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視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《8.6.2直線與平面垂直第一課時》吉林—焦
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8.6.2直線與平面垂直第一課時
8.6.2直線與平面垂直的判定 第一課時 教學設計
吉林市第一中學 焦霞
一、教學內容解析：
1．內容
本節內容選自人教A版《普通高中教科書—數學必修第二冊》 8.6.2直線與平面垂直（第一課時），屬于新授概念課，包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分.
2．內容解析
直線與平面垂直是空間直線與直線垂直位置關系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎，是空間垂直關系轉化的核心，是研究空間中的直線與直線垂直關系和直線與平面垂直關系的中介.直線與平面垂直也是定義點到平面的距離、直線和平面所成的角、直線到平面的距離與兩個平行平面之間的距離等內容的基礎，具有承上啟下的作用.
直線與平面垂直是通過直線和平面內的任意一條直線都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法.直線與平面垂直的判定定理把定義中要求的與任意一條直線垂直轉化為只要求與兩條相交直線垂直，其中蘊含了由復雜向簡單，無限問題向有限問題，直線與平面垂直向直線與直線垂直的轉化，體現了以簡馭繁的策略.
基于以上分析，確定本節課的教學重難點：直線與平面垂直定義的抽象與歸納，直線與平面垂直判定定理的發現與驗證.
二、教學目標設置
1．目標
《數學課程標準》中與本節課相關的要求是：
①在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面垂直位置關系的定義；
②通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的判定定理；
③能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.
因此，從知識上，理解直線與平面垂直的意義；從認知水平上，探索并了解直線與平面垂直的判定定理，能應用判定定理證明直線和平面垂直的簡單問題；從思想方法上，在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力、感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”“線面垂直轉化為線線垂直”，進一步感悟數學中以“以簡馭繁”的轉化思想.
2．目標解析
（1）學生通過實例直觀感知、操作確認，抽象、歸納出直線與平面垂直的定義.
（2）學生能通過直觀感知、操作確認發現直線與平面垂直的判定定理，能在直線與平面垂直的情境中利用定義與判定定理證明直線與平面垂直，能結合直線與平面垂直的判定定理和直線與平面所成角的概念在具體情境中求直線和平面所成的角.
（3）學生能理解證明直線與平面內的所有直線垂直，只需證明該直線與這個平面內的兩條相交直線垂直即可，了解其中兩條相交直線在確定平面中的作用；知道求直線與平面所成的角可轉化為求兩條特殊直線所成的角等；能認識到“直線與平面垂直的判定”與“直線與平面平行的判定”在知識結構、學習方法等方面的邏輯一致性，體會研究空間位置關系的判定的一般思路和方法.
根據《課程標準》，依據教材內容和學生情況，確定本課時的學習目標為：
（1）在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出直線與平面垂直的定義；
（2）通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面垂直的判定定理；
（3）能運用直線與平面垂直的定義和判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.
針對本節課的學習目標，我設計了如下的評價任務：
評價任務一：能否從生活現象中直觀感受到直線與平面垂直的形象；通過學生活動，給出直線與平面垂直的直觀解釋；通過影子實驗，抽象出直線與平面垂直的概念；
評價任務二：能夠根據定義得到直線與平面垂直時，直線與平面內任意一條直線垂直的結論，并寫出符號語言，了解定義的雙向敘述功能.
評價任務三：能夠利用將無限轉化為有限的思想，尋找判定直線與平面垂直的可能性假設.
評價任務四：能在折紙實驗操作中，得到直線與平面垂直的判定定理，并給出直線與平面垂直判定定理的驗證，同時能用自己的語言敘述出定理內容并寫出相應的符號語言.
評價任務五：能夠用定義和判定定理解決空間位置關系的簡單命題.
三、學生學情分析
雖然學生已經學習了兩條直線互相垂直的位置關系，學習了直線、平面平行的判定及性質，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有了一定的幾何直觀能力、推理論證能力等，具備學習本節課所需的知識.但由于他們把空間問題轉化為平面問題來解決的意識和能力還不強，因而他們對于如何借助直線與直線垂直來刻畫直線與平面垂直還會遇到困難，更難用確切的數學語言刻畫直線與平面垂直.考慮到學生已有用“任意一個”來代替所有對象的數學經驗，教學時可在教師的提示下由學生自己得到直線與平面垂直的定義.
對于直線與平面垂直的判定定理，學生通過探究和動手實踐，會初步認識到當直線與平面內兩條相交直線垂直時，直線與這個平面垂直.但在缺少邏輯推理的情況下，如果馬上把這個猜想作為定理來對待，學生可能會懷疑結論的正確性.教學時需要引導學生通過親身的反復驗證并結合直線與平面垂直的定義進行思辨來解決以上問題，也可以結合平面向量基本定理，讓學生體會利用“兩條相交直線”來判斷的合理性.
本節課的教學難點是發現并驗證直線與平面垂直的判定定理.
因此，在教學過程中，讓學生以小組為單位進行合作，通過學生活動、動手操作，觀察、思考、歸納總結，發現直線與平面垂直時，直線與平面內的直線有怎樣的位置關系；再通過操作，反向驗證，當直線與平面內的直線具有上述位置關系時，能否得到直線與平面垂直，讓學生在實驗中自然生成直線與平面垂直的定義.
在探究直線與平面垂直的判定定理時，讓學生從尋找合理假設出發，通過操作驗證假設的正確性，從而獲得直線與平面垂直的判定定理.由于學生對這種用“有限”代替“無限”的過程.
