具軟件幫助分析或思考下列有關(guān)問題：

利用幾何畫板或圖形計(jì)算器畫出函數(shù)，，的各自圖象，再合在一個(gè)坐標(biāo)系中，觀察圖像特征。
利用幾何畫板或圖形計(jì)算器演示，隨著的正負(fù)變化，觀察圖形的變化，區(qū)分的圖形特征。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題情境

問題1首先請同學(xué)們寫出下列y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
①正方形邊長x、面積y
②正方體棱長x、體積y
③正方形面積x、邊長y
④某人騎車x秒內(nèi)勻速前進(jìn)了1m,騎車速度為y
⑤某人購買了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付的錢數(shù)y
問題2上面5個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)？上述函數(shù)解析式有什么共同特征？（教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學(xué)生歸納）
共同特征：1.冪的形式
          2.冪的底是變量
          3.冪的指數(shù)是常數(shù)
【設(shè)計(jì)意圖】從五個(gè)例子中抽象出

，

這五個(gè)函數(shù)，觀察共同特征，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力，從生活情境引入新知可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)過程中，冪函數(shù)的定義由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)，同時(shí)在五個(gè)例子中得以應(yīng)用，形成呼應(yīng)。知識的形成并非強(qiáng)加給學(xué)生，而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)探索，符合最近發(fā)展區(qū)原則。

（二）新課講解
1.冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)

稱為冪函數(shù)（power function），其中

是自變量，

是常數(shù)。（對于冪函數(shù)，我們只討論

=1，2，3，

，-1時(shí)的情形。）
為了加深對定義的理解，請同學(xué)們做下面兩道練習(xí)題
1.①y=

②y=2x²③y=x²+x④y=0.2^x⑤y=x⁰⑥y=1屬于冪函數(shù)的是________.
2.若函數(shù)

是冪函數(shù)，則

值為________.
規(guī)律總結(jié)①的系數(shù)為1 ②底數(shù)為單一的 ③指數(shù)是常數(shù)
【設(shè)計(jì)意圖】每個(gè)概念的理解都應(yīng)從兩方面進(jìn)行辨析,知道什么樣的函數(shù)是冪函數(shù)？什么樣的函數(shù)不是冪函數(shù)？冪函數(shù)的特征讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，自己總結(jié)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理，理解更深刻。
2.冪函數(shù)的圖象
我們已經(jīng)對冪函數(shù)的概念有了比較深刻的認(rèn)識，回憶我們前面學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，我們在得出定義之后，接下來需要研究什么內(nèi)容了呢？（引發(fā)學(xué)生作圖研究函數(shù)性質(zhì)的興趣）
在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)

-1的圖象和性質(zhì)，請同學(xué)們在坐標(biāo)系（1）中畫出它們的圖象。（學(xué)生先畫教師利用多媒體展示）
（1）.函數(shù)

的圖像

（1）
根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你能畫出函數(shù)

的圖象嗎？（讓學(xué)生回憶基本作圖方法描點(diǎn)法）下面請同學(xué)們填完表格，然后分別在坐標(biāo)系（2）和坐標(biāo)系（3）中作出這兩個(gè)函數(shù)圖像。（學(xué)生作圖，教師巡視。教師利用多媒體演示,。）

x	y
-1.5	-3.375
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5	3.375

（2）.

的圖像

（3）.

的圖像

x	y
0
0.5	0.707
1
1.5	1.225
2

為了便于研究它們的性質(zhì)，下面我們把這5個(gè)圖像放在同一坐標(biāo)系中。

3.冪函數(shù)的性質(zhì)
觀察函數(shù)

^-1的圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi)。（小組討論解決）

函數(shù)					^-1
定義域
值域
奇偶性
單調(diào)性
公共點(diǎn)

思考：觀察五個(gè)冪函數(shù)的圖象和上面的表格，你能發(fā)現(xiàn)它們的性質(zhì)有哪些異同點(diǎn)嗎？
（1）.函數(shù)

^-1圖象都通過點(diǎn)(1,1)；
（2）.函數(shù)是

偶函數(shù),函數(shù)

是奇函數(shù)；
（3）.在區(qū)間(0,+∞)上，函數(shù)

是增函數(shù)，

^-1是減函數(shù)；
（4）.在第一象限內(nèi),函數(shù)

