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視頻標簽：拋物線,及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修2-1第二章2.4《拋物線及其標準方程》貴州省 - 遵義
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《拋物線及其標準方程》教學設計
一、教材分析
本章是人教版選修2-1的第二章《圓錐曲線與方程》，教材內容的順序是：曲線與方程——橢圓——雙曲線——拋物線，本節課是拋物線的第一課時，教材在拋物線的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識拋物線，再從畫法中提煉出拋物線的幾何特征，由此抽象概括出拋物線的定義，最后是拋物線定義的簡單應用.教材在本節內容中只研究了頂點在原點，焦點在軸正半軸上的拋物線的標準方程，以思考交流的形式讓學生自己去歸納拋物線標準方程的另外三種形式.這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會.有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養. 通過本節課的學習，學生不僅能掌握拋物線的幾何特征，定義和標準方程，為后面學習拋物線的性質及其在實際問題中的應用打好基礎.而且有助于學生觀察分析能力與抽象概括能力的培養，有助于學生運算技能的訓練與提高，對學生進一步理解解析法和數形結合思想有很好的作用.也進一步鞏固了圓錐曲線的學習流程與研究方法.
二、學情分析
拋物線是圓錐曲線中的一種，也是日常生活中常見的一種曲線.學生很早就認識了拋物線，知道斜拋物體的軌跡是拋物線，一些拱橋的橋拱形狀是拋物線，一元二次函數的圖像是拋物線等等.可以說學生對拋物線的幾何圖形已經有了直觀的認識. 這節課的授課對象是我校高二的學生，他們的數學基礎知識比較差.在本節課之前，學生已經學習了橢圓，雙曲線，對圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認識，這對于圓錐曲線的后續學習有借鑒、遷移的作用. 三、教學目標 （一）知識與技能
（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形（2）會推導拋物線的標準方程（3）能夠利用給定條件求拋物線的標準方程 （二）過程與方法
通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。并進一步感受坐標法及數形結合的思想。 （三）情感態度與價值觀
進一步培養學生合作、交流的能力和團隊精神，培養學生實事求是、善于觀察、勇于探索、嚴密細致的科學態度；激發學生積極主動地參與數學學習活動，養成良好的學習習慣；
同時通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教學重點
拋物線的定義及標準方程 三、教學難點
拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導（關鍵是坐標系方案的選擇） 四、教學過程 （一）、情境導入 1.生活中的拋物線：出示圖片
（1）南京秦淮河三山橋的橋拱的形狀是拋物線；
（2）天空中的彩虹；
（3）慶祝時用的禮花在天空中。等等、、、、
在初中，我們學習了二次函數知道二次函數的圖象是一條拋物線（展示兩個函數圖象）：
師：你們對于拋物線有哪些認識呢？學生回答，它具有怎樣的幾何特征？ 同學們想知道關于拋物線的什么問題呢
用生活中的圖片引入，以景激情，以情激思，并讓學生根據情境的出拋物線的形狀，引領學生進入學習狀態，從而導出新課。
2、學生提出問題 ：
（板書課題：2.4.1 拋物線及其標準方程） （二）.拋物線的定義
先看一個實驗： 如圖：點F是定點，l是不經過點F的定直線，過點F作定直線L的垂線，取線段FH的中點M。拖動點M，始終有|MH|=|MF|,觀察點M的軌跡，點M的軌跡是什么？（學生觀察畫圖過程，） 可以發現，點M隨著H運動的過程中，始終有|MH|=|MF|，
即點M與定點F和定直線l的距離相等。
（演示）
l H
F
M
· ·
我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。
師：對于“直線l經過點F”的情況，我們留到習題課再討論。
設計意圖：
讓學生討論、交流、敘述，在解決問題中加深對概念的理解。感悟數學來源于生活，數學就在自己的身邊，培養學生學習數學的興趣，增強自信心。 （三）、.拋物線的標準方程
1、 從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點M滿足到焦點F的距離與
到準線l的距離相等。那么動點M的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？大家先回憶請學生回答：
一般求曲線方程的步驟.1、建系，設點；2.寫出適合x,y的方程；3.列方程；4.化簡； 要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標系。
2、建立平面直角坐標系的方案（演示學生最可能想到的三種建系方案）
1
2
3
方案（一）
方案（二）
方案（三）
問題：哪種方案的方程更簡單呢？
按照方案三的建系方式推導拋物線方程……直接演示方案一和二對應的方程，由學生觀察對比得出方案三的方程最簡單，方案一二的方程推導可以留作課后思考問題。
師：根據拋物線定義，知道F是定點，l是定直線，從而F到l的距離為定值，設
為p，則p是大于0的數.要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標系。
我們知道拋物線當頂點在原點時，方程最簡單，取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，
如右圖所示，則有F（2p
,0）,l的方程為2
px.
