視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《斐波那契數列與黃金分割》江蘇—桑
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江蘇—桑婭潔—設計—斐波那契數列與黃金分割
《數學活動課：斐波那契數列與黃金分割》教學設計
桑婭潔
（江蘇省徐州高級中學）
一、教學內容解析
數學活動課，是指以在教學過程中構建具有教育性、創造性、實踐性的學生主題活動為主要形式，以激勵學生主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創造為基本特征，以促進學生整體素質全面提高為目的的一種教學觀和教學形式[1]．高中數學活動課應關注高中數學課程的特征，充分考慮高中學生的認知規律，更加突出學生學習的自主性和主動性，讓學生在親自探索、親手操作、親身體驗中，獲得進一步學習所必需的知識、技能、思想和方法，培養實踐意識、應用能力和創新思維，發展數學學科核心素養．
在蘇教版《普通高中教科書·數學（選擇性必修第一冊）》中，斐波那契數列共計出現四處，分別為第120-121頁數列一章目錄的背景圖片，第122頁的章頭問題，第123頁的問題5，第164-165頁的閱讀材料．斐波那契數列與等差、等比數列一樣，都是從現實背景中抽象概括出的重要數列模型，它們是一脈相承的．從單元視角來看，斐波那契數列模型的建立與研究有助于學生對數列單元形成系統的理解和把握．而數列又是特殊的函數，基本遵循函數的研究路徑：背景—概念—性質—應用．模型思想、數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程思想、極限思想在斐波那契數列的研究過程中均有體現．
“黃金分割”是蘇科版《義務教育教科書·數學（九年級下冊）》第六章“圖形的相似”第二節內容，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割[2]，是對線段成比例的鞏固．初中階段側重從“形”的角度研究黃金分割，引導學生感悟數學之美，發展空間觀念和幾何直觀．高中階段則是從“數”的角度發現黃金比，通過實際情境引入斐波那契數列，通過代數運算導出黃金比．可見，初高中數學在對同一個問題的研究中方法和途經存在差異性，這正體現了數學課程在內容呈現上的層次性、多樣性和一致性，也體現了核心素養的達成具有階段性、連續性和整合性．
斐波那契數列與黃金分割蘊含著豐富的科學價值、文化價值、應用價值和審美價值．在數學抽象、數學探究、數學欣賞、數學應用的過程中，學生進行深度學習，積累數學活動經驗，感悟數學的連貫性與統一性．對培養學生的高階思維品質，提升數學關鍵能力，發展數學學科核心素養，實現高中數學學科育人有著重要意義和價值.
教學重點：探究斐波那契數列與黃金分割的關系．
二、教學目標設置
本節課的教學目標設置如下．
-
經歷從實際情境中抽象出數學問題的過程，探尋兔子繁殖規律，得到斐波那契數列的概念和遞推公式，發展數學建模和數學抽象素養；
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經歷三個數學探究活動，從數與形兩方面了解斐波那契數列與黃金分割的關系，進一步體會研究一個數學對象的基本路徑，感悟初高中數學在研究問題時的差異性和統一性，提高自主發現和提出問題、分析和解決問題的能力，促進學生高階思維和關鍵能力的發展，積累數學探究活動經驗；
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通過數學欣賞，拓展視野，引導學生從數學的角度刻畫審美的共性，用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，體會數學的科學價值、文化價值、應用價值和審美價值，激發學習數學的興趣，實現學科育人．
三、學生學情分析
本節課的授課對象是江蘇省四星級高中高二學生，他們基礎較扎實，思維活躍，有一定的探究活動經驗和自主學習能力．
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學生已具備的認知基礎
初中時，學生通過線段成比例認識了黃金分割，借助一元二次方程求出了黃金比，也學習了一些與黃金矩形和黃金三角形有關的內容．在本節課之前，學生了解了數列的概念，探索并掌握了等差數列和等比數列的取值規律、通項公式、性質、前
n項和公式及簡單應用，掌握了由二階遞推關系求數列通項的基本方法，這些都為本節課的學習奠定了知識基礎．在此之前，學生在老師的指導下類比等差數列的學習，對等比數列進行了探究，為本節課的探究活動提供了經驗積累．
