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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《用信息技術探究點的軌跡：橢圓》湖南—歐
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湖南—歐衛衛—設計—用信息技術探究點的軌跡：橢圓
《用信息技術探究點的軌跡：橢圓》教學設計
一、教學內容解析
本節課選自人教A版（2019版）普通高中教科書數學《選擇性必修第一冊》第三章第一節閱讀材料，是一節探究課，本節課之前已經學習了直線與圓的方程，橢圓的定義、方程及簡單幾何性質，后續章節要學習雙曲線、拋物線，由于教材是從兩點距離之和、之差的角度給出橢圓和雙曲線的定義的，這與拋物線的定義“平面內到定點的距離與到定直線的距離相等”有些脫鉤，因此本內容借助信息技術探究橢圓的其它定義形式，不僅讓學生體會到橢圓多種定義間的辯證統一關系，而且從定義的層面將三種曲線進行了統一.
二、教學目標設置
1.教學目標
（1）利用GGB動態追蹤的優勢，充分發揮信息技術的作用，使學生理解并掌握用《GeoGebra》探究點的軌跡的方法；
（2）通過對橢圓第二定義的猜想、實驗、論證等探究過程，提高學生發現問題和提出問題，分析問題和解決問題的能力，提升數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養；
（3）通過雙曲線、拋物線的拓展探究，培養學生敢于猜想、勇于探索的精神；通過小組合作交流，培養學生的團隊合作意識.
2.教學重點：借助GGB軟件探究橢圓的第二定義以及證明平面截圓錐法得橢圓的原理.
3.教學難點：探究橢圓第一、第二定義間的辯證統一關系.
三、學生學情分析
1.已具備的認知基礎：通過直線、圓、橢圓的學習，學生已基本掌握了橢圓的第一定義及簡單幾何性質，以及用坐標法研究平面幾何圖形的基本方法，學生通過信息技術課對《GeoGebra》軟件的使用已經比較熟練.
2.需要的認知基礎：橢圓第一定義與第二定義的聯系.
3.班級學生的特點：本班是年級中等偏上的學生，學生基礎較好，思維較活躍，但自主、合作探究能力及創新思維有待進一步提高.在本章的學習中，學生對橢圓的第一定義的理解與掌握都較好，但幾乎沒接觸過關于橢圓的拓展知識，且抽象思維、推理論證能力還有待加強.如學生難以想到到定點的距離與到定直線的距離的比值為常數的點的軌跡是什么，橢圓的第二定義與第一定義之間的聯系什么.所以本堂課我采取的突破此難點的策略是，利用信息技術建立幾何直觀的基礎上，再進行代數表達與運算、推理，這也是化解解析幾何學習中運算、代數推理難點的舉措。
四、教學過程：
1.教學流程
創設情境→數學實驗→探究發現→理論推證→抽象概括→拓展探究→歸納小結→課外探究
2.教學過程
（1）創設情境
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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（教材P113例6）動點  與定點 的距離和 到定直線 ： 的距離的比是常數 ，求動點的軌跡. |
教師PPT展示教材113頁例題6及其解答過程，回顧橢圓定義 |
教師深度剖析教材，活用教材，由學生已學的例題引出課題，在學生的認知水平的最近發展區創設情境. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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問題1. 類比橢圓的定義，你能否由例6猜想橢圓新的定義形式？應如何表述？ 問題2.改變定點  和定直線的相對位置，點的軌跡會發生變化嗎？問題3.改變比值的大小，點 的軌跡會發生變化嗎？ |
鼓勵學生大膽猜想，由學生初步猜想出橢圓定義：平面內到定點的距離與到定直線的距離之比為常數 的點的軌跡是橢圓.學生在《GeoGebra》軟件上演示，通過實驗觀察得到發現：  ， .猜想1：平面內到定點 的距離與到定直線 的距離之比為常數 的點的軌跡是橢圓. |
引導學生由特殊到一般猜想出橢圓另一種形式的定義，為得到橢圓的第二定義做好鋪墊. 由學生自己動手實驗、觀察，將初步猜想變得更加精準，化抽象為具體，增強學生對“動點軌跡”的感性認識. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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問題4. 繼續觀察例6，得到的橢圓標準方程中，  分別是多少？猜想與題干中，：，常數有什么關系？ |
由學生回答自己的猜想，定點為焦點，常數為離心率 ，直線：為 ： .將猜想1定量表述為猜想2：平面內動點  到定點 的距離和到定直線： 的距離之比為常數 的點的軌跡是橢圓. |
