視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓及其標準方程》內蒙古—孔
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內蒙古—孔祥茹—設計—橢圓及其標準方程
課題：2.2.1橢圓及其標準方程
【教學內容解析】
本節課是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書》數學選修2-1第二章第二節第一課時，主要內容是橢圓的定義和標準方程。其中定義是基礎，方程是載體，數形結合是核心。在必修2，學生已經在直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法——坐標法。本節課從研究路徑上來講是研究直線與圓方法的遷移，是利用坐標法研究曲線的最典型的案例。橢圓的定義和方程是進一步研究橢圓幾何性質的基礎，其探究過程可為雙曲線，拋物線等曲線的研究提供范例。本節內容及其探究過程蘊含了數形結合思想，分類討論，類比以及轉化與化歸等數學思想方法。更是發展學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的優秀的素材之一。因此，教學時應重視體現數學的思想方法的提煉及價值。基于以上分析確定了本節課的學習重點：橢圓的幾何特征，橢圓的定義及標準方程。
【學生學情分析】
橢圓是生活中常見的曲線，學生對于它并不陌生。本節課是在學生已經學過直線和圓的方程，對于利用直角坐標系研究平面幾何圖形已有初步認識，對于用坐標法研究曲線的整體框架、步驟和方法已有一定的基礎。在這一章的前一節學生學習了曲線與方程，知道了求曲線方程的一般步驟。在這些基礎上學習橢圓的定義及其標準方程，符合學生的認知規律。但是，由于橢圓的幾何特征比較圓復雜，學生對于從哪個角度入手抽象橢圓的幾何特征會出現困惑。引入數學實驗，讓學生動手畫橢圓不難，但對實驗過程中變化量與不變量的分析，由動點的運動規律抽象動點的軌跡特征，學生卻是非常迷茫的。橢圓標準方程的推導過程復雜，學生在之前的學習經驗中，未接觸過一個式子中含有兩個根式相加的情況，也沒有先觀察方程的結構特點，以此為依據探究運算思路的運算經驗，會造成學生在化簡方程時出現直接平方后無法繼續實施化簡的情況。基于以上分析，確定本節課的難點為：橢圓幾何特征的準確刻畫，橢圓標準方程的推導與化簡。突破難點的方法：教學中加強讓學生動手畫橢圓的過程，借助動態幾何軟件多畫幾個橢圓，并在“觀察什么”“如何觀察”上進行引導。在化簡橢圓方程的過程中，提醒學生先觀察方程的結構特點，然后再動手運算，讓學生親歷不同的化簡過程，利用投屏軟件將不同的運算思路對比，討論，選擇恰當的化簡方法并有成功體驗，而不是被動的接受教材或者老師強加的方法。
【教學目標設置】
1.通過豐富的實例，了解橢圓的實際背景，從感性上認識橢圓；
2.動手實驗，親身體會橢圓的形成過程，分析實驗過程，抽象出橢圓的幾何特征，能準確說出橢圓的定義，發展數學抽象素養；
3.能利用橢圓的幾何特征建立適當的直角坐標系，能按求曲線方程的一般步驟推導橢圓的標準方程，進一步感悟坐標法，發展直觀想象素養；
4.會化簡含有兩個根號的等式，正確推導出橢圓的標準方程，發展數學運算等素養；
5.能根據橢圓的標準方程確定橢圓的位置，根據條件確定橢圓的標準方程。
【教學重點】橢圓的幾何特征，橢圓的定義及橢圓的標準方程。
【教學難點】橢圓幾何特征的準確刻畫，橢圓標準方程的推導。
【學具準備】一張圖板，一根無彈性細繩，一支鉛筆，兩枚圖釘。
【教學策略】
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精心設計前置課
橢圓作為圓錐曲線最有代表性的曲線之一，有著統領全章的作用，所以有必要引導學生進行整體圓錐曲線的認識；直線與圓的研究路徑的回顧，可幫助學生整理已有的學習經驗，為本節課的學習明確研究路徑，從而形成先行組織者；但由于本節課內容比較多，因此將以上內容前置。
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營造教學情境
突出數學實驗讓學生經歷畫橢圓的過程，通過親身參與、切實感受到橢圓的生成過程，讓學生真實地感受到“動點到兩個定點的距離之和為常數”這個特征，為抽象橢圓的幾何特征、得出橢圓的定義提供基礎。
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問題驅動教學
以學生的“最近發展區”為中心，在知識形成的“關鍵點”運用方法策略解決問題的“最優點”，數學知識的“聯結點”，數學問題變式的“發散點”上精心設計問題串，學生通過思考問題展開課堂探究，體現學生的主體性。教學過程中特別重視和利用學生的錯誤，讓學生經歷發現“錯誤”、產生“錯誤”的原因，改正“錯誤”等一系列的過程，讓錯誤成為進一步思考的動力，真正實現從學習中來，到學習中去的良性循環。
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分層學習，課外探究
通過開放性作業和課后閱讀，讓不同層次的學生都可繼續參與到橢圓的其他知識的探究中來。
5.充分發揮信息技術輔助教學的作用
