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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《貝葉斯公式》湖南—吳
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湖南—吳浩—設計—貝葉斯公式
| 教學設計標題： 貝葉斯公式 | ||
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教學內容解析： 本節內容選自普通高中教科書人教A版《數學》選擇性必修第三冊，是在條件概率的基礎上對復雜事件概率的進一步研究.貝葉斯公式與實際生活聯系緊密，對該內容的學習能讓學生進一步提升數學抽象、數學建模的核心素養.同時，能讓學生感受數學的應用價值，加強學生運用數學知識分析、解決問題的意識. |
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學生學情分析： 學生已完成條件概率、概率乘法公式和全概率公式的學習，而貝葉斯公式的推導需以上述知識為基礎.學生也多次體驗過從具體問題中抽象出概率模型的過程，完全具備在教師的引導下，探究學習貝葉斯公式的條件. |
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教學目標設置： 1.借助實例，理解貝葉斯公式的推導過程，掌握公式結構特征； 2.在抽象概率模型的過程中，鞏固條件概率有關內容，發展學生數學抽象的核心素養； 3.體會貝葉斯公式在解決問題過程中的作用，感受數學的應用價值，增強數學知識的應用意識，激發學習興趣. |
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教學策略分析： 1.借助幾何圖形巧妙地實現了概率計算的“可視化”，為引出貝葉斯公式埋下伏筆，為學生推理和構建模型提供了思維基礎. 2.學生通過自主思考與合作探究相結合的方式，理解貝葉斯公式與條件概率有關知識的聯系，感悟貝葉斯公式的內涵. 3.引例、例題、練習、作業中的素材選取均與實際生活聯系緊密，讓學生在運用所學知識解決問題的同時，充分感受數學的應用價值. |
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教學過程 |
師生活動 | 設計意圖 |
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一、新課引入 美國心理學家卡尼曼在《思考，快與慢》一書中，詳細分析了影響人們制定決策的有關因素，并因這一研究獲得了2002年的諾貝爾經濟學獎.大家是否好奇作為心理學家的他是如何拿到經濟學獎的呢？我們不妨來思考一個他在書中提到的問題：某人⾮常靦腆，少⾔寡語，他做事井井有條，專注細節。在圖書管理員和農民兩種職業中，你認為他更可能從事哪種職業？（二者必居其一） 追問：你的判斷依據是什么？ 為了更理性地分析這個問題。我們需要了解更多的信息： 條件1：事實上，卡尼曼進行這項調查時,美國農民與圖書館管理員的人數比例為20：1. 條件2：農民中性格符合條件的占比10%,在圖書管理員中這一比例為40%. 結合以上背景，如何求出此人為圖書館管理員的概率呢？ 我們不妨借助這樣一個面積為1矩形來分析這個問題，首先，將矩形分成面積為1：20的兩個部分用來，表示管理員和農民. |
教師以心理學家研究的問題為引入，學生根據所給信息給出自己的判斷及依據. 教師引導學生發現問題：問題中某人的職業需要考慮的若干因素. 教師補充相關信息并提出問題：如何求出此人為圖書館管理員的概率？ 學生在教師的引導下，借助直觀圖形，通過可視化的手段引導學生分析問題并最終解決問題. |
用一個心理學研究課題作為引入，新穎的問題能使學生興趣盎然地進入學習情境. 對于引入的問題，學生從直接判斷到理性分析的過程也是用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界的過程.這一設計體現了《課程標準》的要求. |
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接下來，我們將兩類人群中，性格符合描述的比例分別用紅色來標記. 如此一來，此人為圖書館管理員的概率可以表示為如圖所示的面積之比. 結合已知條件我們如何來計算這一比值呢？ 不難發現，此人為管理員的概率可以表示為： 可以看到，盡管圖書管理員中性格特點符合要求的比例要高于農民群體，但這也抵不過農民的總人數多.卡尼曼將這種由刻板印象快速做出的判斷稱之為“非理性認知”，而通過精確的數學計算，我們能夠更理性地做出選擇. |
《課程標準》指出，直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎. 借助幾何圖形實現復雜事件的概率分析與計算的“可視化”，在解決問題的同時發展學生直觀想象的核心素養. |
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二、新知探究 從以上問題的分析過程中還能發現這樣一個現象：當我們了解了兩類人群的人數比例后，便對此人為管理員的概率有了一個初步的結論，即1/21,但當我們再結合他的性格特點，以及兩類人群眾性格符合這一描述的比例，我們又可以對剛剛得到的概率進行修正. 接下來，我們從上述過程中抽象出概率模型：設A表示“甲是圖書館管理員”，B表示事件“甲的性格特點符合上述表述”.我們計算得到的概率其實是 . 你能發現上述計算過程與條件概率計算公式之間的聯系嗎？ 根據條件概率的定義： . 實際上，我們通過概率的乘法公式 來計算 ,通過全概率公式. 來計算 .因此， 這便是我們今天要研究的貝葉斯公式： 一般地，設 是一組兩兩互斥的事件， ，且 . 則對任意的事件 , ，有： . 從結構上來看，貝葉斯公式描述了兩個條件概率 與 之間的關系. 從意義上來看，我們將公式中的 稱為先驗概率，也就是我們基于最初的條件，對事件 發生的概率的一個主觀判斷. 稱為后驗概率.即在事件 發生后，我們對事件 發生的概率的重新評估. |
