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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《一元三次函數的圖象和性質》黑龍江—張
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《一元三次函數的圖象和性質》黑龍江—張妮—設計—
普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（人教2019 A版）
《一元三次函數的圖象和性質》
《一元三次函數的圖象和性質》教學設計
哈爾濱市第三中學 張妮
一、教學內容解析
本節課源于人教2019版選擇性必修第二冊第五章《一元函數導數及其應用》第99頁的拓廣探索與第100頁的信息技術應用《圖形技術與圖形性質》，是在學生已經掌握了利用導數工具研究單調性、極值、與最值之后，通過信息技術輔助手段和導數工具對一元三次函數展開的探索和研究，是對這一章知識進行深入歸納和整合的課，非常適合培養學生數學探究的能力，達到對這一章知識的學以致用.
本節課通過觀察、類比、猜想、從特殊到一般等方法得到一元三次函數具有哪些性質，并通過信息技術生成三次函數的動態效果進行輔助觀察，體現數形結合的思想方法，辨析所猜想的性質是否正確，最后利用導數，進行嚴謹證明，抽象出一般性的結論，提升數學抽象的核心素養.是本章知識綜合應用的體現.培養了學生的實踐能力，探索精神，提高了學生的直觀想象、邏輯思考、數學表達的核心素養，以及感受科技帶給我們的新成果。
因此，本節課的教學重點為：一元三次函數的性質.
二、教學目標設置
結合課標要求，本節課制定如下教學目標：
1. 通過利用信息技術，能對一元三次函數的圖象進行觀察和分析，并作出猜想和發現，提升數學抽象、邏輯推理等核心素養.
2. 通過探究一元三次函數的性質，能從整體認識一元三次函數，會利用性質解決簡單的問題，體會數形結合、分類整合的思想方法，提升數學探究能力.
三、學生學情分析
(一)已具備的認知基礎
1.學生已經掌握了用導數工具判斷函數的單調性、求函數的極值與最值的方法.在此基礎上引導學生運用數形結合、類比的數學思想，并利用GeoGebra軟件，在教師的引導下對一元三次函數的圖象和性質進行探索與研究，體現了單元教學的整體性、一致性.
2.讓學生自主發現對一元三次函數的研究方向，如：定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、極值情況和零點情況，在不方便畫圖的情況下，能自主想到利用GGB軟件去探究.
3.導數的基本應用為研究一元三次函數的圖象與性質提供了知識儲備.
（二）可能存在的認知困難
利用前面所學的知識，學生能夠分析一元三次函數的單調性和極值情況包括零點情況，但是做到整合總結有些困難，需要教師給予指導.在處理對稱性問題時，只能分析出
在
時的對稱結果，對于一般形式下的對稱性不方便作出分析，對一元三次函數的證明也存在困難，包括如果證明方法有思路，涉及到三次方程的運算量也特別大，對學生的思維能力和運算能力都有很高的要求.
難點：對一元三次函數的對稱性的探究以及對稱性的證明
四、教學策略分析
本節課貫徹以“學生為主體，教師為主導”的理念，引導學生獨立思考，主動探究，合作交流，利用小組匯報，學生講解，學生小結等多種方式，調動學生學習的積極性.本節課以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，倡導學生主動參與，在師生互動、生生互動中，發現并總結出有關一元三次函數的圖象特點和相關性質，并利用信息技術輔助工具解決問題.讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程,不斷地提升學生學習能力.
五、教學過程
（一）激情導趣，引發思考
【設計意圖】設計成發散性問題，讓學生自己尋找研究方向和研究方法，能夠聯系到三次函數與導數的關系，體現了單元教學內容的整體性，方法的一致性，便于提高學生的學習能力.