根據本節內容的特點，教學過程中充分發揮信息技術的作用，用幾何畫板的動態作圖，為學生的數學探究與數學思維提供技術支持。
【教學過程及說明】
環節一：列舉實例，初步感知
課堂引入：同學們，前面我們用坐標法學習了直線、圓及其位置關系。生活中還有一些有用、有趣、我們還不太了解的曲線有待于我們探究。比如，我們來一起欣賞下面的圖片，請看大屏幕：
從這些圖片中，大家可以觀察到一個共同的圖形，那就是---
學生：橢圓（觀察圖片，初識橢圓）；
教師：我們可以看到，大到天體運動的軌跡，小到日常生活，橢圓的身影處處可見，今天，就讓我們繼續用坐標法來研究一下這個優美的曲線--橢圓。
問題1：類比直線和圓的方程的研究過程，你認為我們按照怎樣的路徑研究橢圓呢？
師生活動：在前面用坐標法研究直線與圓的基礎上，明確本章用坐標法研究曲線的研究思路：現實背景—曲線的概念—曲線的方程—曲線的性質—曲線的應用。
【設計意圖】
通過豐富的實例，了解橢圓的實際背景，從感性上認識橢圓。通過類比已有知識，明確研究橢圓的基本路徑，從而形成先行組織者。
環節二：動手實驗，深刻剖析
教師：請大家回憶一下，圓的定義是什么？
學生：平面內到定點的距離等于定長的點的集合就是圓。
教師：如果我把一根細繩的兩端固定在同一位置，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，那么筆尖形成的軌跡是什么？
學生：圓
問題2：如果把繩子的兩端固定在圖板上的兩點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，筆尖畫出的軌跡是什么曲線呢？接下來請大家用事先準備好的圖板，圖釘，鉛筆，細繩按照屏幕上的實驗要求，動手實驗。
（出示幻燈片)
實驗結果：筆尖畫出的軌跡是什么曲線？
師生活動：學生動手畫圖，教師到學生中去巡視指導，必要時提示學生畫圖的方法，參與到學生的實驗中，以保證每個學生都能畫出橢圓。
教師：按照實驗要求，大家畫出了什么曲線？
學生：橢圓
師生活動：學生畫完橢圓以后，教師可以利用信息技術模擬畫橢圓的實驗，引導學生分析，在實驗過程中，哪些量發生了變化，哪些量沒有變化；由固定的兩點
給出了什么條件；與“取一定長的細繩”相聯系，“套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？通過分析得出：筆尖到；兩個定點
的距離在改變，但距離的和保持不變，都等于細繩的長度。由此得出確定橢圓的幾何要素是：兩個定點
（由此也就給定了|
|），動點到
的距離之和為常數。
【設計意圖】通過動手實驗，讓學生切實感受到橢圓的生成過程，通過精心預設問題，運用動手操作、小組合作、交流、評價等方式，為橢圓的定義奠定基礎。
環節三：追根溯源，抽象概念
問題3：你能根據確定橢圓的幾何要素給出橢圓的精確定義嗎？
師生活動：先讓學生獨立思考，并說出定義，針對典型性的定義，進行點評互動。
【預設可能出現的問題及解決問題的方法】
在學生抽象橢圓定義時，會有學生給出定義：與兩個定點
的距離之和等于常數的點的軌跡叫做橢圓。可能出現以下情況：
（1）易丟掉：平面內；（2）易丟掉：大于
教師可引導學生思考，如果不加上平面內的限制，軌跡就會形成橢球面。然后利用信息技術，不斷調整兩點
之間的距離，引導學生觀察所畫軌跡形狀的變化，發現所畫出的圖形受“常數”與
的大小關系制約，進而明確必須加上限制條件“常數大于
”，在此基礎上給出橢圓的定義，以及橢圓的焦點，焦距等相關概念。
【設計意圖】課堂教學是一個動態生成的過程，學生在課堂教學中出現的問題，是學生思維的真實反映，是教學“生成”的起點。當問題出現后，教師不是直接告訴學生錯在哪兒，而是引導學生自己去發現問題，通過恰當的手段（如舉反例、實驗）去解決問題，讓學生經歷從不嚴謹到嚴謹的過程，逐步完善對橢圓幾何特征的理解，抽象出橢圓的概念，使學生從中體驗精確定義一個數學對象的數學方式，培養學生思維的嚴謹和數學抽象素養。
環節四：數形結合，推導方程
問題4：在作圖的基礎上，我們抽象出了橢圓的定義，接下來要推導橢圓的方程。請大家回憶：求曲線方程的一般步驟是什么？
（出示幻燈片）
-
求曲線方程的一般步驟是什么？
師生活動：梳理求曲線方程的一般步驟。根據曲線的幾何特征建立適當的坐標系——根據定義明確曲線上的點滿足的幾何條件——將幾何條件轉化為代數表示列出方程——化簡方程——檢驗方程。
問題5：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系才能使橢圓的方程更簡單？把你的想法畫在剛剛做實驗時畫出的橢圓上面。
學生：獨立思考后動手畫圖。
師生活動：拿幾名同學的成果用投影儀展示，根據情況提問學生為什么選擇那樣建系，通過討論使學生意識到以橢圓的兩條對稱軸為坐標軸，以橢圓的對稱中心為原點，這符合建系的“對稱性”“簡潔性”原則，這樣建立的坐標系下求出來的方程形式是最簡單的。
師生活動：按照求曲線方程的一般步驟推導橢圓的方程，在推導橢圓的過程中要注意引入2a、2c的自然合理。
問題6：
觀察方程的結構，你認為怎樣變形有利于化簡方程？思考過后，大家動手運算。
師生活動：讓學生先按自己的想法直接進行平方運算,遇到計算非常繁瑣的困難后（即生成的新問題），通過投影展示學生的不同運算方案，通過學生不同方法的對比或討論，明確化簡含有兩個根號的方程的方法———移項后再平方，出現的根式繼續單獨留在一側，再次平方徹底去掉根號，再讓學生動手繼續運算，直到化簡完成，得到
