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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《基本不等式》吉林—李
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吉林—李瑩瑩—設計—基本不等式
《基本不等式》教學設計
吉林省實驗中學 李瑩瑩
一、教學內容解析
《基本不等式》是《普通高中教科書·數學 必修第一冊》（以下統稱為“教材”）第二章第二節內容，屬于單元教學課. 之前學生已經學習了等式與不等式性質以及重要不等式
的相關內容，對于兩個數的大小關系的研究思路有一定的了解，對于學生而言，本節課是在學習了不等式性質的基礎之上，展開的對一種具體不等式——基本不等式的研究. 從數與運算的角度，
是兩個正數a，b的“算術平均數”， 
是兩個正數a，b的“幾何平均數”，因此，不等式中涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算. 從幾何圖形的角度，“周長相等的矩形中，正方形的面積最大” ，“圓中，弦長不大于直徑”等，都是基本不等式的直觀理解. 所以本節課是對相等與不等關系的進一步探索，又為之后學習函數的最值打下了基礎，在知識體系中起著承上啟下的作用．
“基本不等式”教學內容主要為：基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋與應用. 將這些內容融合在一節課中，就需要抓住本節課的主線，從整體上去研究這節課. 具體體現為借助已有經驗，從“研究兩個數大小關系”的基本問題出發，構建研究問題的基本方法，得出結論。讓學生完整的經歷“問題情境—特殊值猜想—一般性證明—實際應用”的過程，學生在整體框架下自主探究，合作學習．
基本不等式的教學重點為：基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋、用基本不等式解決簡單的最值問題．
1. 理解基本不等式
，發展邏輯推理素養；
2. 結合具體實例，用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題，發展數學運算和數學建模素養．
達成上述目標的標志：
1. 知道基本不等式的內容，明確基本不等式就是“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”；
2. 會利用不等式的性質證明基本不等式，能說明基本不等式的幾何意義；
3. 能結合具體實例，明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”；
4.能用基本不等式模型識別和理解實際問題，能用基本不等式求最大值或最小值，在解決具體問題的過程中，感受從特殊到一般、轉化與化歸、數形結合的數學思想方法．
三、學生學情分析
在知識結構上，學生已經掌握了不等式的基本性質，并能夠根據不等式的性質進行數與式的大小比較，也具備一定的平面幾何的基本知識. 本節內容在復習、鞏固不等式性質和重要不等式的前提下學習基本不等式，這為學生研究“基本不等式”提供了理論基礎和探究方向．
在能力水平上，由于基本不等式放在了必修一的第二章，剛進入高中的學生們缺少代數式證明的經驗，所以基本不等式的證明是本節課的一個難點. 其次，基本不等式的幾何解釋也是學生不容易想到的，需要數形結合地去理解. 此外，在利用基本不等式研究最值問題時，學生容易出現忽視使用條件，不驗證等號是否成立，甚至出現沒有確認和或積為定值就求最值等問題，這也是學生思維不夠嚴謹的表現．
因此，本節課的教學難點是：基本不等式的證明和利用基本不等式求最值．
四、教學策略分析
基于以上的教學重難點，在本節的教學中，應特別注意從學生的最近發展區設置問題，通過合作探究的學習方式，充分發揮學生的主體地位，培養學生的數學素養．
-
創設恰當的問題情境
以具體情境中的“研究兩數大小關系”出發，讓學生感受算術平均數和幾何平均數的生成，先大膽猜想二者大小關系，在猜想過程中會出現“特殊值嘗試”和“一般性證明”的認知沖突，借助小組探究的方式，讓學生體驗基本不等式的驗證過程，感受從特殊到一般的數學思想方法．
-
抓住研究問題的“主線”展開
為了更好地培養學生自主學習能力，提高學生的綜合素質，本節課主要采用探究式教學方法．教師通過設置情境，引導學生進行大膽猜想→討論探究→小心求證→實際應用→歸納總結，沿著研究問題的“主線”展開，充分發揮學生的主體地位．本節課的容量大，隨著探究和應用的進行，要不斷的加深學生對基本不等式結構特點的認識，逐步體會模型的應用價值．
-
遵循學生的認知規律設置問題
在基本不等式的三種語言的表述上，利用創設情境和GGB動態圖像演示，讓學生們從特殊到一般，大膽猜想不等關系，探究給出代數證明，數形結合給出幾何直觀，讓學生們探究其幾何意義；在基本不等式成立的三個條件的教學中，由例1設計“問題串”引導學生發現三個條件，即“一正，二定，三相等”；從特殊到一般，引出例2的一般證明，提煉出兩種最值模型的作用；再通過例3中的實際應用，體會在具體情境中抽象出數學模型，并利用基本不等式解題的一般步驟；在課后思考中，提供學生思維的拓展訓練與閱讀延伸．
-
堅持以學生為中心提供參與機會
本節課給學生提供以下4種機會：（1）提供觀察、思考的機會：用親切的語言鼓勵學生觀察并用學生自己的語言進行歸納；（2）提供操作、嘗試、合作的機會：鼓勵學生大膽利用資源，發現問題，討論問題，解決問題；（3）提供表達、交流的機會：鼓勵學生敢想敢說，設置問題促使學生愿想愿說；（4）提供成功的機會：贊賞學生提出的問題，讓學生在課堂中能更多地體驗成功的樂趣．
五、教學過程設計
1. 復習回顧，奠定基礎
問題1：上節課我們學習了等式與不等式的基本性質，請同學們回憶以下兩個內容：
-
兩個實數比較大小的基本事實；
-
重要不等式.
