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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《斐波那契數列與黃金分割》湖南—吳
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《斐波那契數列與黃金分割》湖南—吳堅—設計—
斐波那契數列與黃金分割教學設計
湖南省長沙市第一中學 吳堅
一、教學內容解析
斐波那契數列與黃金分割是人教A版2019版選擇性必修第二冊第四章數列第10-11頁中閱讀與思考內容．“閱讀與思考”欄目作為教材正文內容的補充，它篇幅短、內容新、閱讀性強．集知識性、科學性、趣味性、教育性于一體，且根植于學生知識與能力的最近發展區，是教材的重要組成部分，是數學傳統課堂教學內容的延伸，是浸潤數學文化的重要載體．
本節教材設置的目的是使學生了解斐波那契數列及斐波那契數列與黃金分割的關聯，激發學生思考與探究的興趣，拓展學生的知識面，增強學生應用數學的能力，從而提高學生的數學素養．依托大單元教學設計理念，教師布置閱讀任務，學生根據“閱讀提綱”，經歷 “自主閱讀—資料收集—質疑思辨—合作交流—資料精選—制作課件”等一系列課前自主學習活動，新授課內容在完成等比數列教學的基礎上，再開展本節課的課堂教學活動．目的是通過學生自主閱讀喚醒學生臨淵羨魚之意，激發學生退而結網之志．讓學生有充分時間完成探究式閱讀，高度參與探究式閱讀，達成培養學生的閱讀能力、自學能力、合作能力的教學目標，同時使課堂結構更加完善．
教學內容從兔子繁殖問題情境引入，分析其蘊含的數量關系，得出相關的數學模型——遞推公式．事實上，由遞推公式可以推演出斐波那契數列很多有趣的性質．教科書選擇斐波那契數列滿足的一個等式予以介紹，用幾何圖形直觀地呈現這個等式，由此引出“斐波那契螺旋弧線” ．斐波那契螺旋在由內往外延伸的過程里會越來越接近“黃金比例螺旋”，既體現了數學美，又進一步激發學生探尋美的本質：“斐波那契螺旋的外矩形的寬長比 會無限地趨近于黃金分割比值．”要解釋其數學原理，離學生思維發展區最近的是利用數列 的通項公式.引導學生從研究比值的角度將遞推公式轉化為構造等比數列，從而推導出 的通項公式，利用 的通項公式學生可以從數學運算的角度考察 無限地趨近于黃金分割比值．挖掘它們之間的內在聯系和思維共性時，促進學生創新意識和思維的養成．因此斐波那契數列與黃金分割是學生領悟數形結合思想、化歸與轉化思想、極限思想的合適素材；是學生領悟數學和諧美、理性美與完善的結構美的合適素材；是滲透數學文化的合適素材．
基于以上分析，確定本節課的教學重難點：
重點：“斐波那契數列與黃金分割”蘊含的數學文化、數學內涵、美學價值、科學價值；數列作為研究對象的基本路徑（定義、表示、性質、應用）．
難點：建立斐波那契數列的數學模型；斐波那契數列與黃金分割的關聯；斐波那契數列通項公式的推導．
二、教學目標設置
1.目標
（1）了解斐波那契數列相關數學文化；引導學生從兔子繁殖問題建立斐波那契數列的數學模型，從而提升學生的數學建模素養；
（2）掌握斐波那契數列的一個重要性質： ；
（3）了解斐波那契數列與黃金分割的關聯；
（4）了解斐波那契數列通項公式的推導過程；
（5）了解大自然中和“斐波那契數列與黃金分割”相關的現象．
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生通過課前自主查閱數學史料，課堂展示意大利數學家斐波那契的生平及“兔子繁殖問題”中的相關規律，得到斐波那契數列的遞推公式；