注重啟發式課堂教學，由定性猜想到定量猜想，引導學生將猜想1定量表述為猜想2，進一步培養學生歸納猜想的能力，為用坐標法論證猜想做好鋪墊. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
證明：平面內動點到定點的距離和到定直線： 的距離之比為常數的點的軌跡是橢圓. |
希沃投屏學生的證明過程，并讓學生間相互評價，老師點評； 老師給出另一種代數變形形式，引導學生找到第一定義與第二定義之間的關系； PPT展示橢圓第一定義標準方程的推導過程，引導學生找到  變形為 .并讓學生回答問題給出式子  的幾何解釋. |
1.通過對猜想2的證明，進一步熟悉坐標法. 2.通過希沃軟件投屏學生的證明過程，其他學生點評，激發學生的學習興趣，培養學生積極思考和發現問題、解決問題的能力. 3.回歸教材，根據第一定義推導過程中的不同代數變形，并從幾何角度給出解釋，得出第一定義和第二定義的辯證統一關系. |
由橢圓對稱性可得：平面內動點到定點 的距離和到定直線： 的距離之比為常數的點的軌跡是橢圓.問題5：你能從橢圓標準方程的推導過程中給出證明嗎？ |
由 得 變形為  . |
4.由橢圓的右焦點、右準線，到左焦點、左準線，培養學生類比推理的能力，同時滲透了數學的對稱美. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
結論：平面內動點到定點（或 ）的距離和到定直線： （或 ： ）的距離之比為常數的點的軌跡是橢圓.橢圓的第二定義：平面內到定點 的距離和到定直線 的距離之比為常數  的點的軌跡是橢圓.定點 叫做橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的叫做橢圓的準線，常數叫做橢圓的離心率. |
教師引導學生得到橢圓第二定義. 教師板書橢圓第二定義并說明第二定義與第一定義的聯系. |
由猜想到實驗觀察，再到理論論證，最后得到橢圓第二定義的形式，幫助學生從特殊到一般發現規律，培養學生的探究精神,同時又兼顧了橢圓第二定義與第一定義之間的關系.. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
學生觀看用GGB演示平面截圓錐的動態過程的視頻 探究 一平面截圓錐所得截面如圖所示， 為截口曲線上任意一點，證明：點的軌跡是橢圓. |
學生小組合作探究為什么截口曲線是橢圓，教師適時點撥. | 從數學文化的角度對橢圓定義探究進行發散，借助《GeoGebra》軟件解決教材章引言中的遺留問題，引導學生感悟數學的文化價值，審美價值.同時，學生通過感受《GeoGebra》軟件強大的三維可視化作圖功能，增強了往后借助信息技術學習數學的熱情. |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
通過本節課的學習，
的距離和到定直線 ( )的距離為常數 的點的軌跡是橢圓.
2.數形結合 3.從具體到一般 4.類比 |
請學生自主小結，相互補充，最后老師簡要小結. |
通過引導學生從基礎知識、基本思想兩個層面來交流這節課的收獲，達到有效促進、完善學生知識體系構建的目的. 通過教師寄語，激勵學生大膽猜想，敢于探索，勇攀高峰！ |
| 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
課后作業： 必做題：1. 如圖，圓 的半徑為定長 ， 是圓內一個定點，是圓上任意一點. 線段 的垂直平分線和半徑 相交于點 ，當點 在圓上運動時，點的軌跡是什么？為什么？2.已知  的兩個頂點 的坐標分別是 ，且 所在直線的斜率之積等于 ，求頂點 的軌跡.3.一動圓與圓  外切，同時與圓 內切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線.選做題：借助GGB軟件，用類似的方法探究點的軌跡——雙曲線、拋物線. |
學生獨立思考、自主完成，培養良好學習習慣. |
1.通過讓學生課外自主探究橢圓的其它多種生成方式，培養學生思維的多樣性與創新能力. 2.設計必做題和選做題，意在既鞏固所學知識，又給學有余力的學生以更大的發展空間，體現了因材施教的原則. 3.布置網絡作業，充分利用網絡平臺挖掘優質學習資源，不僅讓學生體會到圓錐曲線在生活中應用之廣泛，而且更進一步培養了學生信息素養，拓展數學視野. |
| 用信息技術探究點的軌跡：橢圓 |
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2.證明： |
1、橢圓的第一定義： 2、橢圓的第二定義：平面內到定點  的距離和到定直線 ( )的距離為常數 的點的軌跡是橢圓.—焦點 —準線 —離心率 |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
