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視頻標簽：拋物線及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：數學人教A版高中選修1-1《拋物線及其標準方程》四川省成都
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數學人教A版高中選修1-1《拋物線及其標準方程》四川省成都
人教A版 數學選修2-1 第二章 圓錐曲線與方程
2.4.1 《拋物線及其標準方程》 教學設計
一、教學內容分析
本節是學生學習拋物線的第一課時,通過本節的學習，進一步滲透直角坐標系內幾何要素代數化的過程和意義，應用解析幾何的基本思想和基本研究方法——用代數方法研究幾何問題，這也是貫穿本節、本章知識的大概念。同時在課堂中進一步培養學生對數形結合、類比思想的應用意識。同時滲透數學文化，了解數學發展史，培養學生用“聯系的觀點看數學”的良好思維習慣。
二、教學目標設計
1．理解拋物線的幾何特征、定義及其標準方程；
2．熟悉四種形式的標準方程，能夠運用待定系數法知“一”求“二”（標準方程、焦點坐標、準線方程）。
3．引導學生認識事物間聯系的本質，體會生活問題與數學問題間的聯系，滲透數學文化。
三、教學重點、難點
教學重點：拋物線概念的形成，拋物線標準方程的建立，標準方程與圖形的對應關系
教學難點：1．拋物線幾何特征的分析，探求拋物線標準方程的過程
2．體會數形結合及分類討論思在概念形成及公式推導中的作用.
四、教學流程設計
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情境引入
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合作探究
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知識生成
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應用深化
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歸納提高
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變式訓練
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課堂小結
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數學文化
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| 教學環節 | 教學內容 | 設計意圖 |
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知識背景 |
我們知道，圓錐是由平面截圓錐所得到的曲線，我們已經學習了圓、橢圓、雙曲線，那么什么是拋物線？ 今天我們就類比橢圓、雙曲線來探究拋物線及其標準方程！ |
讓學生了解圓錐曲線的知識框架和解析幾何研究內容，進一步滲透類比的思想。 |
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情 景 導 入 |
1、列舉拋物線在建筑、衛星、生活、工業生產中的應用。 激發學生的探索欲望，并由此提出問題。 2.數學、物理中的拋物線 物理：將物體拋出后在空中運動形成的曲線 數學：回顧二次函數 的圖象---拋物線。 【問題1】： 到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線呢？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？這就是我們今天要研究的內容。 |
讓學生了解數學與生產生活密切相關，讓學生體會數學的美，激發對數學的熱情和探究欲望。 讓學生了解數學是有大用處的，生活生產離不開數學，歡迎同學們報考數學系。 |
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探 究 生 成 |
1.活動探究，描繪圖形 學生動手在下圖中，按步驟找出相應點并描繪圖形輪廓。 圖形說明： 是定點， 是定直線， ，在直線 上一次取出點 ，過 做 的垂線如圖： 作圖步驟： 1.連接 2.作 的中垂線交相應的垂線 于點 ，并用光滑的曲線將 點連接起來。 學生作圖完成后，用幾何畫板展示成圖過程。 2、師生互動，生成定義 （1）特征分析，嘗試定義 【問題】： （1）曲線是由哪個點運動產生的？ （2）點 運動過程中，哪些幾何圖形沒有發生變化？ （3）怎么用等量關系刻畫點 的運動？ （4） 位置始終在變化，但它與直線始終保持怎樣的位置關系？ （5） 實際上就是動點 到定直線 的 ？ 動點 滿足的幾何特征是：滿足集合 ， 為點 到直線 的距離。 由學生嘗試概括拋物線的“定義”： 我們把平面內與一個定點 和一條定直線 距離相等的點的軌跡叫做拋物線。 （2）問題探究，完善定義 我們把平面內與一個定點 和一條定直線 （ 不經過點 ）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點 叫做拋物線的焦點；直線 叫做拋物線的準線； 定點 到和定直線 的距離用字母 來表示，即 。 |