教師引導學生從事件發生的概率在條件更詳細時發生變化這一視角再次回顧上述問題，并逐步抽象出概率模型. 學生回顧已學知識，積極思考上述概率的計算過程與條件概率的計算公式之間的聯系.教師適時引導，讓學生通過思考、討論理解概率的乘法公式和全概率公式在上述過程中的作用. 教師類比推導得到的概率公式，給出一般情況下的貝葉斯公式.并引導學生結合韋恩圖理解公式的結構特征； 聯系引入中的問題，引導學生發現并理解貝葉斯公式的內涵. |
在具體的解答過程中引導學生用數學語言表述解答過程，抽象出具體的概率模型，有助于培養學生數學抽象的核心素養. 建構主義理論認為，教師在創設情境的過程中要提示新舊知識之間聯系的線索，幫助學生建構當前所學知識的意義. 引導學生思考條件概率的定義與計算過程間的關系意義正在與此. 從結構與意義兩個層面來辨析新知，兩者相輔相成.掌握結構特征是理解其意義的基礎；而體會其意義也有助于學生掌握公式的結構特征. |
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三、典例分析 例1 假設某種疾病的發病率是0.001.現有一種試劑可以檢驗患者是否得病，其準確率是0.99，即患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現陽性.其誤報率是1%，即在患者沒得病的情況下，它有1%的可能呈現陽性.現有某人的檢驗結果為陽性，請問他確實患病的概率是多少？ 分析：不妨將患病記為事件A，檢驗結果呈現陽性記為事件B，需計算 . 依題意： ，故： . 故在某人檢驗結果為陽性的條件下，他確實患病的概率為9.02%. 也就是說，某人在檢驗結果為陽性的條件下，確實患病的概率只有9.02%.這意味著陽性有著非常高的誤診率，你認為造成這一現象的原因是什么呢？ 如何有效的降低誤診率呢？ 通過解決上述問題，我們可以發現借助貝葉斯公式來計算概率的一般步驟如下： 1、 辨別出問題中的事件 與事件 .其中，事件 需要滿足兩兩互斥且和事件為整個樣本空間；事件 即我們得到的新的信息. 2、 根據條件得到先驗概率以及公式中相關條件概率； 3、 代入公式計算. |
教師引導學生分析問題，尋找所給條件與貝葉斯公式之間的關系，并借助公式解決問題. 學生在解決問題的基礎上，結合實際情況思考如何提高檢測的準確率. 教師根據學生提出的方案借助技術軟件直觀展示在此條件下概率變化情況并引導學生發現提高先驗概率是提高后驗概率的有效手段. 學生回顧分析、解決問題的過程，在教師的引導下總結應用貝葉斯公式的一般步驟. |
具體例題的分析可以讓學生熟悉貝葉斯公式的結構特征及意義.應用所學知識對生活中常見的問題進行探究可以讓學生再次感受數學的應用價值. 從數學的角度思考如何提高檢驗過程中的準確率是用數學的思維分析世界的具體體現.在感受數學應用價值的同時，也增強了學生學習數學的獲得感. 從具體的解題過程中提煉出解決問題的一般步驟，有助于培養學生的邏輯推理能力，也讓學生對新知的應用能落到實處. |
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例2 在一個抽獎游戲中，編號1，2，3的三個外觀相同的箱子中只有一個有獎品（主持人知道編號）.你可以從三個箱子中隨機選擇一個箱子，在你打開箱子之前，主持人從剩下的兩個箱子中打開一個空箱子（如剩下兩個都是空箱，主持人隨機打開一個）.現在給你一次重新選擇的機會，你是堅持原來的選擇，還是改選另一個箱子？ 分析：分別設1，2，3號箱有獎品為事件 .不妨設主持人打開的是3號箱并設為事件 ，設你選擇的是1號箱. 依題意， . . . . 因此，在主持人打開一個空箱子后，我們改選獲獎的概率更大. 事實上，主持人打開的空箱子給我們提供了新的有用信息，抽獎人需要根據這一信息，得到后驗概率，并據此修正自己的選擇以提高成功概率. |
學生直接給出自己的判斷并說明理由.教師引導學生借助貝葉斯公式進行嚴謹的推理. 在學生解決問題后 教師引導學生體會貝葉斯公式的思想并講述貝葉斯公式在人工智能等領域的重要作用. |
讓學生探究一個情形更為復雜的問題在鞏固所學知識的同時也可以檢驗學生的方法遷移能力. 決策制定的例題也與引入的問題相呼應.學生在解答問題的同時能深刻體會到貝葉斯公式的思想. |
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四、課堂練習 三批同樣規格的產品，第一批占40%，次品率5%；第二批占30%次品率4%；第三批占30%，次品率6%.從這三批此的產品中任選1件. （1）求這件產品是次品的概率； （2）若取到的產品為次品，求它來自于第一批產品的概率. |
學生獨立完成練習的解答過程.教師適時點撥存在疑問的學生. | 課堂練習在檢驗學生學習效果的同時可以加深學生對所學知識的理解. |
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五、課堂小結 知識小結：貝葉斯公式 . 思想方法小結： 1.貝葉斯公式的應用步驟； 2.貝葉斯公式中的數學思想. |
教師帶領學生從知識和思想方法兩個方面總結所學內容. |
引導學生從知識與思維方法兩個維度對所學內容進行總結，有利于學生構建完備的知識體系. |
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六、課后作業 1.在A,B,C三個地區爆發了流感，這三個地區分別有6%,5%,4%的人患流感.已知三個地區的人口比例為5：7：8，現從這三個地區中任選一人. （1）求這個人患流感的概率； （2）如果此人患流感，他更可能來自于哪個地區？ 2.查閱資料，了解貝葉斯方法、人工智能與貝葉斯公式的聯系 |
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七、板書設計： 貝葉斯公式 一、貝葉斯公式： 二、貝葉斯公式的應用步驟： 1、 辨別出問題中的事件 與事件 . 2、 根據條件得到先驗概率以及公式中相關條件概率； 3、 代入公式計算. |
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視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
