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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《指數》寧夏—曹
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寧夏—曹旭—設計—指數
指數
曹 旭（寧夏回族自治區銀川市第九中學）
一、教學內容與解析
1.內容
次方根的定義及性質，根式與分數指數冪的轉化，有理數指數冪的意義及其運算性質，無理數指數冪的意義及其運算性質．分為兩個課時：第一課時完成根式與分數指數冪的轉化，有理數指數冪的意義及其運算性質；第二課時完成無理數指數冪的意義及其運算性質．
本單元的知識結構如下：
2.內容解析
本單元內容是在數系擴充的背景下，基于運算性質的一致性將指數擴充到全體實數.既是代數中數及運算的一部分，也是利用代數方法研究指數函數性質的基礎，屬于概念型知識.
在初中平方根與立方根的概念基礎上，進一步學習次方根的概念和性質.重溫數的擴充明確數學中引入一個新的概念或法則時遵循一個原則：要與已有的概念或法則相容.遵循擴充原則，借助根式將整數指數冪推廣到有理指數冪，利用逼近思想將指數的取值范圍推廣到實數，建立實數指數冪的概念，并研究其運算.“指數”的內容安排在“指數函數與對數函數”一章的第一節，是為后面指數函數概念的抽象與代數法研究性質奠定了基礎.同時也為利用指數冪及其運算性質研究對數的運算性質，進而研究對數函數等做好準備.
指數冪的拓展過程充滿著極大的育人價值.數學概念的延伸與拓展中體現出數學思維的嚴謹性、數學思想方法的前后一致性和數學知識發生發展過程的邏輯連貫性，可以使學生體會到數學對象的內涵、結構、內容和方法的構建方式，從而使學生體悟到“數學的方式”，領會數學地認識問題、解決問題的思想方法，有助于學生理解數學概念的發生和發展過程，發展“四基”“四能”進而提升數學素養.
基于以上分析，本單元的重點是指數冪的推廣.根式性質的理解，指數冪運算性質的應用.
二、目標與目標解析
1.單元目標
通過有理數指數冪
、實數指數冪
含義的認識，了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質.
2.課時目標
（1）經歷次方根定義形成過程，理解根式的概念，掌握根式的性質，培養數學抽象核心素養.
（2）會進行根式與分數指數冪之間的相互轉化，培養學生邏輯推理核心素養.
（3）理解有理數指數冪的意義及其運算性質，并能運用有理數指數冪的運算性質進行化簡求值，提升數學運算素養.
3.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）通過類比初中所學平方根、立方根概念，獲得n次方根的概念與性質，能夠正確的運用性質化簡、求值.
（2）經歷從整數指數冪到有理數指數冪的擴充過程，明確擴充原則，能說出
等符號的意義.
（3）能夠將根式轉化為分數指數冪，再利用有理數指數冪性質進行化簡、求值.
三、學生學情分析
1.學生所具有的基礎
從知識內容上說：初中階段學習了乘方概念，知道了乘方是一個數“自相乘的縮寫”.在
中，
叫做底數，
叫做指數.還學習了正整數指數冪的運算性質和除法運算，定義了0的指數冪，利用正整數指數冪定義負整數指數冪
，把指數范圍從自然數推廣到全體整數.定義了二次根式，經歷了二次根式性質的探索過程.
從學習過程上說：學生經歷了從自然數系出發，向整數、有理數、實數的擴充.還經歷了正整數指數冪向整數指數冪的擴充.
從思想方法上說：學生積累了的類比、歸納、分類討論的學習經驗.
2.達到目標所具有的基礎
學生要有一定的數系擴充經驗，并明確每一次擴充的原則是原有的運算性質不改變，還要具備較強的代數思維和邏輯推理能力.
3.學生所具有的基礎和達到目標所需基礎之間的差異
學生不清楚從整數指數指數冪到實數指數冪推廣的整體架構和原則.不具備冪運算與根式運算之間的轉化技能，在運算上經常會出現錯誤.
基于以上分析，本單元的難點是構建指數冪推廣的整體架構，分數指數冪的理解以及實數指數冪的運算性質的應用.
四、教學策略分析
1.構建指數冪的拓展原則，明確研究思路.通過梳理數系擴充的整體架構，明確擴充原則是運算性質不變，遵循這一原則展開指數冪擴充的研究.最終形成一套指導思想明確、研究思路清晰、研究方法可遷移的推廣主線.