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達成教學目標所需具備的認知基礎
學生應熟知特殊數列的研究內容與研究方法，對數列的研究路徑有一定的理解，面對開放性問題，有一定的自主探究與合作交流的活動經驗，能將已有的知識和經驗類比遷移到新的數學學習活動中，自主地發現和提出問題，分析和解決問題．
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“已有的基礎”與“需要的基礎”之間的差異
與等差、等比數列相比，斐波那契數列取值規律以及與黃金比有關的性質隱蔽性較強，不易發掘．學生發散性思維，批判性思維，創造性思維等高階思維品質還有待進一步提升．
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教學難點及突破策略
教學難點：斐波那契數列與黃金比有關的性質的發現與推導．
突破策略：
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根據思維最近發展區理論，在學生已有的認知經驗中尋找新知識的生長點，引導學生運用類比方法，對斐波那契數列展開探究；
-
通過學生合作交流，教師引導點撥以及技術輔助手段，幫助學生發現和理解斐波那契數列與黃金比的關系．
四、教學策略分析
本節課是一節數學活動課，對于教學活動的設計應遵循教學的基本規律：情境—問題—活動—結果．
在教法上，本節課采用以學生為主體的探究式教學方法，通過一系列循序漸進的探究活動，幫助學生多角度地理解教學內容．將數學文化融入數學教學活動，引導學生感悟數學的價值，提升科學精神、應用意識和人文素養．
在學法上，從學生已有的認知出發，給與學生充分的獨立思考、動手操作、合作探究、交流展示的時間和機會，注重學生的學習過程體驗，著力培養學生的探究精神，實現人人參與活動，不同的人得到不同的發展．
在教學評價上，關注學生成長和發展的過程，包括知識技能的掌握與核心素養的提升．重視師生之間、生生之間的溝通交流，做到多元評價、及時反饋．
五、教學過程設計
引導語：現實生活中存在著各式各樣的現象，有些現象與“數”緊密聯系并具有一定的規律．其中具有等差、等比規律的數列我們已經進行了比較系統的研究．今天我們再來認識一個新的神奇的數列．
1.創設情境，規律探究
情境：意大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》中提出了一個有趣的兔子問題：假設一對剛出生的小兔（一雌一雄），一個月后能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔（一雌一雄），此后每個月生一對小兔. 如果不發生死亡，那么由一對剛出生的小兔開始，50個月后會有多少對兔子？
師生活動：借助樹狀圖，填寫表格，得到前四個月各種兔子的對數，如表1所示．
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時間/月 |
小兔子/對 |
大兔子/對 |
兔子總數/對 |
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1 |
1 |
0 |
1 |
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2 |
0 |
1 |
1 |
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3 |
1 |
1 |
2 |
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4 |
1 |
2 |
3 |
表1
問題：第5至12個月的兔子對數分別是多少？
學生活動：嘗試用列舉、樹狀圖、列表等方法得到第5至12個月的兔子對數．
追問1：你是怎么得到這些月的兔子對數的？
追問2：這個規律適合每個月的兔子對數嗎？
追問3：假設第
n個月的兔子對數為
Fn，你能用數學符號語言表達這個規律嗎？
師：按照這個規律，我們就能得到更多月份的兔子對數，這些數構成了一個數列，由于這個數列最早是由斐波那契提出的，為了紀念他，人們把這個數列稱為斐波那契數列，通常記為數列
，數列中的項稱為斐波那契數．
【設計意圖】以經典的兔子繁殖問題創設情境，分析其中的數量關系，探尋兔子繁殖規律，抽象出數學模型——斐波那契數列．通過教師引導、學生獨立思考和問題串，幫助學生發現和理解兔子繁殖規律的數學本質是一種特殊的遞推關系，并用數學符號進行正確表征，發展學生的數學建模和數學抽象素養．
2.類比遷移，性質探究
探究活動：類比等差、等比數列的研究內容及研究方法，對斐波那契數列展開探究. 要求：明確探究主題（一個或多個）；小組分工合作；寫出探究過程和結論.