設動點M（x,y），由拋物線定義得：
2
)2(22p
xypx
化簡得：y2=2px(p＞0)
2.拋物線的標準方程
把方程22(0)ypxp叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點坐標是
,02p
，準線方程是2px，p為焦點到準線的距離。
一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式.
3.思考交流
問題：你能否分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程？具體要求：以頂點在原點，焦點在軸正半軸上的拋物線的標準方程為基礎，分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程，不要求寫過程.學生先獨立思考，再小組合作交流.，準線方程是2
px
。（演示） 師：上面我們主要研究了拋物線開口向右的情況，那么如果它的開口方向是向左、向上或者向下，其對應的方程又如何了呢？
4、.四種拋物線的標準方程
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
)
0(22
ppx
y
)0,2
(p 2
px
)0(22
ppxy
)0,2
(p
2
px
)
0(22
ppy
x
)2
,0(p
2
py
)
0(22ppy
x
)2
,0(p
2
py
（教師巡視個別輔導。類比橢圓第二種標準方程的推導完成第二、第三和第四行。學生在黑板上板書討論的結果）學生對他們的結論進行評論，教師再評論。 （1）(0)pp表示焦點F到準線l的距離；
（2）拋物線標準方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項是x，則對稱軸為x軸，焦
點在x軸上；若一次項是y，則對稱軸為y軸，焦點在y軸上；（對稱軸看一次項） （3）標準方程中一次項前面的系數為正數，則開口方向坐標軸正方向；若一次項前面的
系數為負數，則開口方向為坐標軸負方向；（符號決定開口方向） 教師出示歸納：
設計意圖：通過討論及教師的引領
歸納出拋物線的標準方程的幾種形式，使學生能在學習歸納總結。
（四）.例題講解
例1（1）已知拋物線的標準方程是y2 = 4x，求它的焦點坐標和準線方程
分析（1）先看清一次項，判定對稱軸與焦點所在位置，畫草圖，再求出p的值得到焦點坐標和準線方程。
解: ∵2P=4,∴P=2
∴拋物線的焦點坐標是（ 1 ，0） 準線方程是x=-1 變式：寫出下列拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程： （1） 3y+5x2=0 ；
1、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： （1）y2 = 20x （2）y=－2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 －y =0
注意：求拋物線的焦點坐標一定要先把拋物線的方程化為標準形式. 設計意圖：讓學生把所學的知識加以運用。 （五）.課堂小結
讓學生回憶并小結、提煉本節課學習內容： 1、拋物線的定義
2、拋物線的標準方程有四種不同的形式 3、p的幾何意義是: 焦點到準線的距離
4、標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向． 5、注重數形結合和分類討論的解題方法. （六）.作業布置
書P50 習題2.4 1、2 （七）.板書設計
§2.4.1 拋物線及其標準方程
一、拋物線的定義 二、拋物線的標準方程
投影屏幕
問題1
2 例題及練習
（八）教學反思：
本課采 用多媒體創設情境，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。教學中不能忽視學生的發散思維，要恰當引導學生，課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。
本課圍繞例題進行變式訓練，師生圍繞問題展開討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反三、觸類旁通的效果。
雖然本課基本體現了新課改的精神，培養學生積極參與的習慣，并運用多媒體進行輔助教學，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線。”從嚴格意義看是不嚴謹的，此時如設問“若定點F在定直線l上，則軌跡是什么呢？”可強化學生對拋物線的定義的理解；其次歸納總結時再深化一下，如“知道拋物線的標準方程，如何畫拋物線的簡圖？”可引導學生課后有目的的復習，效果會更好；再次，如何根據學生發展的需要創造性的使用教材，學會靈活、能動地運用教材，根據學生的實際調整教學內容，都是值得我們研究的地方。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