^-1圖象向上與Y軸無限地接近,向右與X軸無限地接近。
【設(shè)計(jì)意圖】借助多媒體工具輔助教學(xué)，強(qiáng)化對于冪函數(shù)性質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。作圖方法步驟及結(jié)果的呈現(xiàn)，為學(xué)生提供一種規(guī)范的解題作圖思路和具體操作方法，做到事事有章可循，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。
4.性質(zhì)的應(yīng)用
下面我們一起來嘗試冪函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用
已知冪函數(shù)

，求它的定義域，指出其奇偶性，單調(diào)性.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)強(qiáng)化了學(xué)生活動，由冪函數(shù)定義得到m=0，通過類比研究函數(shù)的一般性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、定點(diǎn)等問題，學(xué)生自主作圖得到函數(shù)圖象的過程完全讓學(xué)生完成，從而體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，在學(xué)生參與的過程中，教師要適時(shí)表揚(yáng)，適時(shí)提出新的問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)習(xí)慣。

典型例題

例1．
用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:
(1). 設(shè)x1, x2是某個(gè)區(qū)間上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，變形
(3). 判斷 f(x1)－f(x2) 的符號
(4). 下結(jié)論.

規(guī)律總結(jié)：若給出的函數(shù)是有根號的式子,往往采用有理化的方式

例2：比較下列各組中值的大小，并說明理由：
（1）1.1^0.5，1.4^0.5（2）（-3.14）^-1，

（3）1.4^0.5，1.4³
【設(shè)計(jì)意圖】比較冪值大小關(guān)鍵看是指數(shù)相同還是底數(shù)相同，若指數(shù)相同利用冪函數(shù)的性質(zhì)，若底數(shù)相同利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。
（三）當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：
1下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是 ( )

A. B. C. y=2x D.y=x^-1
2. 如圖所示，曲線是冪函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象，已知

分別取

四個(gè)值，則相應(yīng)圖象依次為：
3.若冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)

，則f(25)=______________
4.比較下列各組數(shù)的大小：
（1）0.75

_____ 0.76

（2）（-3.14）²_____

5. 冪函數(shù)y=(m

-m-1)x

在區(qū)間

上是減函數(shù)，求m的值為____________.
(四)小結(jié)：今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法有哪些？你有哪些收獲和經(jīng)驗(yàn)？（先讓學(xué)生總結(jié)，教師補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)）
內(nèi)容：冪函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用；
重點(diǎn): 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),冪的大小比較；

（五）布置作業(yè)：
【設(shè)計(jì)意圖】課后作業(yè)分層設(shè)置為A組鞏固型、B組思維拓展型兩個(gè)階段，為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)機(jī)會。
A組：
1.已知

是冪函數(shù)，則

_____,

______
2.已知冪函數(shù)

的圖象經(jīng)過點(diǎn)（9，

），則

.

3.若

<0，則

的大小關(guān)系是(　　)
A．

B．

C．

D．

4.比較下列值的大小
①

___

②

___

③

___

④

___

5.設(shè)

，

，則

的大小關(guān)系為____________

6.函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象如下圖所示，已知：

取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線
C₁、 C₂、C₃、C₄的n依次為(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
B組：
1.已知冪函數(shù)

是偶函數(shù)，且在

上是增函數(shù)，求

的解析式.
2.已知冪函數(shù)

的圖象關(guān)于

軸對稱，且在

上函數(shù)值隨

的增大而減小，求滿足

的

的取值范圍.
六、課外反思
討論一類函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)際上就是探究這類函數(shù)有哪些共同的特征，例如對于任意

，因此指數(shù)函數(shù)

的圖像都過（0,1）點(diǎn)，你能根據(jù)這樣的思想，結(jié)合函數(shù)

的圖象，討論一下冪函數(shù)

的基本性質(zhì).

視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn -----更多視頻請?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿皟绾瘮?shù)”其中的單個(gè)詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標(biāo)題為“人教A版高中數(shù)學(xué)必修一2.3.1冪函數(shù)_天津市 - 濱海新區(qū)”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“人教A版高中數(shù)學(xué)必修一2.3.1冪函數(shù)_天津市 - 濱海新區(qū)”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：983228566】 -----

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