視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島
本視頻配套資料的教學(xué)設(shè)計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯(lián)本站系客服
高中數(shù)學(xué)新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島
課題： 5.5.1兩角差的余弦公式
1.教學(xué)模式：本教學(xué)設(shè)計采用我校的“板塊式問題組”導(dǎo)學(xué)案教學(xué)模式和問題解決教學(xué)模式設(shè)計，共分成三個板塊進(jìn)行，在每一個板塊中設(shè)置合理的“問題串”，幫助學(xué)生有序、高效解決問題.
2.理論依據(jù)：本節(jié)課是在單元教學(xué)設(shè)計的理念之下，依據(jù)探究教學(xué)理論和建構(gòu)主義理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.課時教學(xué)設(shè)計要放在單元教學(xué)設(shè)計中，在單元教學(xué)設(shè)計中審視課時教學(xué)的地位和作用。在內(nèi)容上強調(diào)知識的連貫性和整體性，在思想方法上強調(diào)方法的普適性，明確本課時承擔(dān)的數(shù)學(xué)思想和方法.在素養(yǎng)目標(biāo)落實上強調(diào)可操作性.探究式教學(xué)又稱“做中學(xué)”、發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，教師提供事例和問題，讓學(xué)生自己通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑主動探索，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的一種方法.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強調(diào)以學(xué)生為中心，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)習(xí)者意義建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計最重要，利用板塊式問題組導(dǎo)學(xué)案開展教學(xué)就是希望實現(xiàn)學(xué)生主動建構(gòu)的目的.
-
內(nèi)容
兩角差的余弦公式.
-
內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變換與誘導(dǎo)公式銜接，一方面要推導(dǎo)獲得新的公式，另一方面要利用獲得的公式進(jìn)行恒等變形.兩角差的余弦公式的證明方法很多，不同的教科書在編寫過程中，因為整體立意不同，所以選擇的方法也不盡相同，本節(jié)課為了體現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以利用了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性證明兩角差的余弦公式.教科書首先設(shè)置了一個“探究”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主的思維活動.不失一般性，先研究
和
的終邊不相同時兩角差的余弦公式，再研究終邊相同時兩角差的余弦公式，進(jìn)而得到任意兩角差的余弦表達(dá)式--兩角差的余弦公式.在公式推導(dǎo)過程中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法.兩個例題，一方面，通過簡單的應(yīng)用，使學(xué)生初步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)形式及其功能；另一方面是要訓(xùn)練學(xué)生有序的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).因此在教學(xué)時要培養(yǎng)程序化的思維習(xí)慣.
基于以上分析，制定本節(jié)課的教學(xué)重點是：利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式及簡單應(yīng)用。
-
目標(biāo)
（1）經(jīng)歷兩角差余弦公式的推導(dǎo)過程，體會過程中涉及的數(shù)學(xué)思想和方法,提升直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；
（2）明確兩角差的余弦公式與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及它與誘導(dǎo)公式之間的內(nèi)在的統(tǒng)一關(guān)系；
（3）能從公式的正用，逆用以及變形用三個層面掌握兩角差的余弦公式.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
-
學(xué)生經(jīng)歷兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，明確研究的問題（依據(jù)三角函數(shù)的定義、圓的旋轉(zhuǎn)對稱性），進(jìn)而能夠找到等量關(guān)系，化簡后終邊不相同時兩角差的余弦公式.在推導(dǎo)公式的過程中，能夠明確兩角差的余弦公式與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系之間的內(nèi)在統(tǒng)一.
-
遇到兩角差的形式能夠快速展開，熟練應(yīng)用公式，能從兩角差的余弦公式角度得出誘導(dǎo)公式.掌握公式的特點，能比較順利的完成
這樣的題目.
四、教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)課面對的是高一學(xué)生，在知識上學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圓的有關(guān)知識等能力上學(xué)生具備了一定的直觀想象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算能力，但存在解決問題能力不足的現(xiàn)象。例如，發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉(zhuǎn)對稱性間的聯(lián)系、對
和
的終邊進(jìn)行分類討論及化簡
等都存在著探究問題能力明顯不足的情況，因此總體來說學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，能力一般，為最大限度提高課堂教學(xué)的效率，實行分組教學(xué)，小組合作學(xué)習(xí)探究，已實現(xiàn)學(xué)生間的互幫互助.
基于以上分析，制定本節(jié)課的
教學(xué)難點是：發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉(zhuǎn)對稱性間的聯(lián)系及推導(dǎo)公式的過程.
五、教學(xué)支持條件分析
借助多媒體課件、動畫軟件等信息技術(shù)工具展示單位圓中扇形的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生通過直觀觀察找到等量關(guān)系，進(jìn)而依據(jù)等量關(guān)系推導(dǎo)公式.借助課件，提高課堂效率.
六、教學(xué)過程設(shè)計
【課前預(yù)習(xí)區(qū)】
-
若
是任意角，它們的終邊相同，則= （用表示）；
若
是任意角，它們的終邊不相同，則
.
2.如圖
是任意角，它們的終邊不相同，終邊
和
與單位圓分別交于點
和
，
-
點的坐標(biāo)為 ，點的坐標(biāo)為 ；
-
點和之間的距離為 ；
3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系： 商的關(guān)系：
4.誘導(dǎo)公式：
設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)舊知，為后面學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.
【課堂互動區(qū)】
【情境引入】
三角學(xué)在生活當(dāng)中有著非常廣泛的應(yīng)用，大到科學(xué)研究、數(shù)理分析，小到足球射門的最佳角度問題、草坪鋪設(shè)的最優(yōu)化問題以及我現(xiàn)在說話時聲波的傳播問題等都和三角學(xué)密切相關(guān)，今天這一節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)平面三角學(xué)中最重要的一個公式之一：兩角差的余弦公式.
