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視頻標簽：平方根2,根號2
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學七年級下冊平方根2探秘根號2-北京
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人教版初中數學七年級下冊平方根2探秘根號2-北京市玉淵潭中學
北京市玉淵潭中學學科教學設計
基本信息
年 級 初一年級
教科書版本及章節
人教版6.1
學習領域/模塊
數與代數
單元教學設計
單元學習主題 第六章 實數
1. 單元教學設計說明
(1)加強與實際的聯系
本章內容與實際的聯系非常密切，例如算術平方根是從已知正方形的面積求它的邊長、立方根是從已知立方體的體積求它的棱長等典型的實際問題引出等等，將本章內容與實際緊密聯系起來，可以使學生在解決實際問題過程種，更好地認識實數的有關概念和運算. (2)加強知識間的縱向聯系，突出類比的作用
本章是在有理數的基礎上學習實數的初步知識，很多內容是有理數相關內容的延續和推廣，因此設計時注意了加強知識間的相互聯系，突出類比的作用，使學生更好地體會數的擴充過程中表現出來的概念、運算等的一致性和發展變化. (3)加強數學思想方法的引導語滲透
本章類比有理數，引入實數的相反數、絕對值等概念，以及實數的運算和運算律，教學時應注意引導學生體會類比這種研究方法的作用.實數與數軸上點是一一對應的，因此，可以利用數軸將“數”與“形”聯系起來，這不僅對理解實數的有關概念及運算很有幫助，而且對后續學習數學乃至研究數學都將產生深遠影響.讓學生初步認識“數形結合”的思想方法的作用.
2.單元學習目標與重點難點
學習目標：
(1)了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的算數平方根、平方根、立方根. (2)了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根，會用計算器求平方根和立方根.
(3)了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值. (4)能用有理數估計一個無理數的大致范圍.
重點：算術平方根、平方根的概念和求法以及實數的概念. 難點：平方根和實數的概念.
- 2 -
3.單元整體教學思路（教學結構圖）
(1)單元教學階段規劃
分三階段進行：平方根部分為第一階段；立方根部分為第二階段；實數部分為第三階段. (2)本章教學約8課時，具體分配如下（僅供參考） 6.1 平方根 約3課時 6.2 立方根 約2課時 6.3 實數 約2課時 小結 約1課時 (3)本章知識結構圖
課時教學設計
課題 探秘2 課型
新授課
1. 教學內容分析
2是人們最早認識的無理數之一，它的發現引發了數學史上的第一次危機，是數學發展史上的重要里程碑，不僅如此,2也是第一個教科書中用根號表示的無理數(這時還沒給出無理數的概念)，是無理數的經典代表之一；2 的研究過程和方法具有普遍性，可以遷移到研究其他用根號表示的無理
數.
本節課希望通過對2 的探究和認識，從知識層面，可以使學生從幾何和代數兩個角度了解無理數的存在性，了解無理數是一個無限不循環小數，能用有理數估計它的大小；從方法層面，加強學生估算能力的培養，了解并掌握如何用有理數逼近無理數；從情感態度的角度，培養學生參與數學活動的積極性，培養對數學的好奇心和求知欲.
2. 學習者分析
在2出現以前，學生已經知道乘方運算，通過觀察的方法求出一些完全平方數的算術平方根，但
對于像2這樣的非完全平方數，如何求它的算術平方根，對學生來講是個新問題. 本節課通過折紙認識第一個無理數2，探究“
有多大”的問題的過程，采用夾逼的方法，利用2的一系列不足近
似值和過剩近似值來估計它的大小，體現了“數學中的無限逼近的思想”并使學生體驗 “無限不循環小數”的含義，為后面學習實數做好鋪墊.能用有理數估計一個無理數大致范圍，并能用估算法解決一些簡單的實際問題,是課程標準對本節課的要求.但逼近法在以前的學習中從未出現過，學生一下子很難體會它的妙處，思維也很難展開，對學生綜合運用知識的能力有較高的要求,可以通過實踐操作利用折紙幫助學生直觀感受、理解.
乘方 開方
互為逆運算
開平方
開立方
平方根 平方根
實數
實數的概念
實數的運算
實數在數軸上的表示
- 3 -
3. 學習目標確定
（1）通過拼圖活動，從幾何角度了解2 的存在性；通過幾何方法找到2 在數軸上的位置，明白數軸上的點不僅僅表示有理數.
（2）通過探究2 的大小，從代數角度了解無理數的存在性；了解有理數夾逼的方法，能利用不足近似值和過剩近似值來估計2 的大小.
（3）通過視頻，猜想π及2 的“無限不循環性”的可能價值（目前數學界尚未證明，仍是猜想），激發學生學習數學的興趣.
4. 學習重點難點
重點：從幾何角度了解2 的存在性、從代數角度探究2 的大小，會用有理數逼近無理數，得到2 越來越精確的近似值.
難點：逼近法估計一個（無理）數的大小的思想，認識無限不循環小數的特點.
5. 學習評價設計
本節課以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性，充分調動學生的積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.
