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視頻標簽：拋物線,及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修1-1第二章2.3.1《拋物線及其標準方程》河北省 - 唐山
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《拋物線及其標準方程》
一、教材分析
本節內容是在初中以二次函數圖象的形式初步探討過，現在是在學習了橢圓、雙曲線的基礎上又一種圓錐曲線。本章對拋物線的安排篇幅不多，但與橢圓、雙曲線的地位是一樣的。利用拋物線定義推出拋物線標準方程，為以后用代數方法研究拋物線的幾何性質和選學內容“三種圓錐曲線的統一極坐標”打下基礎，本節起到一個承上啟下的作用。 二、教學目標
1.知識目標：掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標準方程形式，及其對應的焦點、準線。 2.能力目標：通過對拋物線概念和標準方程的學習，培養學生分析和概括的能力，提高建立坐標系的能力。
3.情感目標：通過拋物線概念和標準方程的學習，培養學生勇于探索、嚴密細致的科學態度，通過提問、討論、思考等教學活動，調動學生積極參與教學，培養良好的學習習慣。 三、教學重點 難點
重點：（1）拋物線的定義及焦點、準線；
（2）利用坐標法求出拋物線的四種標準方程；
（3）會根據拋物線的焦點坐標，準線方程求拋物線的標準方程。 難點：（1）拋物線的四種圖形及標準方程的區分；
（2）拋物線定義及焦點、準線等知識的靈活運用。 四、教學方法和手段
1、教學方法：探究式教學
2、教具準備：多媒體 五、教學過程
（一）設置情景，導入新課
（借助多媒體）先給出一張噴泉的圖片。（此時學生的興趣來啦�。�
【學情預設】學生被教師設置的情景所吸引，學習的熱情高漲。 （進而引出本節研究的課題：拋物線及其標準方程）
【設計意圖】一個引人入勝的開頭會拓寬學生思路，尊重學生的生命活動，激發興趣，陶冶情操，大大提高教學效率。
（二）引導探究，獲得新知
如下圖，演示拋物線的形成過程。（打開幾何畫板軟件把一根直尺固定在畫圖板內直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板
的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結．）
師：認真觀察P點的運動過程，你們有什么發現？（利用幾何畫板軟件同步動態演示）
生：APPC和APPF等于AC，所以點P在運動時，CP始終等于PF。 師：這位同學觀察很敏銳，直接抓住關鍵地方！ 師：那這樣畫出來的圖象也是？ 生：拋物線！
【活動設計】利用幾何畫板軟件演示拋物線的形成過程。
【學情預設】學生驚訝！計算機軟件居然能演示拋物線形成的過程，學生學習的興趣再次調動起來！
【設計意圖】強調“在操作中促進學習”，體現數學實驗在學習數學中的應用價值，同時激發學生學習計算機知識的興趣。至此本節的難點得以突破。 師：以前我們是用描點法畫出拋物線，那今天我們怎么畫？ 生：教具，電腦……
師：現在變換教具的位置，那么畫出的圖象還是拋物線嗎？ 生：是。
師：這說明了什么？ 生：畫拋物線與位置無關。
師：所以今天我們就巧妙地利用幾何知識和計算機等方式畫出了整個圖象。 師：現在你們就可以歸納一下拋物線的定義了！
生：到點F的距離和到直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。 師：這樣歸納完整嗎？
生:應該說，平面內到一個定點F和到一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
生：還要注意定點不能在定直線上。 師：為什么啊？
師：如果這樣，就只能找到一個點。
師：說得很好！這里F叫做拋物線的焦點，定直線L叫做拋物線的準線。 【學情預設】學生間合作交流，完成對拋物線定義的歸納。 【設計意圖】著重培養學生分析、歸納等能力。
（三）深入探索，推導方程
師：接下來你們試試推導拋物線的方程？（簡單回顧求曲線方程的方法）。 一段時間后，實物投影儀展示學生探討的結果。（分組討論，集中探索）
1.以K為原點，定直線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，此時得方程為：
2220ypxpp
