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視頻標簽：中考專項復習,銳角三角函數應用
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版九年級下學期中考專項復習“銳角三角函數應用”遼寧省 - 錦州
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《三角函數的應用》
教學設計
一、內容和內容解析 1.內容
北師大版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》九年級下學期中考專項復習—“銳角三角函數應用”.
2.內容解析
“銳角三角函數”是《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中“空間與圖形”領域的重要內容，初中階段主要研究銳角三角函數、解直角三角形及運用三角函數解決與直角三角形有關的實際問題，其知識結構如圖1所示,它是高中數學三角學的基礎,起著承上啟下的作用，因此這部分也是中考必考內容，在中考復習中必須給予重視.這其中，銳角三角函數應用是中考命題的重點和熱點，“不上高山，能測山高；不下湖泊，能量河寬”正是三角函數應用的獨特魅力所在，通常以應用題的形式出現，命題背景與生活密切聯系，主要涉及測量、航空、航海、工程等方面，是運用數學方法解決實際問題的一類典型問題.這類問題在考查三角函數基礎知識的同時對學生構建數學模型有了更高的要求，解決問題的關鍵是要善于從復雜的圖形中識別和構造出基本圖形，把錯綜復雜的問題簡化，抽象為合理的數學模型的過程.因此，本節課的教學重點為：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應用各種數學關系解直角三角形. 通過學習，學生進一步把形和數結合起來，提高分析問題和解決問題的能力.另外，在建立數學模型過程中，會更有利于發揮學生的主動性和創造性，把學知識、用知識、探索發現有機地結合起來.
圖1
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）掌握并靈活應用直角三角形邊角關系和勾股定理解直角三角形. （2）經歷從實際情境中抽象出數學基本圖形和數學關系的過程，感受“模型、抽象”的基本思想在銳角三角函數中的應用，積累數學建模的經驗.
（3）經歷觀察、討論等數學活動過程，發展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.
（4）在解決具體問題過程中，體會數與形之間的聯系，感悟數學思想，積累解這類問題的經驗，發展應用意識和解決問題的能力.
2.目標解析
目標（1）解決三角函數實際問題時要運用轉化的思想方法，把實際問題轉化為數學模型，進而找出要解的直角三角形（對于非直角三角形問題，需要添加適當的輔助線將其轉化為直角三角形問題），然后根據銳角三角函數，選擇合適的關系，解出所求的未知數的值，因此掌握并靈活應用各種關系解直角三角形是銳角三角函數實際應用的解題工具和基礎，為本節課的目標．
目標（2）《課程標準》對學生數學學習的總體目標規定“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識”.本節通過對實際問題的討論，培養學生的問題意識，讓其經歷從實際問題中抽象出兩類基本圖形和數學關系的過程，引導學生感受當兩個目標直角三角形都不可解時，用方程思想來解決,會產生柳暗花明之效.體驗運用數學知識解決實際問題的同時，滲透“數學建模”的思想.
目標（3）“動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式”.給學生自主探索的時間，讓學生在觀察、討論等數學活動過程中，發展合情推理能力；給學生寬松和諧的氛圍，讓學生在探索知識的過程中，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，學得更主動、更輕松，這樣不僅激發學生學習數學的積極性、主動性，還培養了其探索能力、創新精神、合作精神.
目標（4）數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓,是將知識轉化為能力的橋梁.數學思想方法的滲透使學生的思維能力發展先于知識能力，從而促進學生分析問題、解決問題能力的提高，應用意識的發展. 銳角三角函數實際應用中蘊含了豐富的數學思想方法，如轉化、方程、建模、數形結合等.在解決具體問題的過程中讓學生去歸納總結數學方法，從而深化成數學思想，是一種有效的教學手段.因此以經典范例為載體，逐漸滲透數學思想方法為本節課教學目標.
三、教學預測診斷分析
在知識層面上，九年級學生已經牢固掌握了勾股定理，三角形相似，也已經學習過銳角三角函數、特殊角度的三角函數值，并且掌握了直角三角形中各邊和各角的關系，在此基礎上，解直角三角形難度并不大，但在深入研究幾何圖形的基礎上，根據已知條件，靈活恰當地選擇直角三角形邊角之間的關系，要達到熟練運用的程度還有一定困難.
在心理層面上，九年級學生經過近三年的初中學習和生活，邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發展，他們思維活躍，有較強的接受能力和推理能力，同時還具備一定的數學探究活動經驗和應用數學的意識.但學生抽象概括能力有限，綜合運用所學知識解決問題，同時把實際問題抽象為數學問題以及將實物圖形抽象為幾何圖形的能力有待提高，因此需要通過觀察、思考、交流，進一步體會“航海”、“物體測量”等實際問題與銳角三角函數之間的聯系，感悟數學思想、積累解題經驗，提高應用數學和合作交流的能力.