問題1：化簡：
，
，
問題2：請同學(xué)們想一想
的展開式是什么樣子的呢？
的呢？
設(shè)計意圖：以化簡
，
和
為起點，分析它們都具備兩角差的特征，而結(jié)果都和角
的正弦值和余弦值有關(guān)，這樣引入的目的在于加強知識前后的連貫性，讓學(xué)生明白兩角差的余弦公式不是突然出現(xiàn)，而是在前面學(xué)習(xí)過程中已有所接觸，同時猜想一般情況下兩角差的余弦公式可能的形式是什么.
【探究公式】
問題3：如何用任意角
的三角函數(shù)值
，
，
，
，表示
?
追問1：已知
是任意角，若它們的終邊相同，你能用
表示
嗎？ 追問2：如圖，
和
的終邊與單位圓的交點分別為
和
，請寫出點
，
的坐標(biāo).
追問3：請你說說
，
表示什么含義？
追問4：請你說說
表示什么含義？
追問5：請找出角
，說說你的辦法.
追問6：如圖，你能找到哪些等量關(guān)系呢？試從等量關(guān)系出發(fā)，看看你能得到什么結(jié)論？
設(shè)計意圖：設(shè)置合理問題串，問題間隙循序漸進(jìn)，問題設(shè)置的指向性要明確.在推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程中，為了找到
，開始時設(shè)置了以下追問追問2：你能用
和
表示以
為始邊，
為終邊的角嗎？追問3：請你說說
的幾何意義？當(dāng)從2過渡到3時，學(xué)生不知從何說起.2和3之間的過渡太大，問題指向也不明確.所以，我把問題調(diào)整為以上六個追問，學(xué)生能夠順利的回答
表示什么含義這個問題，從而突破本節(jié)課難點.
追問7：當(dāng)
和
終邊相同時，仍有上述結(jié)論嗎？
設(shè)計意圖：分類討論，推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，同時明確同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與兩角差的余弦公式的內(nèi)在辯證統(tǒng)一關(guān)系.
兩角差的余弦公式：
問題4：
設(shè)計意圖：回扣開始時提出的問題，首尾呼應(yīng)，同時鞏固加深理解公式.
【應(yīng)用公式】
例1 利用公式
證明：
（1）
（2）
（3）
問題5：兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式有何關(guān)系？
設(shè)計意圖：把兩角差的余弦公式中的某一個角換成特殊角以后，公式就變成了前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式，它們之間是特殊與一般的關(guān)系，雖然它們在形式上不同，但在本質(zhì)上是辯證統(tǒng)一的，我們從另一個全新的角度認(rèn)識了誘導(dǎo)公式,這六個誘導(dǎo)公式統(tǒng)一于這一個公式，兩角差的余弦公式是其一般化的表達(dá)，非常便于我們記憶,學(xué)習(xí)要經(jīng)歷一個由薄到厚再由厚到薄的過程.
例2 已知
，
，
，
是第三象限角，求
的值.
設(shè)計意圖：一方面使學(xué)生熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)形式及其功能；另一方面訓(xùn)練學(xué)生有序的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生程序化的思維習(xí)慣，首先確定解題依據(jù)的是哪個公式；其次，與公式相比，觀察題目的形式特點，確定需要求出哪些值；最后，根據(jù)第二部得到的方案求值，再代入，解決問題.
練習(xí)：
①
②
③
④
設(shè)計意圖：兩角差的余弦公式的逆向應(yīng)用，加深學(xué)生對公式的理解及應(yīng)用.
【課堂小結(jié)】
設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)包括知識小結(jié)和方法小結(jié)。學(xué)生自主梳理本節(jié)課的知識要點，形成知識框架，總結(jié)概括本節(jié)課蘊含的豐富的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
【布置作業(yè)】
設(shè)計意圖：包括基礎(chǔ)鞏固、能力提升和拓展延伸，分層布置，滿足不同學(xué)生需要，實現(xiàn)多元發(fā)展。
【板書設(shè)計】
設(shè)計意圖：呈現(xiàn)公式推導(dǎo)過程，規(guī)范例題解答，起到引領(lǐng)示范的作用.
公式： 例1：（略） 例2：（略）
特點：
（推導(dǎo)過程略）
當(dāng)
時 兩角差的余弦公式 小結(jié)：知識
與誘導(dǎo)公式關(guān)系 方法
當(dāng)
時
【課后鞏固區(qū)】
請根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況選擇適合自己的習(xí)題，其中A組為必做題，B組為拓展題
A組：
1.
=( )
A.
B.
C．
D．
2.（多選題）滿足
的一組
的值是( )
A．
B．
C．
D．
3.
.
4.
= .
5．已知
，
，求
.
6．已知
，求（1）
.（2）
.
B組：
1.你能利用公式
推導(dǎo)出
的展開式嗎？
2.已知
和
都是銳角，
，
，求
的值.(提示：
.)
七、教學(xué)評價
設(shè)計意圖：通過自我、同伴、教師評價使學(xué)生能夠正確認(rèn)識自己，彌補不足，發(fā)揚優(yōu)點，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)步.
|
|
自我評價 |
同伴評價 |
教師評價 |
|
|
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
好 |
良好 |
一般 |
不好 |
|
學(xué)習(xí)自信 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
學(xué)習(xí)態(tài)度 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
合作意識 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
應(yīng)用意識 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
創(chuàng)新能力 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
| -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“兩角差的余弦公式”其中的單個詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標(biāo)題為“高中數(shù)學(xué)新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“高中數(shù)學(xué)新人教版必修第一冊《兩角差的余弦公式》山東省青島”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請【點此聯(lián)系客服QQ：9899267】 ----- |