【設計意圖】
通過學生親身嘗試不同的運算方案并進行對比討論，使學生切實感受到在實施代數變形前應思考變形方向，而不是盲目的運算，從而提高推導過程的理性水平，使數學運算能力得到培養；
追問1：
已經是整式方程了，還能繼續化簡嗎？追問2：對于方程
，你唯一的遺憾是哪里？
追問3：你能從圖中找出表示a、c、b的線段嗎？
追問4：為什么一開始把距離之和設為2a,把
設為2c？
【設計意圖】為實現對橢圓最簡形式的探究，b的引入是關鍵，讓學生體會引入b的必要性與合理性，使其接受知識成為一種自然，而不是硬性灌輸。讓學生按知識的發現，發生，發展的歷程去探究和體驗，在探究過程中培養學生的創造能力。
問題7：這樣我們就得到了橢圓的方程
，該方程叫做焦點在x軸上的橢圓的標準方程。那么當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程是什么？你能不做具體推導就得到結論嗎？
學生：思考、猜想；
【預設可能出現的問題及解決問題的方法】
方法1：焦點坐標變為
，重復推導過程，布置為作業。
方法2：由學生動手列式，
，引導學生觀察焦點在x軸上與焦點在y軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程
。其理由是：兩種情況下的焦點關于直線
對稱，所以方程也有這種對稱性。
【設計意圖】讓學生利用已經得出的焦點在x軸上的橢圓標準方程，通過幾何條件的對稱性直接得出焦點在y軸上的橢圓標準方程，一方面可以促進學生對橢圓的幾何特征（主要是對稱性）的理解，另一方面可以讓學生體會類比思想在發現、探究數學結論中的積極作用，同時也可以發展學生的直觀想象素養。
教師：（出示幻燈片）
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標準方程 |
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圖形 |
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焦點坐標 |
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 的關系 |
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焦點位置的判斷 |
哪個分母大，焦點就在哪個軸上 |
教師：1.橢圓的標準方程中三個參數a,b，c的關系怎樣？
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如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？
學生：1.
2.哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上（誰大跟誰走）
環節五：解題研究，提升能力
教師：出示例1
已知橢圓的兩個焦點坐標為
，并經過
，求它的標準方程。
學生：板演，學生點評（預設大部分同學用待定系數法）。
教師：你還有其他的解法嗎？
學生：定義法，簡述過程。
教師：兩種方法各自適合的情況，讓學生總結。
【設計意圖】考察學生對目標-----“根據條件求橢圓方程”的達成情況，使學生體會橢圓定義在解題中的作用，培養學生先分析條件，再根據條件的特征選擇橢圓標準方程的形式，培養良好的解題習慣，鼓勵學生利用本節所學從不同角度解決問題，讓學生自己去發現待定系數法求橢圓的標準方程，提高學生的數學運算能力。
教師出示變式題：已知橢圓標準方程為
，P是橢圓上一點
根據本節課所學的知識，你能發現哪些結論？
【預設學生可能發現的結論】
（1）a=5,b=4,c=3，焦點
，
，焦距=
（2）若P是橢圓上的一點，則
或
的周長=__________
（3）教師進一步設置探究問題：過
作垂直于
軸的直線交橢圓于
兩點，則
的周長為______
不垂直于
軸時，
的周長有變化嗎？為什么？
【設計意圖】考察學生對目標-----“根據方程確定橢圓位置”的達成情況，也為不同層次的學生提出了不同的目標，為各個層次的學生提供了展示自我的機會，培養學生發現問題、探究性質的能力。
環節六：提煉總結，延伸拓展：
本節課我們從現實背景出發，抽象出來了橢圓的概念，構建了橢圓的方程。你在本節課學到了哪些知識？
師生活動：通過教師引導，學生回答的形式，除了知識方面的總結，也要重視思想方法，以及意識層面的總結。
【設計意圖】引導學生回顧橢圓定義及標準方程的內容，并從思想方法意識等層面總結提升。
環節七：課后作業（必做、探究、選做）
必做：教材：P42練習第1,2,3題。
探究：你認為
能否表示橢圓？
課外選做：P42探究與發現
【設計意圖】設置必做，探究以及選做三個層次的作業，讓不同層次的學生都參與到橢圓的探究中來。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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