視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數的關系》內蒙古—毛
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第十二屆全國初中青年數學教師課例展示與研討活動課《一元二次方程的根與系數的關系》內蒙古—毛鑫國
展示課指定題目
《一元二次方程根與系數的關系》教學設計
教學內容解析：
本節的教學內容是《數學課程標準》中“數與代數”領域的選學內容。是在學生掌握了一元二次方程的解法和根的判別式的基礎上進行的，事實上求根公式和根的判別式已經揭示了一元二次方程的根與系數的關系，教材這樣編排，要求既要注意數學知識的系統性，又要符合學生的認識規律。學完本節內容，能在不解方程的情況下判斷根的符號、求根、驗根以及求和根有關的代數式的值等。本節知識是本章前幾節內容的發展、深入和完善，是學習“二次三項式的因式分解，二次方程組的解法，二次函數”等知識的基礎，因此本節課起到了承前啟后的作用。又由于一元二次方程根與系數的關系是一元 n 次方程根與系數關系的特例，所以學習它也為今后進一步學習方程理論打下基礎。
教材這樣安排，一是滲透由特殊到一般的數學思想；二是培養學生觀察、比較、歸納和推理的能力，因本節的例題、習題既可用前面學過的解方程的知識解決，也可用本節知識解決，這樣將新舊知識加以對比，以體現用新方法解題的優越性。使學生今后在處理有關一元二次方程的問題時多一些思路和方法。
教學重點：一元二次方程根與系數的關系以及簡單應用
教學目標：
一、課程標準目標
了解一元二次方程的根與系數的關系。
二、單元目標
1.能用公式法解數字系數的一元二次方程，會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數根和兩個實數根是否相等，理解求根公式和根的判別式已經初步揭示了一元二次方程根與系數的關系；
2.經歷進一步探索一元二次方程根與系數關系的過程，了解兩根和、兩根積與系數的關系；
3.能用一元二次方程根與系數的關系解決簡單問題。
三、本節課目標
-
了解一元二次方程根與系數的關系，能通過系數表示方程的根、用方程的根表示系數，并能靈活運用韋達定理解決一些較簡單的問題；
-
探索一元二次方程根與系數的關系，經歷定理的形成過程，形成“探索—發現—猜想—證明—應用”的“做數學”的能力，發展符號意識與推理能力，體會特殊與一般、類比、轉化、整體代入等數學思想方法；
3.了解一元二次方程根與系數的關系的相關歷史，感悟數學家追求真理的理性精神，體驗數學美，品味多元數學文化。
學情分析：
一、學生已有認知基礎：學生已經掌握了一元二次方程的解法，能夠熟練運用求根公式解一元二次方程，熟練應用根的判別式判斷根的情況。
二、達成目標所需認知基礎：能經歷“探索—發現—猜想—證明—應用”的探索過程，以及從特殊化到一般化的完整過程。
三、已有基礎與需要基礎之間的差異：學生雖然具備了一定的計算基礎，但本節課的內容、思路都是學生前面方程研究中所沒有遇到的。九年級學生對事物的認識多是直觀、形象的。他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，對于具體問題歸納總結得到的一些結論，他們有一定的推理欲望和基礎，但更關注應用，雖然已經具備一定的推理證明、知識遷移、觀察總結歸納的能力，但是對所得結論的逆命題缺乏主動思考，需要教師給予恰當、適時引導。
四、教學難點及突破策略
1.本節課的教學難點：從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系，并用語言表述和正確推理。
2.突破策略：在特例中設定開放式問題，學生可以嘗試簡單的運算和組合，感受一元二次方程的根與系數的關系的多樣性，進而比較、討論這些關系中哪些不受根的出現順序的影響，更有研究價值，逐步建立起來關系，并能更加簡便地解決問題。
教學策略：
一、為了充分調動學生學習數學的積極性，促進學生主動思考，采用問題串引導探究活動，以開放式的問題作為引領，引導學生積極思考。
二、根據本節內容的特點和學生情況，需要借助探究活動，讓學生重構式地親歷“探索—發現—猜想—驗證”的過程，讓學生真正了解到根與系數關系的前世今生。從知識聯系出發，不僅做到了“知其然（怎么算），知其所以然（為什么要這樣算）”，還讓學生明白“何由以知其所以然（怎么想到這樣算）”。滲透由特殊到一般的數學思想。使學生今后對于公式、性質、法則、定理在整個數學知識系統中的作用、地位和價值有全新的認識。