【設計意圖】通過回顧舊知識，奠定本節課“比較兩數大小關系”的探究基礎，對問題的研究提供了先行條件.
2. 創設情境，合作探究
問題2：我們知道，平均數是刻畫數據特征的一項重要指標.今天，我們就通過一個“化矩為方”的問題，探究兩個正數兩種平均數的大小關系.
【引例】已知矩形長和寬分別為
a,
b，求做一個正方形：
（1）使其與已知矩形面積相等，則該正方形的邊長是多少？
（2）使其與已知矩形周長相等，則該正方形的邊長是多少？
a
矩形 正方形
師生活動：計算引例中（1）（2）的邊長分別為：
（1）猜想二者有怎樣的大小關系？
（2）合作探究嘗試證明你的猜想.
【設計意圖】通過熟悉的“比較兩數大小關系”的問題切入新課，一方面學生明確兩個平均數的背景；另一方面通過特殊值猜想和一般性證明，引發認知沖突，從而形成對基本不等式的證明方法的認識.
3.
數形結合，深入探究
問題3：我們知道，數學中“數”與“形”是緊密聯系的，那“基本不等式”是否也是某種幾何關系的體現呢？
師生活動：如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=
a，BC=
b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？
【設計意圖】通過對圖形中幾何量的分析，讓學生在熟悉的情境中，找到
和
對應的幾何量，進而找到基本不等式的幾何解釋，讓學生體會數形結合的應用.
4. 例題剖析，構建模型
問題4：之前通過大膽猜想、小心求證，又探究了其幾何解釋，我們分別從“符號語言”、“文字語言”以及“圖形語言”三個角度，全面的認識了基本不等式. 那基本不等式又該如何應用呢？
師生活動：通過對例題的分析，以及“問題串”的設計，逐步引導學生探究基本不等式使用條件和模型的作用，以及其實際應用價值.
活動1：探究基本不等式的使用條件
師生活動：例1 . 已知
x＞0，求
的最小值.
追問1：本題中求最值的代數式有何特點？
追問2：這里的“取等號”條件必須說明嗎？
追問3：滿足什么條件的代數式，才能利用基本不等式求最值？
【設計意圖】從最簡單的模型出發，解決學生心中的疑惑，同時讓學生感受基本不等式在應用時，其模型的基本結構特點和條件的要求，也初步體會“最值”的概念,并為學生求解代數式最值問題提供了示范.
活動2：探究基本不等式模型的作用
師生活動：例2. 已知
x、
y都是正數，求證：
（1）如果積
xy是定值
P，那么當
x＝
y時，和
x＋
y有最小值
．
（2）如果和
x＋
y是定值
S，那么當
x＝
y時，積
xy有最大值
．
追問4：通過本題，你能說說基本不等式能幫助我們解決什么樣的問題？
【設計意圖】從特殊到一般，讓學生體會基本不等式在結構上，是兩個正數的“和”與“積”的基本關系，使得二者在具體問題中“知一求一”，即“知一定值，求一最值”，加深對其模型作用的理解，也為用基本不等式解決實際問題創造了條件.