四、教學策略分析：
新課程標準明確指出：數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維.因此本節課在“目標導引教學”這一理念的指引下，主要采用的是引導發現教學法.教學中，我利用學生感興趣的圖片引出直線與平面垂直的形象，抽象出直線與平面垂直的概念.讓學生在分析操作過程發現規律特點，從而自發地生成定義；接著讓學生在實際應用中自覺提出判定直線與平面垂直是否有更簡潔方便的方法，通過折紙活動，讓學生在游戲中學習，在活動中獲得知識.我設計了分組探究等實踐活動，通過活動引導學生進行觀察、思考、操作、歸納、應用，使學生始終處于積極、主動、有趣的學習狀態中，深刻體會到了“做數學、學數學”的樂趣，最終達成了本節課的學習目標.
五、教學過程：
（一）構建直線與平面垂直的定義
1.生活中的線面垂直關系
問題1：在日常生活中，旗桿與地面、橋樁與江面、門軸與地面都呈現了什么樣的位置關系呢，同學們你們還能舉出其他例子嗎？
師生活動：教師展示生活中給我們以直線與平面垂直的實例，提出問題.
設計意圖：天安門廣場上的五星紅旗，吉林市臨江門大橋，培養學生的直觀想象能力，同時培養學生愛國家、愛家鄉的目的.
2.學生活動
全體同學聽從老師指令，作出相應動作，并思考回答問題.
起立——將身體向右傾斜——向前傾斜
問題2：把同學的身體抽象成一條直線，在整個過程中回答直線與地面的位置關系.
從而得到18世紀法國數學家克萊羅在《幾何基礎》中給出線面垂直的直觀解釋：一條直線不向平面上的任何一面傾斜.
3.旗桿影子實驗（教師借助信息技術呈現旗桿影子實驗）
問題3：直立于地面的旗桿與它在地面的影子垂直嗎？
追問：隨著時間的變化，影子的位置在不斷地變化，旗桿與所有影子都垂直嗎？
得到古希臘數學家歐幾里得《幾何原本》中線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.
追問：旗桿與對于地面上其他直線垂直嗎？
從而得到直線與平面垂直的定義.
文字語言：如果直線
與平面
內的任意一條直線都垂直，則該直線與此平面垂直
圖形語言：
符號語言：
師生活動：教師板書，學生完成導學案.
問題4：在得到直線與平面垂直的定以后，為了表述與研究的方便，你覺得還有哪些輔助性的概念需要建立？
師生活動：教師引導學生，結合定義，給出垂線、垂面、垂足的概念，給出文字語言、圖形語言、符號語言的三種表示.
設計意圖：建立垂面、垂線、垂足概念，知道線面垂直的符號表示，并讓學生理解學習數學概念的“基本思路”.
問題5：分析概念的雙向性.
（二）探究直線與平面垂直判定定理
問題5：用定義來判斷線面垂直方便嗎？能否將無限證明轉化為有限證明？
小組討論：
（1）如果一條直線與平面內的一條直線垂直，則該直線與此平面垂直？
（2）如果一條直線與平面內的兩條直線垂直，則該直線與此平面垂直？
（3）如果一條直線與平面內的無數條直線垂直，則該直線與此平面垂直？
師生活動：
實驗探究：如圖，準備一塊三角形的紙片
，過
的頂點
翻折紙片，得到折痕
，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（
，
與桌面接觸）.
（1）折痕與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕與桌面垂直？為什么？
進而獲得猜想：如果一條直線與一個平面內兩條相交直線都垂直那么該直線與平面垂直.
追問1：為什么一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直時，這條直線就和這個平面垂直？
師生活動：教師引導學生從基本事實的推論2和平面向量基本定理出發，思考兩條相交直線可以確定一個平面，并且這兩條相交直線可以表示這個平面內的所有直線，因此，一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直時，這條直線就垂直于這個平面，從而對直線和平面垂直的判定定理進一步作出解釋.
追問2：為什么直線與平面內兩條相交直線垂直就可以判斷直線與平面垂直，而不是“兩條平行直線”或“三條兩兩相交直線”或“無數條直線”呢？
師生活動：教師提出問題，引導學生進行探究，可以利用手中的筆、紙舉出反例說明。
追問3：你能驗證直線與平面垂直的判定定理嗎？（提醒學生）可以結合平面向量基本定理說明.
設計意圖：引導學生有條理地進行探究.通過實踐操作，提出直線和平面垂直的判定定理的猜想．按照《標準（2017年版）》的要求，這一定理在本章不要求證明，而是在選擇性必修課程“空間向量與立體幾何”中進行證明.但在此處，可以結合實踐操作舉出反例，以及通過平面向量基本定理對此判定定理的正確性進行說明.為此，可以在學生探索出判定定理的猜想后，通過追問，提出對此定理進一步解釋的問題，以使學生確認此定理的正確性.結合判定定理的得出
問題6：嘗試分別用圖形語言、符號語言準確地表示直線與平面垂直的判定定理，并說說它的作用.
師生活動：教師板書，學生完成導學案.
設計意圖：實現圖形語言、符號語言、文字語言之間的轉換是讓學生進一步理解判定定理的需要，也是發展學生邏輯思維的需要.同時，體現了線線垂直到線面垂直的轉化.
的底面是正方形，
平面
，求證：
平面
.
是⊙
的直徑，點
是⊙上的動點，過動點的直線
垂直于⊙
所在平面，
，
分別是
，的中點.判斷直線
與平面
的位置關系，并說明理由.
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8.6.2直線與平面垂直的判定（一） 1.定義 例題 2.判定定理 |
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