三、基于本節課的內容和學生基礎，設計從相關知識的復習入手，目的是在鞏固舊知的基礎上為后續學習打鋪墊，然后拋出一個利用現有知識很難解決的問題，讓他們體會到現有知識的局限性，引發認知沖突，接著拋出一個開放式的探索問題，發展感性認識，合作意識，學生通過計算、比較、分析、歸納發現根與系數的關系。
四、教學要面向全體學生，并兼顧學有困難和學有余力的學生，對學有余力的學生，要通過講授選學內容和組織課外活動等多種形式，滿足他們的學習愿望，發展他們的數學才能。
五、本節課是開發數學學科德育功能的絕佳載體，因此，學生在課堂上通過合作學習、大膽展示、激勵性評價，完成愉快的探究、應用、感悟過程，使學生有效掌握數學原理和探究的一般規律，感悟用數學思考問題的方式方法，提高數學核心素養。
教學過程：
環節一：復習回顧
-
同學們，最近我們都在研究一元二次方程，那么你能想到關于它的哪些知識呢？
一元二次方程的定義
一元二次方程的一般形式：
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0)（板書）
一元二次方程有實數根的條件 (△=
b2-
4ac≥0)
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根，△=0時，方程有兩個相等的實數根，△＜0 時，方程無實數根。
一元二次方程的求解方法和求根公式
【設計意圖】以開放式問題引導學生思考，回憶一元二次方程的相關知識，有利于學生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡，為后面的學習作好鋪墊。開放性問題的另一個好處，是讓不同層次的學生均能夠參與其中，并在不知不覺中引入新課，進而激發學生的學習熱情，為本節課的探索之路做預熱練習。根據學生的回答，教師進行引導、跟進、展開、深化，在一系列的“問題串”后聚焦問題實質。
環節二：情境引入
-
同學們，請你談談對于解一元二次方程的感受？
-
確實，解一元二次方程的世界比較單調，所以人們總是在探索能不能不解方程就能知道根的一些情況，同學們目前能不解方程知道哪些情況呢？（根的判別式和求根公式）其實根的判別式和求根公式就是反映了根與系數的一種關系。
-
但是有時候用求根公式和根的判別式也很難解決的一些問題，比如說已知一元二次方程 ，你能不能用三秒鐘時間求出 的值呢？根與系數之間還有哪些千絲萬縷的關系呢？這就是我們今天要研究的內容（寫出課題）。
【設計意圖】通過具體繁雜的一元二次方程，現有知識難以快速得出結果入手，引起學生情感共鳴，激發學生學習、探索的興趣。
環節三：新知探究
活動一：從2
x²+3
x+1=0談起 （特例）
要求：（1）解方程；（2）把方程的兩根經歷簡單的運算、組合，其結果與系數有什么關系？猜想一下。
學生展示：找多個學生展示探索結果。
教師問題1：通過比較同伴的探索，發現有些關系的結果相同，有些關系的結果不同，為什么會產生這樣的情況？（加法、乘法交換律）
教師問題2：哪些結果不受根的順序的影響？
教師問題3：我們應該研究不受根順序影響的關系還是受影響的關系？今天，我們就從最具普適性，有研究價值的兩個關系開啟研究。
【設計意圖】本環節采用開放實踐、觀察、發現、猜想的過程，激起學生興趣點，引發學生深度思考得到兩根之和，之差，之積，之商等，然后觀察發現有些關系的結果因為根的順序而受到了影響，而乘法、加法不受影響，逐漸開啟研究主題。
活動二：請你再舉例實例，看看剛才的發現還適用嗎？（再試）
（學生回答問題后，老師追問）那是不是所有的一元二次方程都具備這樣的根與系數的關系呢？由此你得到什么樣的猜想？
設計意圖：再次嘗試舉例，增加學生的理解與感受。
活動三：延伸到
ax2+
bx+
c=0 (
a≠0且
b²-
4ac≥0)
進一步猜想根
x1，
x2與
a、
b、
c之間的關系（猜想）
【設計意圖】體會由特殊到一般的解決問題的思路，培養數學觀察、思考、歸納、能力。
活動四：你能證明上面的猜想嗎？請證明。（驗證）
（學生先思考可以根據實際情況再小組交流討論，老師板書）
一元二次方程
ax²+
bx+
c=0（
a≠0）當
b²-
4ac≥0時，有兩個實數根：
，
+
=
=
=
=