6.學習活動設計 教師活動
學生活動
【探究活動一】 拼一拼 尋找2 教師活動1
任務1：能否用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？
學生活動1
任務1是前一天的課后作業，課堂由學生展示交流，描述操作過程. 總結兩組正確拼法：
- 4 -
任務2：觀察這個面積為2的大正方形，它的邊長是多少？
任務3：沿著大正方形的對角線將其分成4個三角形，這四個三角形有何特點？
任務4：利用三角板、圓規，在數軸上找到表示22、- 的點
學生思考回答： 解：設大正方形的邊長為x ，則
22x
由算數平方根的意義可知
2
x
所以大正方形的邊長是2
學生思考后交流，引導學生發現可以用該直角三角形，構造長度2.
學生小組交流，通過幾何方法找到2 在數軸上的位置，使學生明白數軸
上的點不僅僅表示有理數.
活動意圖說明:任務1、2通過實際問題的操作探究，使學生明白不是所有的被開方數都可以表示
成一個有理數的平方，而實際生活中也確實存在這種情況，從而激發學生學習積極性；任務3的價值是引導學生發現直角邊為1的等腰直角三角形 的斜邊長即為2，也為下一步學習全等三角形做鋪墊；任務4的設計，幫學生找到2在數軸上的位置，使學生明白數軸上的點不僅僅表示有理數，擴充了數軸上的點所表示的數的范圍，為6.3實數的學習做鋪墊.
- 5 -
【探究活動二】 2有多大？
教師活動2
任務5： 2有多大？為了弄清這個問題，請同學們探究2在哪兩個相鄰整數之間？
【追問1】 2 是1點幾呢？你能不能得到2 的更精確的范圍？
【追問2】 你知道2背后的故事呢？
教師講述關于2 的故事
學生活動2
學生思考、討論并大概估計2有多大，由任務4通過數形結合，直觀可知2 大于1而小于2.
在拼圖環節和在數軸上找到表示2的點兩個環節中，已經做好鋪墊，學生試驗可得到平方數小于2且最接近2的1位小數是1.4，而平方數大于2且最接近2的1位小數是1.5，所以2 大于1.4且小于1.5……，用類似的方法反復上述過程，說明是2 一個無限不循環小數，以及什么是無限不循環小數．
活動意圖說明：在探究活動中加強培養學生的估算能力，滲透估算的思想和方法，感受兩個方向
無限逼近的數學思想，發展學生的抽象思維．了解無限不循環小數的特征，為后面學習實數做鋪墊；追問（2）通過2 背后的故事，引導學生學習無理數之父希帕索斯不畏權威，敢于創新，勇于追求真理的精神，同時大大提高學生探究的興趣.
- 6 -
【環節三】 初步應用
任務6：許多正有理數的算術平方根都是無限不循環小
數，如 3、5 、6 、7 等．你能根據估計2 的大小的方法，估計3 的整數部分是多少？5呢？
【追問】你對正數a的算術平方根的結果有了怎樣的認識？
學生在獨立思考的基礎上，學生交流，
在與學生溝通的過程中及時發現學生探究過程中的困難，給予及時指導幫助, 引
導學生對探究結果進行總結和交流.
讓學生對帶有根號的數能進行分類： （1）當a能表示成有理數的平方時， a
是一個有理數；
（2）當a不能表示成有理數的平方時，
a 是一個無限不循環小數.
活動意圖說明：任務6主要為了及時鞏固估算方法．讓學生會用有理數逼近無理數；追問設計目
的是為了讓學生及時歸納總結. 【環節四】 歸納小結
師生共同回顧2的探秘過程，并談談本節課的收獲（或疑問）
【環節五】 布置作業
(1)再探2，自學課本第58頁閱讀與思考“為什么說2不是有理數？”的證明. (2)教材第44頁的第2題；第47頁的第6題
7.板書設計 課題
1、尋找2 2、2有多大 3、課堂練習 4、歸納小結 …… …… …… …… …… …… …… ……
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8.作業與拓展學習設計
1.估計19的值在（ ）
A、 2和3之間 B、3和4之間 C、4和5之間 D、5和6之間 2.估計16 的值在（ ）
A、2到3之間 B、3到4之間 C、4到5之間 D、5到6之間 3.已知a ,b為兩個連續的整數，且ba11，則a+b= . 4.試比較下列各組數的大小
(1)4與15 （2）140與12 （3）72與6 （4）2
15與0.5
5.已知：a是17的整數部分，b-1是121的算術平方根，求：
9.特色學習資源分析、技術手段應用說明
學習資源分析
（1）2的發現，產生了第一次數學危機.教師講述有關2的故事，通過2 背后的故事，引導學生學習無理數之父希帕索斯不畏權威，敢于創新，勇于追求真理的精神，同時大大提高學生探究的興趣.
（2）觀看視頻《疑犯追蹤》第二季 第11集 09.51---11.30間，約兩分鐘，使學生明白學習π等無限不循環小數的意義，了解數學在實際生活中不可替代的地位. 技術手段
電腦投屏，作為教師播放課件之用.iPad實物投影，作為分享學生作品之用
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