（2）能利用圖形的結構特征探究 ，并且給出證明，體會數形結合、化歸與轉化思想，發展直觀想象、邏輯推理等數學核心素養；
（3）能從 “斐波那契螺旋”與“黃金比例螺旋”兩個圖形高度吻合的幾何特征，即從形的角度直觀想象斐波那契數列與黃金分割的關聯；
（4）教師依據學生思維的一般規律適當引導，使學生能在復雜的問題情境中把握事物之間的關聯，將不熟悉的問題情境轉化為熟悉的問題情境，通過構造等比數列解決問題，在生生、師生合作交流下利用斐波那契數列遞推公式推導出其通項公式，并能依據通項公式進一步探究斐波那契數列與黃金分割的關聯；
（5）通過學生課前預習的資料收集及學生代表展示斐波那契數列與黃金分割的應用鑒賞，讓學生整體獲得和諧與優美的美學享受．
三、學生學情分析
根據數學知識的發生發展過程和學生數學學習規律安排教學過程．學生已經掌握等差數列、等比數列的知識，能用相關知識解決問題；也能在實際問題情境中，發現數列所蘊含的等差或等比關系．學生舉一反三的能力，應用意識、創新能力并不強，數列的一般思路和方法應用還不夠靈活，需要教師適時引導，這是本節教學的第一個難點．通過斐波那契數列的趣味激發學生的探究興趣，讓學生進一步體驗數列作為研究對象的基本路徑：事實—定義—性質—應用．培養學生學習數學的興趣，提高數學建模的能力．
二階線性遞推式求通項是本節的第二個教學難點，如何引導學生立足代數變換，將這個數列轉化為等比數列解決問題，過程需要較多的數學探究經驗，教師可結合具體計算結果的觀察加強引導．
四、教學策略分析
為了強化學生對斐波那契數列與黃金分割的整體感受，采取素養導航、推理定位、文
化引領、應用落實的“四位一體”教學設計，教學情境從《算盤書》中“兔子繁殖問題”展開，采用歷史線索和問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式教學法．策略一，通過學生展示引入斐波那契所提出的著名數學問題“兔子問題”，感受數學建模的認知過程，培養學生的數感、符號感、推理能力．策略二，借助信息技術動態演示用圖形表示等式： ，歸納猜想并證明．借助希沃展示學生的小組合作學習成果，讓學生經歷探索、嘗試、總結與提煉，完善證明過程．策略三，是借助信息技術動態演示““斐波那契螺旋”與“黃金比例螺旋”，通過形狀的高度接近，感知斐波那契數列中所蘊含的黃金分割美，激發學生主動探究與思考斐波那契螺旋的外矩形的寬長比 ，借助教師引導幫助，立足通項公式與極限思想解釋其數學原理．
五、教學過程設計
課前預習、閱讀探究
斐波那契數列與黃金分割閱讀提綱
【閱讀方式】
（1）閱讀教材：普通高中教科書《數學選擇性必修第二冊》（人民教育出版社 A版）第10-11頁，“閱讀與思考”；
（2）利用互聯網、圖書館查找收集資料，并閱讀相關文獻．
【閱讀目標】
（1）查找與意大利數學家斐波那契相關的數學史料，了解數學家斐波那契的生平及主要成就．
（2）《算盤書》中的兔子繁殖問題，分析初生兔子的對數有什么關系？成熟兔子的對數有什么關系？兔子總對數又有什么關系？并嘗試建立兔子繁殖問題的數學模型．
（3）斐波那契數列 滿足等式： ，如何利用幾何圖形呈現這個等式？并嘗試證明該等式．關于斐波那契數列的性質，你還有其它發現嗎？
（4）查找與黃金分割相關資料，了解黃金分割與黃金矩形的基本知識．
（5）認識“斐波那契螺旋”弧線，思考什么是“黃金比例螺旋”？并探究它們之間存在的關系．
（6）依據所學知識，嘗試由遞推公式推導出斐波那契數列的通項公式．
（7）查找收集資料，舉例說明大自然及生產生活中和“斐波那契數列與黃金分割” 相關的現象．
【閱讀收獲】
整理閱讀與思考后的成果.