【設計意圖】不是直接給出定理，而是在“矛盾沖突”中思考怎么樣才能將猜想的結論推廣。通過利用一般式證明一元二次方程根與系數的關系，培養符號意識和邏輯推理能力，通過這四個活動給學生滲透解決類似問題的路徑：通過特例—再試—猜想—證明—應用五個過程，形成解決問題的方法。
活動五：
通過剛才的學習我們知道可以利用一元二次方程的系數表示根，那么能不能利用根來表示系數呢？（把一元二次方程的一般形式用兩根之和與兩根之積表示，培養逆向思維）
= 0
即：
【設計意圖】加深學生的核心素養的滲透與思考，利用得到的根與系數關系逆向去推出根表達一元二次方程形式，實質就是十字相乘法解一元二次方程的化簡形式，也可以利用這種形式來構建新方程，也是為后面二次函數的交點式做鋪墊。激發學生的探究欲望，引導學生思維的深度參與。讓學生在親歷知識發生發展的過程中，領悟根與系數關系的本質特征，實現德育教育與思維課堂的完美結合。
活動六：數學文化——韋達的簡史
16世紀，有一個法國人叫韋達，他曾經當過律師、議員，戰爭中破譯過密碼，一不小心從393416邊形中算出圓周率，并精確到小數點后九位，又一不小心成為第一個用字母表示已知量和未知量的人，第一個把代數變換應用到三角學中的人，一不小心獲得“西方代數學之父”的稱號，一不小心最早發現了根與系數的關系，所以我們也經常稱這個關系為“韋達定理”。那么，這么多的成就真的是他不小心獲得嗎？
（老師引導知識的獲得是源于滿腔的的熱愛與執著，希望每位同學都能夠用這樣的堅定去面對學習和生活）
【設計意圖】拓展數學文化修養，并突出“數學育人”功能，充分發揮學生主體角色，學生可以盡情地感受、聯想，形成良好的數學觀。課堂小結以及課后作業都有類似的內容，促進了學生知識結構的系統性生成，強化了學生對數學思想的認識，加深對數學文化的領悟感知。
環節三：典例精講
例:利用跟與系數關系，求解下列方程的兩根之和、兩根之積：
(1)
(2)
【設計意圖】鞏固對于一元二次方程根與系數的關系的知識，讓學生初步學會運用根與系數的關系來求兩根之和與兩根之積，比較簡便，并且加深學生對根與系數的關系的本質理解。
再次回顧思考
請用三秒鐘求出
的值。
【設計意圖】與前面呼應，加深學生對于一元二次方程根與系數的關系的優越性的理解，提高學生的興趣體驗。
環節四：學以致用
-
已知長方形的相鄰兩邊長是方程 x2–7x+8=0 的兩個根，則長方形的周長為 ，面積為 。
-
已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值。
3.小明和小華分別求出了方程 9
x²+6
x−1=0的根，
小明：
；
小華：
，
他們的答案正確嗎？說說你的判斷方法。
【設計意圖】進一步鞏固一元二次方程根與系數的關系 ，熟練應用一元二次方程根與系數的關系的知識解決問題，體會其作用。
環節五：課堂小結
今天的課程你了解到了哪些知識？通過什么方法得到的這個知識？學會了哪些解決問題的方法？這些知識或者方法對你今后的學習有哪些啟示？
【設計意圖】設問環環相扣，從而讓學生在掌握四基、提高四能的過程中能夠相輔相成，再次升華。
教后反思：
本課沿著定理發生和發展的脈絡，從而讓學生有了更深刻的了解。數學文化“知識源流”的維度讓學習自然而然，水到渠成。通過設而不求的數學思想，推導一元二次方程根與系數的關系定理，體現數學的簡潔美；多種數學方法的使用，引導學生體會數學的奇異美和理性精神，并完成了學習興趣的激發、學習信念的樹立、學習品質的錘煉，落實了“德育之效”。通過觀察、歸納、推理、證明的方式，步步引導學生發現數學定理。從數學思想的角度來看，韋達定理體現出整體性思想，教學過程體現出歸納思想，解題方式帶有化歸思想。教學過程中，設計了激發性的教學情境，以激起學生的“好勝心”為開端，學生在“好奇心”的激勵下主動探究韋達定理，在得出與歷史上數學家毫無二致的證明過程時，自豪感便會油然而生。學生在這種良好心理狀態下，保持情緒上的活躍和行動上的參與，都會提高學生的學習效率，啟發他們自主發現并驗證韋達定理，理解其深刻含義。在靜下心的反思中，也感覺到了很多不足，例如在利用特例探索發現的環節，如果學生能生成更多的關系，例如
x1²+
x2²，在最后就能引導學生體會韋達定理解決類似關系的方法，研究過程中還有一些想法沒能完全實現或實現的不夠。在今后的教育教學中我將繼續努力，砥礪前行！
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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