（二）分組選題，確定研究思路，開展合作探究
|
組別 |
研究內容 |
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第一組 |
定義域、值域、單調性 |
|
第二組 |
系數對函數圖象的影響，變化趨勢、極值 |
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第三組 |
單調性、極值、零點情況 |
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第四組 |
奇偶性、周期性、對稱性 |
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第五組 |
切線問題 |
|
第六組 |
奇偶性、對稱性 |
學生組內討論后，確定各組研究方向如下：
【設計意圖】引導學生發現和提出有意義的數學問題；猜測合理的數學結論；提出解決問題的思路和方案；通過自主探索、合作研究論證數學結論.
（三）借助信息技術，驗證猜想
發現過程概述：
得到相應結論：
【設計意圖】引導學生利用導數作為研究工具去分析函數的單調性和極值情況，充分體現GeoGebra軟件在畫函數圖象時的便捷性和高效性，包括希沃傳屏信息技術手段，在此過程中可以提高學生利用信息技術探究數學規律的能力，鍛煉學生的動手能力，發展了學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象的學科素養.
對于三次項系數
，
當
時，圖象總體上是從
到
的變化趨勢
當
時，圖象總體上是從
到
的變化趨勢
系數
能確定三次函數與
軸的交點坐標，同時引出問題：系數
對函數圖象的影響我們怎樣描述呢？引發同學們的進一步探討.
針對問題，其它小組討論得出解決辦法：二次函數當中的系數
或
，我們是結合著對稱軸和韋達定理去研究的，所以我們就從
的角度去研究了.
引出本節課后學生自主探究問題：各系數之間的關系是怎樣影響三次函數的？
第三組同學分析一元三次函數零點情況
有同學以
為前提，按
的取值進行分類
有同學以
時為前提，以零點個數進行分類
1個零點
2個零點
3個零點
經過思考分析總結：（1）
必有一個零點
（2）
三個零點
（3）
兩個零點
（4）
一個零點
【設計意圖】根據極值點概念與零點存在性定理，用極值的符號判斷三次函數零點的情況，并通過歸納總結出相應的結論，讓學生能夠將導數知識和分類整合思想在分析中加以靈活運用,提升數學抽象的核心素養.
學生能給出
是奇函數，但一般情況的驗證會存在困難，學生組內討論：
三次函數是否都具有對稱性？
【設計意圖】此問題體現由特殊到一般的思維過程，而且通過知識的類比轉化過程體現了理性思維、數學探索學科素養.讓學生通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，體會解決問題策略的多樣性及運用優化的方法解決問題的有效性.
（四）展示研究成果，并給出嚴謹證明
第六組同學利用GGB軟件發現：
三次函數的導函數是軸對稱圖形，在對稱軸兩側取等距的兩個自變量，它們的導數值是相等的，對應到三次函數上，說明這兩個自變量處的切線斜率始終相等，也就是兩側的變化趨勢始終相同，所以三次函數的對稱中心的橫坐標為導函數的對稱軸.
【設計意圖】學生通過GGB軟件實現三次函數繞著一個點旋轉
后依然和本身重合，通過圖象直觀感受一元三次函數的對稱情況.在此過程中突出幾何直觀與代數表達之間的融合，體會一元三次函數對稱情況的合理性
.提升學生直觀想象，數學抽象的核心素養.
引出新的探究問題：對一元三次函數的對稱性同學們能給出證明嗎？
第六組同學受到啟發，得到
方法2：
的對稱軸為
，則
,
，當
時，
關于
中心對稱
問題：對一元三次函數對稱性的證明方法是否唯一呢？
第三組同學發現：特殊三次函數是奇函數，并且關于原點對稱入手，設
，
然后把它平移一下，再對照成一般的一元三次函數，但是這樣計算量有點大.
同組同學協助發現：
方法3：三次函數
向左平移
個單位，再向下平移
個單位后得到
要使函數關于原點對稱，則
，即
則函數
的圖象關于
中心對稱。
【設計意圖】引導學生利用函數的性質與導數知識的結合去探究一元三次函數的對稱性，溝通數形關系，體會數形結合，分類與整合的思想，提升直觀想象、邏輯推理的數學素養.