【閱讀質疑】
閱讀與思考后，你有什么疑問嗎？歡迎寫下來，“問題”是創新的起點！
【設計意圖】設置課前活動，通過學生的動手動腦，啟發學生思考，知識的獲取、問題的來源不一定局限于課堂．引導學生帶著問題閱讀材料，基于問題驅動教學模式，在學生開展自主閱讀的過程中明確“我要做什么，要解決什么問題，我有什么收獲”．為學生設計適合的學習方案，花更多精力指導學生在信息海洋中獲得有益的知識策略和方法，注意個體差異，幫助每一位學生參與到學習中，做好學生學習的設計者、指導者、幫助者．充分發揮學生的主動性、積極性，激發學生的學習興趣，引導學生開展獨立思考、自主探究、質疑思辨、合作交流，使學生切實學好數學知識，提升數學學科核心素養．
課堂展示，盤點收獲
引導語：上一周，我們布置了閱讀任務，課前大家根據閱讀提綱都已做好預習．同學們獲取了大量關于斐波那契數列與黃金分割的相關知識．今天，我們一起分享大家的閱讀成果，剖析大家的閱讀質疑．
首先我們有請“學生代表1”，請她介紹斐波那契生平及主要成就．
學生展示1 介紹意大利數學家斐波那契．
【設計意圖】數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．學生代表1介紹數學家斐波那契的生平及主要成就，滲透數學文化傳承，激發學生學習的興趣．
引導語：相信大家對斐波那契有了一定的了解，那么他在《算盤書》中提出的兔子繁殖問題到底有著怎樣的規律呢？有請“學生代表2”展示她們的思考．
學生展示2 介紹兔子問題中兔子繁殖規律．
【設計意圖】《算盤書》中提出的兔子繁殖問題所蘊含的規律，能引導學生用數學語言觀察、思考、表達現實世界，為抽象出遞推公式做準備．
合作探究，建立模型
問題 1 如何用符號語言表達兔子繁殖規律？
師生活動：引導學生將文字語言轉化為符號語言，用 表示第 個月的小兔子對數， 表示第 個月的大兔子對數， 表示第 個月小兔子與大兔子總對數，建立數學模型，得出遞推公式．
因為每個月的大兔子對數等于前兩個月的大兔子對數之和，所以有
( >2) ，
又因為每個月小兔子對數等于上個月大兔子的對數，所以有
= ，
用 ，有
，
可得
( >2) ，
故有
( >2) ．
【設計意圖】（1）從兔子繁殖問題中抽象出斐波那契數列，將文本的自然語言轉化為數學語言，用數學的方式表達世界；（2）擺脫數學兔子繁殖問題具體形態的影響，獲得數列的一般規律．
課堂展示，盤點收獲
引導語：通過閱讀，我們知道 滿足等式： ，如何通過圖形來表示這個等式呢？我們請“學生代表3”展示他們組的成果．
學生展示3 用圖形來表示等式： ．
【設計意圖】利用圖形表示這個等式，發展學生直觀想象數學核心素養，并因此而引出斐波那契螺旋線，是與黃金分割關聯的重要銜接點．
合作探究，證明等式
問題 2 證明等式 ．
師生活動：引導學生利用定義解決問題．
思路 1 迭代
由斐波那契數列的遞推公式可知：
，
所以
，
將 代入得
，
重復上述步驟，可得
，
又因為
，
故
．
即等式 成立．
思路 2 裂項相消
由斐波那契數列的遞推公式可知
，
所以
，
故有
又因為
，
故
．
即等式 成立．
【設計意圖】（1）“推理是數學的命根子，運算是數學的童子功．”從數的角度論證公式，在活動過程中，提升邏輯推理與數學運算核心素養；（2）在證明的過程中提升學生的思維品質，讓學生從感性的發現上升到理性的認識．
合作探究，課堂釋疑
問題3 什么是“斐波那契螺旋”弧線？“黃金比例螺旋”呢？ 如何理解“斐波那契螺旋”弧線與“黃金比例螺旋”弧線之間的形狀會越來越接近？
師生活動：從等式 的圖形表示中發展出斐波那契螺旋弧線，教師介紹黃金螺旋，并將斐波那契螺旋與黃金螺旋疊放一起對比．引導學生通過猜測、計算歸納出 的值會趨近黃金分割比．
【設計意圖】 引出斐波那契螺旋與黃金螺旋，并引導學生從疊放一起的兩個圖形的高度吻合，由形的角度直觀想象斐波那契數列與黃金分割的關聯．
問題 4 依據所學知識，如何由遞推公式推導出斐波那契數列的通項公式？
師生活動： 學生獨立思考，自主探究，教師引導學生從研究比值的角度將遞推公式轉化為等比數列，生生合作、師生合作解決問題．
解：由 ，
設 ，即 ，
對比系數知： ，即 ，解得 ．
當 時， ，
此時 ，
故數列 是以 為首項， 為公比的等比數列．
則
①
當 時， ，
此時 ，
故數列 是以 為首項， 為公比的等比數列．
則
②
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