預設1：學生探究斐波那契數列的通項公式．
預設2：學生探究斐波那契數列相鄰兩項的比值．
預設3：學生探究斐波那契數列的前
n項和．
預設4：學生探究斐波那契數列奇數項或偶數項的和．
預設5：學生探究斐波那契數列相鄰三項的關系．
小組代表匯報探究成果．
通過合作探究，教師引導，學生發現斐波那契數列每一項與后一項的比值交替地大于或小于黃金比（
），并且該比值無限趨近于黃金比．
【設計意圖】等差、等比數列的學習經驗是探究活動的生長點，學生在對斐波那契數列的探究過程中，從已有的知識和經驗出發，通過類比發現、動手計算、演繹證明、歸納猜想等方式，發現斐波那契數列的性質，特別是與黃金比的聯系，將新知識納入已有的知識體系中．這是一個主動建構的過程，特別是思維層面的積極建構，對發展學生的科學探究與構造、邏輯推理與論證、語言表達與溝通、批判性思維以及創造性思維等高價思維能力起到了很大的促進作用．
3.動手操作，深化探究
探究活動：用所給的正方形紙片拼成矩形（從最小的兩個正方形開始，每次添加一個正方形）．
并思考：⑴如果最小的兩個正方形的邊長是1個單位長度，那么其它的正方形的邊長分別是多少？
⑵觀察每次所得矩形的寬和長分別是多少？你有什么發現？
⑶用不同的方法計算每次所得矩形的面積，你又有什么發現？
引導學生將“用不同的方法計算每次所得矩形的面積”得到的等式進行推廣，歸納出斐波那契數列的又一個性質：
．
介紹斐波那契矩形和斐波那契螺旋線，以及它們與黃金矩形、黃金螺線的關系．
【設計意圖】從“形”的角度繼續對斐波那契數列與黃金分割的關系進行探究，以形助數，嘗試發現新性質；以數解（釋）形，用數學符號語言表達圖形隱含的規律．幫助學生建立良好的數學直覺，體會數形結合的思想方法，多角度地把握現象的規律性．
4.數學欣賞，拓展探究
欣賞圖片和視頻，感受無處不在的斐波那契數列與黃金分割．
【設計意圖】自然界中的許多現象都蘊含著斐波那契數列，黃金分割的應用更是體現在生活的方方面面，其中優選法、五角星既是黃金分割的直接應用，又是進行愛國主義教育的良好素材．通過圖片和視頻，在對學生進行美的熏陶和教育的同時，培養學生的審美意識，幫助學生感知數學源于生活，體會數學與生活以及其他學科的聯系，引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界．實現德育與智育、美育的有機融合，落實立德樹人根本任務．
5.總結反思，升華探究
表2
師：本節課，我們遵循研究數列的一般路徑，通過合作探究，發現了斐波那契數列與黃金分割的神秘關系，也體會了初高中數學在研究問題時的差異性及統一性．在活動中，同學們能自主地發現、提出、分析和解決問題，正是這種探究精神，推動了數學的發展．最后和同學們分享一則斐波那契數列帶給我們的啟示：明天的成就=今天的努力+昨天的積累．希望同學們在今后的學習生活中，踔厲奮發，篤行不怠！
【設計意圖】結合數學活動評價表（見表2），引導學生回顧研究過程，總結研究方法，感悟研究數學問題的基本路徑：背景—概念—性質—結構（聯系）—應用，以及研究數列的一般觀念：運算．總結活動經驗，增強學習自信，培養數學交流和表達的能力，養成及時反思總結的良好學習習慣．
6.分層作業，延伸探究
⑴完成《數學活動評價表》；
⑵嘗試用代數方法證明
；
⑶（選做）查閱資料，進一步了解和研究斐波那契數列與黃金分割，撰寫小論文.
【設計意圖】必做作業意在幫助學生鞏固斐波那契數列的有關知識，掌握證明方法的多樣性，進一步積累數學活動經驗．選做作業旨在引導學生厚實閱讀、豐富閱歷，提高自主學習和探究能力，實現學生的可持續發展.
參考文獻：
[1] 帥建卓．初中數學活動課文獻綜述[J]．中學數學雜志，2012，8（25）.
[2] 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.4：69.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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