學生先使用信息技術手段發現切線特點，然后再加以證明：
曲線
過點
的切線的條數：
設切點為
，斜率
切線方程為：
，過
則
可看成：
此時
實根的個數，就是切點的個數，也是曲線
過點
切線的條數。
由前面知識可得：切線至少有一條，至多有三條.
（五）目標檢測設計
例題1：設
，若
為函數
的極大值點，則
A.
B.
C.
D.
【設計意圖】本題是2021年全國統一考試
全國乙卷選擇題的第10題，主要考查了函數性質的綜合應用，在解題的過程中讓學生體會圖象對研究函數的重要性，培養了邏輯推理，數形結合的學科核心素養.
（六）總結提升
本節課我們研究了哪些內容？在學習過程中有哪些收獲？
1.三次函數的圖象，定義域，值域；
2.三次函數的單調性和極值
3.三次函數的零點；
4.三次函數的對稱性
【設計意圖】師生共同總結，可以從所學內容、研究問題的方法、蘊含的思想方法等多角度進行總結.引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，數學語言表達世界.
（七）布置開放作業，鼓勵深入探索
問題1：一元三次函數的系數
是怎樣共同影響函數圖象的？
問題2：當點
選在哪個區域時，過點
的切線會有一條？兩條？或者三條？
【設計意圖】激發學生不斷探究的鉆研精神,提高學生理性思維、邏輯推理、數學探索的核心素養.
六、教學反思
1.
認真研究課程標準，深入理解教材，把握數學本質
（1）本節課探究活動立足于“四基”,學生學習了導數的應用，在掌握了研究問題的基本方法的前提下，以探究一元三次函數的圖象和性質為載體，聚焦導數應用的基本思想，進一步感悟研究數學問題的基本方法，積累數學活動經驗，促進學生核心素養的進一步提升.
（2）要更加重視學生的綜合實踐活動，使之成為發展學生數學學科核心素養的重要載體.數學探究活動強調的是發現和提出有意義的數學問題,猜測合理的數學結論,提出解決問題的思路與方法，通過自主探究，合作交流的形式完成對數學結論的論證.這樣有利于學生全面發展“四基”、“四能”，從而落實數學學科核心素養.
（3）人教 A 版教科書中在重要知識點的交匯處安排了專門的探究素材和課時.這一內容的教學與概念課、定理課、習題課等都應該是不同的。學生已掌握了一些性質，但還不全面，本課要求利用導數研究函數性質，一方面是進一步完善有關函數的知識，另一方面是進一步理解導數應用的基本思想，積累數學探究活動經驗.
2.
創設合理的教學情境，落實教學重點，突破教學難點
本節課課堂容量大，且有一定難度，尤其在數學抽象方面體現明顯，不僅需要調動廣泛的知識，而且需要有比較清晰的思路.因此，教師要通過合理設置問題、恰當提示等方法加強引導，從而達到突破難點.而且科學探究中的意外隨時都會出現，錯誤或意外本身乃是達到真理的一個必然環節.正確很可能只是一種模仿，可錯誤卻絕對是一種經歷，真實而自然，是通往正確和成功的必經之路.
3.注重培養探究意識，啟發思考，提高 “四能”
傳統數學教學往往側重對結果的評價，但是我們認為學生的體驗過程和結果同等重要，在探究過程中讓學生體驗如何去發現并解決數學問題.比如，本課中讓學生感受到通過觀察、類比、猜想、從特殊到一般等方法發現問題，即使最終學生可能沒有得到想要的結果，但在研究能力上已經得到了很大提升.再比如，GGB軟件的運用，很大程度上激發了學生的探究熱情，對發現數學問題有著重要作用，為研究提供方向，但還是得借助數學嚴格論證，修正、補充加以完善等.在研究數學問題等方面積累了經驗，讓學生在探究中學會交流、如何發表自己的意見、團隊合作應該如何進行等,這些對能力的發展很有意義.
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