基于以上分析，本節課的教學難點是：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應用各種數學關系解直角三角形.
四、教學支持條件分析
B分校C家
A主校MN
（1）學習工具單的使用避免了“老師講學生聽”滿堂灌的學習，使學生有了一個思維空間，學習效率更高，以問題形式呈現給學生，給了學生一個路標，讓學生知道學習的方向在哪里，帶著問題去學習，去思考，自己解決，品嘗到了學習的快樂.
（2）在設計并應用PPT課件整合教學資源的同時，運用幾何畫板幫助學生直觀理解三角函數應用的基本圖形之間的關系.
（3）各小組用答題版展示學習成果，這樣便于各小組之間的交流，也能直接觀察到學生解決問題時出現的亮點和錯誤，有助于教師了解學生的學情；這種集體展示形式極大地調動了學生的學習積極性和主動性，增強了學生的集體榮譽感，同時還鍛煉了學生的心理承受能力，提高了思維能力，起到了榜樣示范的作用.
（4）本節課以典型范例為載體，按照啟發、吸收、消化和發展的認識規律進行總體策劃，分階段、有步驟地滲透數學思想方法，在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通.
（5）為了充分發揮學生的主觀能動性，讓學生通過小組交流討論，大膽地發表意見，提高了學生學習數學的興趣.學生自己能構造實際問題中的直角三角形，并注重運用方程思想通過解直角三角形來解決實際問題，是一個質的飛躍.
五、教學過程設計 1．提出問題，引出課題
老師有一個問題想請同學們幫忙解決
引例：八中分校和老師家都位于東湖的堤壩線MN上，它們相距2000m，主校、分校及老師家構成了一個三角形ABC，測得∠ACB約為30°，∠ABM約為60°，我想知道主校到東湖堤壩線MN的距離是多少？
追問：你想用什么知識解決這一問題？ 師生活動：教師提出問題，引導學生抽象出數學圖形，運用啟發式追問讓學生積極思考后引出課題.
【設計意圖】注重學生的心理歷程，利用與生活實際有關的具體情境，搭起數學與實際問題的橋梁，讓學生體驗由生活情境抽象出數學問題，感受數學建模思想的運用，提高應用數學的能力.
2.課前整理，復習回顧
問題1：三角函數有什么作用？（求線段長或求角度） 問題2：你還學過哪些求線段長的方法？ 追問：哪種方法更簡便？
問題3：在解決問題的過程中，你發現三角函數的應用有哪些類型？ 師生活動：在教師的引導下學生積極思考回答.總結求線段長度常用的基本方法（勾股定理、相似、三角函數），發現三角函數應用的常見類型.
【設計意圖】通過學習工具單上的課前練習和本環節層層遞進的問題串，首
先使學生進一步感受到三角函數是求線段長度的有利工具，在原有求線段長度的經驗的基礎上，進一步深化理解三角函數方法的簡便性，并從中總結出三角函數應用的類型（即①只在一個直角三角形模型中應用三角函數②兩個及兩個以上直角三角形模型中應用三角函數）.為下面歸納、抽象出兩個基本圖形做好鋪墊.
問題4：在一個直角三角形中應用三角函數需要滿足什么條件？其解題策略是什么？
問題5：通常在應用三角函數解決實際問題時已知條件常為斜三角形，我們應該如何應對？
問題6：如圖所示的斜三角形如何作高轉化為直角三角形？你有幾種方法？ 問題7：這兩個基本圖形有什么聯系？ 師生活動：通過學習工具單學生已經在課前進行了討論復習，明確了確定直角三角形的條件和解題策略（有斜用弦、無斜用切、寧乘毋除、取原避中），對于斜三角形也有運用轉化思想化斜為直的意識，教師運用幾何畫板通過讓學生對斜三角形作高引出兩個重要基本圖形，并引導學生初步感知兩者的聯系.
【設計意圖】再次通過問題串啟迪學生思維，引導學生運用轉化的數學思想發現三角函數應用中的兩個重要基本圖形并形成感性認識，為下面小組合作探究環節形成對兩個基本圖形的理性認識奠定基礎.
3.合作交流，探求新知
活動一：小組合作、探究策略
探究分別在這幾種情況下當a為已知量時，如何求x的值，從中你總結出了哪些解題策略?
師生活動：學生先獨立思考然后分組進行交流、歸納，達成共識后，各組將自己的主答題寫在本組答題板上，所有學習小組完成后，每組選一名代表展示主講，其他組對比、評價后，教師引導學生歸納出兩類基本圖形的三種題型：
① 兩個直角三角形均（直接）可解
② 一個直角三角形（直接）可解從而另一個可解 ③ 兩個直角三角形均不（直接）可解 【設計意圖】課前給學生自主探索的時間，課上通過小組合作交流給學生寬松和諧的氛圍，不僅培養了學生對數學語言的表達能力和概括能力，同時也充分挖掘了學生的潛能，發展了合作探究能力.此環節突出了本節課的重點，學生在深入研究幾何圖形的基礎上，進一步提高了根據已知條件，靈活恰當地選擇直角三角形邊角之間的關系解決問題的能力，在比較和體會各圖形求解方法之間的差
異與共性的同時，也感受到方程思想在解決三角函數實際問題中的作用，這個環節為突破本節課的難點作好了鋪墊.
