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視頻標(biāo)簽：二次函數(shù),動(dòng)點(diǎn)問題

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題-新

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人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題-新　疆 - 石河子

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題 
1、如圖，已知二次函數(shù)y=42
3
412
xx的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC．   (1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______ ； 
  (2)線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；   (3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?       
2、已知拋物線
)0(2acbxaxy經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）和點(diǎn)C（0，8）
，且它的對(duì)稱軸是直線2x。 （1）求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）求此拋物線的解析式； 
（3）連結(jié)AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B）不重合，過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；  
（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的
坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由。            
3、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止． 
（1）求拋物線的解析式；  （2）若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？  （3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似？ 
        
 
                    
             
                    
                            2 / 5 
 
y P(x，y) A 
B 
C 
O N 
D 
x 
y＝kx＋4 
4、如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (2,4)；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3. （1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式； 
（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從
圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度．．．．．從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）.① 當(dāng)t=
時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由； 
② 設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 
             
5.已知拋物線y＝ax2
＋bx＋c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（12,0）和C（0，－6），對(duì)稱軸為x＝2． 
（1）求該拋物線的解析式； 
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD＝AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由； 
（3）在（2）的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點(diǎn)M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．   
 
   
7．如圖，拋物線y＝ax2
＋bx＋c經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)N，直線y＝kx＋4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、D兩點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)B(1，m)、C(2，2)． (1)求直線與拋物線的解析式． 
(2)若拋物線在x軸上方的部分有一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，設(shè)∠PON＝，求當(dāng)△PON的面積最大時(shí)tan的值． 
(3)若動(dòng)點(diǎn)P保持(2)中的運(yùn)動(dòng)線路，問是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積等于△PON的面積的 8
15？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．          
2
5
圖2 
B 
C 
O 
A D E 
M 
y x 
P 
N · 圖1 
B 
C 
O (A) 
D 
E M y 
x 
x
y
OQ
P
D
B
C
A
 
                    
             
                    
                            3 / 5 
 
   
答案：1、 
2、解（1）∵拋物線
Cbxaxy2的對(duì)稱軸是直線2x∴由對(duì)稱性可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，0） 
（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線
Cbxaxy2的圖象上8C將A（-6，0）
、B（2，0）代入表達(dá)式得 
824086360baba解得
38
32ba∴所求解析式為83832xxy[也可用(6)(2)yaxx代入C(0,8)求出a]  （3）依題意，AE=m，則BE=8-m∵OA=6，OC=8，∴AC=10∵EF//AC  ∴BEF≌BAC 
4540mEFABBFACEF
即過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則54
CABSFEGSinin mmFGEFFG845405454BFEBCESSS)8)(8(218)8(21mmmmm42
12 （4）存在.理由如下：02
18)4(214212
2且mmmS∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8 
∵m=4∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（——-2，0）BCE為等腰三角形 3、解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC=AB=4．∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．∵拋物線y=ax2
+bx+c過點(diǎn)B，∴c=2． 由題意，有16420,16422.
abab
解得1,16
1.4
ab

∴所求拋物線的解析式為
211
2164
yxx
． （2）將拋物線的解析式配方，得2112216
4
yx．∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）． 
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE．即BP=FQ．∴t=6－3t，即t=32．  
（3）欲使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似， 
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有BPOQOBBO或BPBOOBOQ
，即PB=OQ或OB2
=PB·QO． 
①若P、Q在y軸的同側(cè)．當(dāng)PB=OQ時(shí)，t=8－3t，∴t=2．當(dāng)OB2=PB·QO時(shí)，t(8－3t)=4，即3t2
－8t+4=0．解得12
223
tt，． 
②若P、Q在y軸的異側(cè)．當(dāng)PB=OQ時(shí)，3t－8=t，∴t=4．當(dāng)OB2=PB·QO時(shí)，t(3t－8)=4，即3t2
－8t－4=0．解得t
．∵t=4273
<0．故舍去，∴t=4273．∴當(dāng)t=2或t=2
3
或t=4或t=4273
秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)
Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似． 4、解：（1）（2）①點(diǎn)P不在直線ME上②依題意可知：P（,）
，N（，） 當(dāng)時(shí)，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形PNCD，依題意可得： 
 
