視頻簡介：
視頻標簽：第十二屆全國初中青年
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》湖南—余游
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第十二屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動課《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》湖南—余游
第十二屆初中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與研討活動
教學(xué)設(shè)計
一、基本信息
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參賽學(xué)科 |
數(shù)學(xué) |
執(zhí)教者 |
余游 |
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參賽項目 |
初中青年數(shù)學(xué)教師“課堂教學(xué)（視頻）展示” |
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教材版本 |
湘教版 |
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年 級 |
九年級上冊 |
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單元名稱 |
一元二次方程 |
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本課課題 |
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 |
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教學(xué)設(shè)計
（一）教學(xué)內(nèi)容解析
《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》是湘教版《數(shù)學(xué)》教材九年級上冊第二章《一元二次方程》第四節(jié)的內(nèi)容.方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間的重要數(shù)學(xué)模型，要求學(xué)生要領(lǐng)會模型思想、數(shù)學(xué)抽象，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.而《一元二次方程》是在學(xué)習了一元一次方程的概念、解法及建立方程模型解決實際問題以及它的幾何意義的基礎(chǔ)上，通過類比學(xué)習并運用轉(zhuǎn)化思想將其化為兩個一元一次方程來求解與研究的，為后續(xù)學(xué)習二次函數(shù)、一元二次不等式及研究高次方程等奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》以所學(xué)的求根公式、因式分解法解一元二次方程、比較系數(shù)法為基礎(chǔ)探究一元二次方程根與系數(shù)之間存在的關(guān)系，屬于初高中銜接的選學(xué)內(nèi)容.根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達（法國數(shù)學(xué)家）定理，是初中代數(shù)中一個重要的定理，在高中乃至初等數(shù)學(xué)的學(xué)習中有著廣泛的應(yīng)用，也是研究高次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的依據(jù)，所以具有承上啟下的作用.因此本節(jié)課的重點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的理解與應(yīng)用.
（二）學(xué)生學(xué)情分析
通過前面的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)掌握了用直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法解一元二次方程，會用判別式判定方程根的情況，學(xué)習了用提取公因式、應(yīng)用公式及十字相乘等方法對多項式進行因式分解和二次根式的加減乘除運算.已經(jīng)初步具備了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，有一定的邏輯思維能力，能主動的去思考，會將問題進行轉(zhuǎn)化，也能從特殊情況出發(fā)去探究一般性的問題.人教版教材是利用求根公式先求得一元二次方程
的兩根
，再求
和
的值，從而得到方程兩根之和與兩根之積的關(guān)系，導(dǎo)入直接，學(xué)生也容易理解，只是運算麻煩.湘教版教材根據(jù)《新課標》關(guān)于二次根式計算的要求及與高中和大學(xué)學(xué)習的統(tǒng)一，沒有采用這一方法，而是利用若
是
的兩根，則方程左邊的二次三項式
可因式分解成
,通過比較系數(shù)法找到根與系數(shù)之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論，是一種通性通法，但是學(xué)生難于理解.所以，本節(jié)課的難點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探究.
（三）教學(xué)目標設(shè)置
1.經(jīng)歷從二次項系數(shù)是1的一元二次方程這一特殊情況出發(fā)探究一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，并將二次項系數(shù)不是1的情況轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)是1的特殊情況，從而得到一般情況下的一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、證明、歸納的能力，滲透化歸、從特殊到一般再到特殊等數(shù)學(xué)思想.
2.能夠運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決已知一元二次方程的根或通過構(gòu)造一元二次方程求根后與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值問題，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，滲透整體思想、恒等變換思想.
3.能夠運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程根的定義解決已知一根求另一根及字母系數(shù)的值，學(xué)會從不同的方法中選取最優(yōu)的方法.
4.在問題探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識、合作精神，學(xué)會有邏輯的思考.
（四）教學(xué)策略
《課程標準》提出，教學(xué)活動應(yīng)將過去的教師教，學(xué)生被動接受學(xué)習轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，合作交流，大膽猜想，動手實踐，用已有的數(shù)學(xué)知識和方法解決數(shù)學(xué)問題。所以本節(jié)課遵循以教材為載體，以方法為紐帶，以核心素養(yǎng)為目標，講授法、討論法、演示法、啟發(fā)法相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習、探究學(xué)習、合作學(xué)習，同時借助多媒體技術(shù)，包括投屏，希沃游戲等豐富課堂形式,加強學(xué)生上課積極性.將每一個探究都作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的孕育點和生長點.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界.
（五）教學(xué)過程設(shè)計
一．作業(yè)點評
已知一元二次方程
的兩根分別為
，請求出下列代數(shù)式的值.
（2）
設(shè)計意圖：從作業(yè)入手，回憶用公式法解一元二次方程的有關(guān)知識，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò).同時讓學(xué)生在再探索過程中，很自然地體會到研究兩根之和與兩根之積的必要性.設(shè)置懸念，在最短時間內(nèi)將學(xué)生注意力迅速集中到新課學(xué)習上.