活動3：基本不等式實際應用．
師生活動：例3 （1）用籬笆圍一個面積為100m
2的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？
（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？
【設計意圖】本例是典型的較簡單的能夠用基本不等式求解的問題，通過本例的教學，可以幫助學生理解如何用基本不等式模型理解和識別實際問題，進一步發展學生的模型思想.
5. 回顧反思，思維拓展
小結：這節課，知識上我們學習了基本不等式的三種語言的表述，方法上我們學習了轉化和化歸以及數形結合的思想，我們還體會了對于一個新的數學發現，“大膽猜想，小心求證”的科學探索的態度.探索永無止境，希望同學們能將它落實到以后的學習之中．
課后思考：
（1）【引例】已知矩形長和寬分別為
a,
b，求作一個正方形：
（1）使其與已知矩形面積相等，則該正方形的邊長是多少？
（2）使其與已知矩形周長相等，則該正方形的邊長是多少？
（3）使其與已知矩形對角線長相等，則該正方形的邊長是多少？
【思考】計算（3），并思考著三個邊長之間有怎樣的大小關系呢？
（2）課后延展閱讀
算術平均數 幾何平均數
【設計意圖】引導學生回顧本節課的學習內容和學習方法，要注意引導學生體會研究一個具體不等式的一般過程.課后思考題呼應了課前的引例，也是引導學生延展學習，課后的延伸閱讀讓學生去更多的了解兩種平均數的形式和應用，拓展學生的思維.
§2.2 基本不等式
一.基本不等式 例1.
1.代數證明：
2.幾何解釋： 例2.
3.使用條件：
4.作用： |
多媒體演示 |
六、板書設計
七、教學反思
不等式對于高中學生來講并不陌生，但基本不等式作為一個新的知識點，形式抽象，應用靈活，并且出現在必修一的預備知識中，這對剛剛進入高中的高一學生來講，是有很大挑戰的.教材上是由重要不等式換元的方式，得出基本不等式，并且用分析法給以證明，但這一切的過程，對學生來講都比較“突然”.故在課前創設問題情境中，我查閱了“平均數的起源”，發現正是矩形化為正方形而生成的幾何平均數，又查閱了相關的論文，才設計了本節課的課前“引例”——通過“化矩為方”問題比較“兩種平均數的大小關系”.在問題中，讓學生自行發現“算術平均數”和“幾何平均數”，然后讓學生大膽猜想，學生最容易想到的就是利用“離散”的特殊值嘗試，故此處設計了老師對于“連續變化”的特殊值的直觀的動圖演示，探究其大小關系，引起學生對“特殊和一般”的認知沖突，讓學生從一般證明方法去研究，能更好的接受此不等式的驗證過程.
另外，在基本不等式的求最值問題中的“最值”，對于高一剛起步的學生來講，這一概念還很模糊，對于基本不等式的使用條件也是要學生自己發現才有意義，故對例題設計了“問題串”，學生在問題中去尋找線索，在環環相扣的問題中，去逐步完善自己的知識結構，思維得到拓展，能力得到進一步提高.
最后，在小結部分的思考“通過本節課的學習，談談你有哪些收獲？”讓學生翻看自己的回憶，自行總結自己所得，學生的主體地位突顯.以及對“課前引例中加入（3）的繼續探索”以及“兩種平均數”的課后延伸閱讀，既能前后呼應，又能拓展所學，讓學生體驗邏輯思維的逐步延展，看到自己的潛能，從而激發學生的學習興趣，促進學生的自主發展，準備提升自己的能力.
當然，本節課在授課之后，我也認真地反思了自己的不足，一方面在“三種語言”的總結過程中，PPT在制作時有一點疏忽，將“半弦長”寫成了“弦長”；另一方面，在例3的學生作答時，如果能用學生板書或者投影的方式展示，可能要比學生寫讀作答的方式效果更好，但時間有限，這里也是一個遺憾.
在今后的教學中，我會更重視教材的挖掘，更重視“基本活動經驗”的積累與引導其激活，無論是在公開課還是在日常教學過程中，都應該把時間和自主探究的權利交還給學生，讓學生獲得自主發現的體驗，感受“大膽猜想，小心求證”科學探索的精神，為學生進一步落實數學學科核心素養，我會始終保持一腔熱忱，努力探索.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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