2.以F為原點，過F且垂直于定直線F的直線為x軸建立平面直角坐標系，此時
得方程：22
20ypxpp
3.以垂線段KF的中點為原點，KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，此
時得方程：2
20ypxp
師：哪個好呢？
生：方案3所得的方程更簡潔！
師：我們就把它叫做拋物線的標準方程，注意這里標準的規范是頂點在原點，圖象關于x軸對稱。
【活動設計】以原來的四人小組為單位，討論建立直角坐標系的方案，一段時間后，各組交流，對可行的方案進行驗證。
【學情預設】可能出現的情況如上。若只出現第一種和第二種方案，教師要適時引導出現第三種方案；若直接出現第三種方案，教師就引導學生歸納拋物線的標準方程。
【設計意圖】通過有啟發性的活動設計和層層深入的問題設置，使學生在分析、探究、反思和歸納中，不斷獲得解決問題的方法。
F
K L 圖1
x
y
F
K L
圖2
x
y
F K
L
圖3
x
y
師：現在請同學們增大點F到直尺L的距離，重復剛才的實驗，比較一下，拋物線有什么變化？再縮小這個距離試一試。
生：點F到直尺L的距離發生變化，拋物線開口也發生變化。 師：觀察很準確！這說明了什么？
生：焦點到準線的距離是拋物線的一個重要的幾何特征。 師：說得非常好！
師：接下來看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時針旋轉90再觀察，會有什么發現？
生：x軸和y軸對調了。 生：還有開口向上了！
師：同學觀察得很仔細！那么你們能推出它的方程嗎？ 生：將22ypx中的x和y對調就行了，就是22xpy！ 師：大家在等式兩邊同除2p看看！ 生：2
12yxp
，哦，是二次函數形式！ 師：對了！這就是我們熟悉的二次函數了！ 師：那再逆時針旋轉90，怎么求？
生：和22ypx圖象關于y軸對稱，將x替換x就行，就是22ypx！ 師：再逆時針旋轉90呢？
生：和22xpy圖象關于x軸對稱，將y替換y就行，就是22xpy！ （打開計算機里的表格，學生迅速完成表格內容！）
標準方程
圖形
焦點坐標
準線方程
220ypx
p
,02p
2p
x
220ypx
p
,02p 2p
x
220xpy
p
0,2p
2p
y
220xpy
p
0,2p
2p
y
師：你們完成的過程有沒什么發現？
生：從2
20ypxp的形式上，方程的一次項決定焦點的位置。
生：還有一次項系數符號決定開口方向，而且可以迅速算出焦點坐標為,02p
和
準線方程為2
px。 師：還有嗎？
生：拋物線標準方程和橢圓、雙曲線的標準方程不同的是：確定拋物線只要一個自由量p，而確定橢圓和雙曲線則需要兩個自由量。 師：觀察很敏銳，分析很透徹，很好！
【學情預設】通過老師的層層引導，學生自主完成計算機中的表格的內容，認清拋物線和二次函數圖象的聯系，認清拋物線標準方程的各種形式。
【設計意圖】引導學生透過現象看本質，不斷提升分析、總結與歸納等能力，也為分析例題和解決實際應用問題奠定理論基礎。
（四）指導應用，鼓勵創新
師：接下來我們運用上述所學到的知識來解決一些問題： 自主練習
已知拋物線的方程，求其焦點坐標和準線方程.
2y =20x 2
0yaxa
例題導航
（1）已知拋物線的焦點是F(0,-2)，求它的標準方程 。 （2）求過點A(-3,2)的拋物線的標準方程。
【設計意圖】鞏固四種方程的形式及曲線特征，熟悉相關公式。強調解決拋物線方程問題時要先轉化為標準方程。
（五）小結概括，深化認識
師：今天我們學習了什么內容？
生：可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線。
22yx26yx0
生：知道了拋物線的標準方程，它的頂點在原點，焦點落在對稱軸上，有四種形式。
師：這是知識方面的。我們還學到了哪些數學思想方法？
生：轉化思想，求解拋物線方程問題時要特別注意先化成標準方程。
師：很好！今天我們學習的內容雖然不多，但是從知識、能力、思想與應用等方面都理解和體驗了數學的奧秘！
【學情預設】學生總結出在知識、數學思想等方面的收獲。
【設計意圖】擺脫傳統教學中教師小結的做法，讓學生自己總結，加深對本節課內容的認識。 六．布置作業 課時作業十六 七、板書設計
拋物線及其標準方程
2．拋物線的標準方程 1．拋物線的定義 3．應用與小結
建系方案三
建系方案二
建系方案一
例題 練習
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