通過作圖和幾何畫板展示，體會拋物線的生成過程，理解拋物線所具備的幾何特征，為幾何問題代數化，研究拋物線方程及性質做好鋪墊 |
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推 導 拋物線的 標 準 方 程 |
類比探究，推導方程 1.小組討論，擬定方案 【問題】： （1）求曲線方程的基本步驟是什么？ 建系設點——列式——代換——化簡——檢驗 （2）求拋物線的方程，首先涉及到怎么建系的問題。借鑒橢圓、雙曲線的建系方案，坐標系應該怎樣選擇呢？ 學生容易提出如下三種方案（預案）： 方案一：以 所在的直線為 軸，以 為原點建立直角坐標系（其優點是“好想”） 方案二：以 所在直線為 軸，以 為原點建立直角坐標系（其優點是“好算”） 方案三：以 所在直線為 軸，以中點為原點建立直角坐標系（其優點是結果簡潔） 2.分工合作，推導方程 學生在以上三種方案下得出三個不同的方程： 方案一： ； 方案二： ； 方案三： ； 3.師生共議，確定標準 對比研究，確定標準方程： 特征：開口向右，焦點坐標為 ，準線方程為 。 |
通過探討合理建系，理解什么是拋物線的標準方程，并且強化求軌跡方程的方法。 和學生一起探討方程的特征和幾何量，讓學生明確“之一求二”的思想。 |
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合 作 探 究 |
類比探究，完成建構 【問題】： 類比一下，橢圓和雙曲線的標準方程有幾種形式？是由什么決定的？拋物線的標準方程應該有幾種形式？哪幾種？ 用類比的方法分別快速寫出開口向左、向上、向下，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程。 【問題】： （1）四種標準方程的左邊和右邊次數是怎樣的？ （2）如何由方程確定拋物線的焦點位置及開口方向？ |
讓學生從“數”和“形”兩個角度深刻認識拋物線的標準方程，再次強化“之一求二”的思想。 |
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知 識 應 用 歸 納 提 升 |
例．（1）已知拋物線的標準方程是 ，求它的焦點坐標和準線方程；（畫出拋物線草圖） （2）已知拋物線的焦點坐標是 ，求它的標準方程和準線方程。（畫出拋物線草圖） |
對已探究新知的應用， 歸納和總結拋物線四種方程及焦點、準線方程的求法，滲透數形結合思想。 |
| 變式訓練 |
變式訓練求 拋物線2y2+5x=0的焦點坐標和準線方程。 |
當堂鞏固， 學以致用， 學練并重. |
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課堂小結 |
通過本節課的學習，談談你有哪些收獲？ 一個定義：平面內與一個定點 和一條定直線 （ 不經過點 ）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。 兩種思想：數形結合思想；分類討論思想。 三項注意：① 的幾何意義是焦點到準線的距離； ②拋物線有四種形式的標準方程； ③求拋物線焦點坐標、準線方程、標準方程時應“先定位，再定量”。 課后作業 1、教材73頁A組1,2,3,4題。 2.思考題 你能說明二次函數 的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標和準線方程。 |
引導學生歸納所探究的新知，形成知識結構；并進一步體會幾何問題向代數問題轉化的解析幾何思想.自我肯定，激發探索熱情. 設置一個深化提高題，激發學生挑戰欲望，進一步理解什么是標準方程。 |
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數學文化 |
了解一位數學家，介紹一本書 他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。我們現在初等數學所討論的圓錐曲線，這位大神在洪荒時期就搗鼓得差不多了。 直到1000年后笛卡爾橫空出世，發明了直角坐標系， 給幾何插上了代數的翅膀，創立了解析幾何。 |
讓學生了解圓錐曲線的發展及解析幾何的創立，了解數學史上著名的數學家，激發學生的興趣與探索熱情. |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