=
+=+== ∵拋物線的開口方向：向下，∴當(dāng)=
，且時(shí)，=當(dāng)時(shí),點(diǎn)P、N都重合，此時(shí)以P、N、C、D
為頂點(diǎn)的多邊形是三角形.依題意可得，==3綜上所述，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積S存在最大值21/4． 
5、解：（1）方法一：∵拋物線過點(diǎn)C（0，－6）∴c＝－6，即y＝ax2 
＋bx－6 
由2,21441260
b
aab
解得：116a，14b∴該拋物線的解析式為2116164yxx 
方法二：∵A、B關(guān)于x＝2對(duì)稱∴A（－8，0）設(shè)(8)(12)yaxx＝＋－
C在拋物線上，∴－6＝a×8×(12)，即a＝1/16 ∴該拋物線解析式為：211616
4
yxx 
（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝22
86＝10＝AD∴點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，連結(jié)DQ，如圖： 顯然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ為△ABC的中位線 ∴DQ＝
1
2
AC＝5AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5 ∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在t＝5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分 在Rt△BOC中，BC＝2
2
612＝65∴CQ＝35 ∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒
3
55
單位長(zhǎng)度． （3）存在．如下圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝22
93＝310 
① MP＝MQ，即M為頂點(diǎn)，設(shè)直線CD的直線方程為y＝kx＋b（k≠0），則： 
602bkb

，解得：3
6kb∴y＝3x－6當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－3 ∴M1(1，－3) 
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)，設(shè)直線x＝1上存在點(diǎn)M（1，y），由勾股定理得：42
＋y2
＝90，即y＝±74∴M2（1，74）；M3（1，－74） ② PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)．過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，交直線x＝
1于F，則F（1，－3）設(shè)直線x＝1存在點(diǎn)M（1，y）由勾股定理得：2
2
(3)590y，即y＝－3±65∴M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65） 
xxy42ttttt42
30
tPNCPCDSSSODCD21BC
PN212321
242
12ttt332tt421)23(2tt2
3
3230
t最大S4
21
03或tABCD
SS矩形2
1322
1
x
y
OQ
P
D
B
C
A
M5
M3M4
M2
M1
F
H
E
x
y
O
Q
P
DB
C
A
 
                    
             
                    
                            5 / 5 
 
綜上所述，存在這樣的五個(gè)點(diǎn)：M1(1，－3)；M2（1，74）；M3（1，－74）；M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65） 
6、(1) 根據(jù)題意，將A(21，0)，B(2，0)代入y= x2
axb中，得0
2402141baba，解這個(gè)方程，得
a=23，b=1，∴該拋物線的解析式為y= x22
3x1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)。∴在△AOC中，AC=22OCOA=221)2
1(=25。在△BOC中，BC=2
2OCOB=2212=5。 
AB=OAOB=212=25，∵AC2BC2=455=4
25=AB2
，∴△ABC是直角三角形。 
(2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2
3
，1)。(3) 存在。由(1)知，ACBC。 
若以BC為底邊，則BC//AP，如圖1所示，可求得直線BC的解析式為y= 2
1
x1，直線AP可以看
作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y= 21xb，把點(diǎn)A(2
1
，0)代入直線AP的解
析式，求得b= 41，∴直線AP的解析式為y= 21x4
1
。∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，∴
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x223x1= 21x41，解得x1=25，x2= 21(舍去)。當(dāng)x=25時(shí)，y= 2
3， 
∴點(diǎn)P(25，23)。 
若以AC為底邊，則BP//AC，如圖2所示。可求得直線AC的解析式為y=2x1。 
直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線BP的解析式為y=2xb，把點(diǎn)B(2，0)代入直線BP的解析式，求得b= 4， 
∴直線BP的解析式為y=2x4。∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x2

23x1=2x4，解得x1= 2
5，x2=2(舍去)。當(dāng)x= 25時(shí)，y= 9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(25，9)。綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為(25，23)或(2
5
，9)。 
7、解：（1）將點(diǎn)C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1所以直線的解析式為y=-x+4當(dāng)x=1時(shí)，y=3，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3） 將B、C、O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2
+bx+c， 
可得解得，所以所求的拋物線為y=-2x2
+5x 
（2）因?yàn)镺N的長(zhǎng)是一定值，所以當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△PON的面積最大，又該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（
），此時(shí)tan∠
PON=  
（3）存在；把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點(diǎn)A（0，4），把y=0代入拋物線y=-2x2
+5x得x=0或x= ，所以點(diǎn)N（，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），其中y=-2x2
+5x （0＜x＜）則得：S△OAP= |OA|•x=2x，S△ONP= |ON|•y= •（-2x2+5x）= （-2x2
+5x）
由S△OAP= S△ONP，即2x= 
（-2x2+5x），解得x=0或x=1，舍去x=0得x=1，由此得y=3所以得點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，3）

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