2.數學思想方法引導學生學習.通過豐富的典型例證形成定義、辨析概念過程中蘊含著大量的數學基本思想方法，包括觀察分析、類比、分類討論，特殊化、一般化等得出結論.
3.加強信息技術與課堂教學融合.有理數指數冪的性質完整證明較為復雜，實數指數冪性質的證明需要極限的理論，我們可以借助GGB軟件直觀地感受指數冪的性質.
五、教學過程設計
1.了解背景，統領全章
引導語：在第三章我們學習了函數的概念和性質，并初步應用它研究了冪函數，本章開始，我們將利用上一章的內容研究幾個具體函數.
問題1：請同學們先閱讀教材第103頁章頭圖與章引言，回答下面問題：
（1）本章將要學習的內容是什么？
（2）從文中你可以了解這些函數可以解決哪些實際問題？
為了研究指數函數，我們需要把指數的范圍拓展到全體實數.那么拓展的原則是什么？如何拓展呢？我們先從已有的知識經驗上進一步研究.
師生活動：學生帶著問題閱讀、思考并回答，教師點撥，并引出課題.
【設計意圖】：通過章頭圖與章引言的學習，使學生了解本章的學習內容和要解決的實際問題，建立整體框架，符合學生的學習心理特征.
2.復習舊知，梳理路徑
問題2：在小學和初中的學習中，“數”的擴充經歷了怎樣的過程？運算性質是否發生了變化？
師生活動：引導學生重新認識數系的擴充過程，明確數學中引入一個新的概念或法則時，要與已有的概念或法則相容.
引導語：數系的每一次擴充遵循了這樣的原則：擴充后的數系中依然保持了原有的運算法則不變.數系的擴充為指數冪的擴充指明了方向，我們再來回顧指數冪的擴充.
問題3：在初中我們學習了正整數指數冪，你能說出正整數指數冪的意義和運算性質嗎？
追問：初中還把指數進行了擴充，使其可以取負整數，你能說出負整數指數冪意義是什么呢？
師生活動：正整數指數冪的意義為個自相乘，即
運算性質有：
將指數擴充到負整數指數冪
后，遵循了擴充原則：運算性質沒有發生變化.即有
問題4：在數系擴充的背景下，還想引進什么樣的指數使指數冪進一步擴充？你認為擴充的原則是什么？
師生活動：
【設計意圖】：指數冪的拓展過程與數及其運算的擴充過程有關聯，通過加強與初中整數指數冪拓展經驗相聯系，引導學生建立拓展指數冪的整體架構.
3.類比學習，形成概念
問題5：在初中我們由平方、立方的運算，引入了平方根、立方根.你能說出它們的概念并舉出實例嗎？
比如：
，那么
叫做
的二次方根（平方根）.
如果
，那么
叫做的二次方根（平方根）.記作
；
比如：
，那么
叫做
的三次方根（立方根）.
如果
，那么叫做的三次方根（立方根）.記作
；
追問1：類比二次方根、三次方根的概念，你能說出四次方根，五次方根的概念嗎？
如果
，那么叫做的四次方根.記作
；
如果
，那么叫做的五次方根.記作
；
追問2：你能歸納出更一般的次方根的概念嗎？
如果
，那么叫做的次方根.其中
.
追問3：討論任意實數都有次方根嗎？有幾個？該如何表示實數的次方根？
師生活動：學生小組討論后全班交流，教師收集整理學生易錯點.在進行點評的基礎上，給出實數的次方根的表示和根式的定義.
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存在，有一個，是正數 |
存在，有兩個，互為相反數 |
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存在，有一個，是負數 |
不存在 |
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叫做根式，叫做根指數，叫做被開方數.
形成定義辨析概念
，那么次根式
有什么性質嗎？
，你認為次根式有什么性質？
，你認為次根式有什么性質？
次方根的性質
次方根的性質，計算下列值
，2與5,10之間有什么關系？
，3與4,12之間有什么關系？由此你能得到什么結論呢？出發，希望擴充后指數冪的運算性質不發生變化，便有
，從而得到
，發現
，從而
.
.
你能得到負分數指數冪結論嗎？
的定義，將其和根式聯系在一起.從而得到更一般的
定義，類比負整數指數冪和0的整數指數冪的定義得到負分數指數冪和0的有理數指數冪的定義.將指數范圍順利、合理的擴充到有理數.
，
隨著
的增大而增大；當
，隨著
的增大而減小.
（2）
（2）
值.視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