活動二：例題板演、規范書寫
幫助老師解決課前提出的實際問題. 師生活動：師生共同分析，教師板演.
【設計意圖】培養學生分析問題、解決問題的能力，同時滲透數形結合的思想，讓學生明確三角函數實際應用的步驟及解題過程.
本環節設定在上一環節之后，旨在對基本圖形深入分析的基礎上，讓學生對數學建模思想從表象認識逐步上升為本質認識，有了再認識，學生在解決后面實際問題時，就會潛移默化應用建模和數形結合思想以及歸納的解題策略去解決問題，這樣學生就能用積累建立圖形與解直角三角形的經驗去深入研究后續的問題，學會抓住事物的本質屬性，逐步形成能力.
活動三：圖形變換、化斜為直
典例1：如圖，三沙市一艘海監船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監船以20海里/時的速度繼續航行，2小時后到達B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時海監船與黃巖島P的距離BP的長．（參考數據：≈1.414，結果精確到0.1）.(2015錦
州)
師生活動：學生獨立思考后，交流解題方法，教師引導辨析總結.
【設計意圖】初看此題，從圖形、條件到問題給人的感覺和上一道例題屬于一個類型，仔細思考發現，由于特殊條件的限制，過點P作垂線段的方法不可行，但本質上有相通之處，稍加點撥，學生找到了解題方法.此環節意在讓學生學會多方法、多角度分析解決問題，突破教學難點，體會基本圖形之間的變化聯系和數學知識的辯證統一.
活動四：圖形變換、活學活用
典例2：某大橋采用低塔斜拉橋橋型（圖甲）， 圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設你站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是30°，拉索CD與水平橋面的夾角是60°，
兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD為20米，求 立柱BH的高度.(結果精確到0.1米，參考數據：2≈1.414，3≈1.732) (2017錦州一模)第21題
師生活動：此題由于是同年模考題，且得分率較低，學生印象深刻，因此師生共同分析完成.
共同歸納出結論：解直角三角形的關鍵是找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作輔助線構造直角三角形（作某邊上的高是常用的輔助線）；當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題化歸為直角三角形中的邊角關系.
常見的解直角三角形的典型變式圖形有以下幾種：
【設計意圖】精選習題，讓學生再次體會方程的思想在解三角函數實際問題中的巧妙應用，培養舉一反三能力，引導學生進行分類歸納的同時，不斷提高其分析問題、解決問題的能力，通過解決同類題中的本質問題，總結出這類題的解題方法和規律，從而達到觸類旁通的目的,進一步突破了難點.
4.發展思維，應用拓展
典例3：如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為45°，此時小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：3（即tan∠DEM=1：3 ），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長度（結果精確到1米）（參考數據：3≈1.73， 2 ≈1.41）(2015鐵嶺)
師生活動：本題為上一題的變式，學生獨立思考，在圖中添加適當的輔助線，將非直角問題轉化為三個直角三角形中元素之間的關系.
【設計意圖】檢驗學生對本節知識的掌握情況以及對教學難點的理解程度. 學生自己能夠根據題意構造實際問題中的直角三角形，并選擇適當的直角三角形來解決實際問題，這是思維的一個質的飛躍.
5.歸納小結,內化升華
通過本節課的學習你能從知識內容、解題策略、思想方法等方面談談收獲嗎？
師生總結：了解幾何模型之間圖形變換關系，有助于更有效的理解題意從而建立模型.
（教師結束語） 【設計意圖】引導學生梳理本節課在知識和數學思想方法等方面的收獲，形成知識網絡，提升對數學思想方法的理性認識.在培養學生及時總結，將知識內化、升華的同時，也讓學生體驗收獲知識的快樂和敢于展示自我自信的學習品質.
6板書設計
【設計意圖】思維導圖式板書是課堂教學引人入勝的“導游圖”，首先可以直觀形象地展示思維過程、凸顯重點和難點、體現教學意圖，提高課堂教學效率，增強教學效果，能更有效的實現課堂教學目標；其次，思維導圖的呈現方式可以刺激學生的多種感官，激發學習興趣點，即調動了左腦的邏輯思維，又能激發右腦的豐富想象力和創造力，有利于啟發學生獨立思考，培養學生發散思維和創新思維；此外，這樣的板書有助于學生建構知識網絡，把握知識之間的內容聯系和數學的本質.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