二．交流發(fā)現(xiàn)
1.按要求填寫下列表格：
觀察上表，你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？
設(shè)計意圖：學(xué)生通過計算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)在二次項系數(shù)為1的情況下一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，體會由特殊到一般的認識過程.
三．探究學(xué)習
1.運用已學(xué)知識證明：如果一元二次方程
的兩個根分別是
、
那么：
2.思考：在二次項系數(shù)不為1的情況下，方程
的兩根之和與兩根之積與系數(shù)之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
結(jié)論：若一元二次方程
的兩個根分別是
、
，則 .
設(shè)計意圖：通過探究活動，促使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)知識的“再發(fā)現(xiàn)”，經(jīng)歷“觀察、猜想、驗證”這一過程。培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，豐富學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).
希沃Pk小游戲：運用韋達定理迅速求出方程的兩根之積與兩根之和.
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
-
在方程
中，
= ，
= .
設(shè)計意圖：運用多媒體技術(shù)，加強與學(xué)生之間的互動，增強課堂趣味性.同時通過小題及時練習鞏固，體現(xiàn)學(xué)以致用的觀念,增強學(xué)生運用新知的能力.
例1 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根
的和與積.
-
（2）
設(shè)計意圖：緊扣教材，例題示范，規(guī)范學(xué)生書寫過程，加強學(xué)生運用新知的意識，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，讓學(xué)生充分參與教學(xué)，在參與的過程中得到充足的體驗和發(fā)展.
情境回歸：已知一元二次方程
的兩根分別為
，請求出下列代數(shù)式的值.
（1）
(2)
變式 已知一元二次方程
的兩根分別為
，不解方程，求
的值.
設(shè)計意圖：回歸作業(yè)，首尾呼應(yīng).培養(yǎng)學(xué)生知識遷移能力，滲透轉(zhuǎn)化、整體的數(shù)學(xué)思想.并在問題探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識、合作精神，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考.
例2 方程
有一個根是
,求方程的另一個根及
的值.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用根與系數(shù)之間的關(guān)系去解決關(guān)于一元二次方程根的有關(guān)問題，通過比較讓學(xué)生感知韋達定理在運算上的簡便作用.學(xué)會從不同的方法中選取最優(yōu)的方法.
六．課堂小結(jié)
-
我們研究了什么？
-
我們是怎么研究的？
-
在研究過程中我們體會到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？
設(shè)計意圖：不僅注重知識點的回顧，還進行過程的回顧，領(lǐng)悟探究過程中蘊含的思想方法，回歸問題的本質(zhì).理清知識脈絡(luò)，形成有結(jié)構(gòu)的知識體系并培養(yǎng)和提升學(xué)生歸納概括和語言表達的能力.
七．拓展延伸
如果
滿足
且
求代數(shù)式
的值.
設(shè)計意圖：鞏固已學(xué)知識，發(fā)散學(xué)生思維，滲透方程思想，提升學(xué)生綜合解決問題的能力，讓學(xué)生有所學(xué)，有所獲.
八．課后作業(yè)
分層作業(yè)：A層：課本48頁第1，2，3題（必做）
B層：課本48頁第5題（選做）
設(shè)計意圖：巧妙設(shè)計分層作業(yè)，讓不同水平的學(xué)生都獲得不同的發(fā)展，使得作業(yè)更加貼近學(xué)情，落實國家的“雙減”政策.
四、教學(xué)反思
優(yōu)點：
1、將探究根與系數(shù)的關(guān)系分為初探、再探兩個層次，即將二次項系數(shù)為1和非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，給予學(xué)生一個適度的梯度探究空間，符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，使得每一位學(xué)生都能參與其中. 在循序漸進的教學(xué)原則下，通過“特例探究——一般猜證——深化理解”的教學(xué)設(shè)計，由“觀察——猜想——再觀察——再猜想”的探究過程，使學(xué)生感悟認識事物的規(guī)律是由特殊到一般，由具體到抽象的思維過程，學(xué)生在這樣的氛圍下，會感到新知是舊知的自然延伸和自然流露，對于學(xué)生而言，既經(jīng)歷了一次探究性學(xué)習，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的機會.
2、在整個教學(xué)設(shè)計中，充分發(fā)揮了教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的作用，通過學(xué)生自身體驗過程、探究發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生獲得求知的欲望；通過發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的方法與思想.通過例題、習題的解決滲透恒等變換、化歸、類比等數(shù)學(xué)的思想，以此為載體，充分發(fā)揮其素質(zhì)教育的功能，培養(yǎng)起學(xué)生的發(fā)散性思維和探究能力.
不足：
本節(jié)課教學(xué)設(shè)計注重開發(fā)學(xué)生的思維能力,學(xué)生理解很好，但是掌握起來卻有一定困難。在今后的教學(xué)中應(yīng)注意加強化繁為簡的教學(xué)方法，課堂45分鐘內(nèi)的內(nèi)容準備一定要充分、簡單，使學(xué)生有成就感.還應(yīng)注意鍛煉學(xué)生們的獨立思考能力，在課堂上留好充足的練習時間.
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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