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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《基本不等式》貴州—申
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貴州—申利兵—設計—基本不等式
2.2基本不等式（第1課時）教學設計
一、教學內容解析
1.內容
“基本不等式”是人教版普通高中教科書數學必修1第二章第二節內容，分為兩個課時，第1課時內容為基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋及應用。核心知識是基本不等式的定義；第二節課時內容為基本不等式的實際應用。
2.內容解析：
相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程、不等式的基礎。基本不等式是一種重要且基本的不等式類型，在中學數學知識體系中是一個非常重要的、基礎的內容。
基本不等式與很多重要的數學概念和性質相關。從數與運算的角度，
是兩個正數
的“算術平均數”, 
是兩個正數的“幾何平均數”。因此，不等式中涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算。從幾何圖形的角度，“周長相等的矩形中，正方形的面積最大”“等圓中，半徑不小于半弦”等，都是基本不等式的直觀理解。
基本不等式的證明或推導方法很多，“分析法”的證明過程是“執果索因”，從數量關系的角度，利用不等式的性質來推導基本不等式，體現了代數證明的典型方法，是不等式性質應用的一個典型范例，“作差法”依據的是實數大小比較的基本事實，是最基本，最重要的不等式證明方法，學生在今后的學習中難免遇到代數證明的問題，而他們在初中又缺少代數證明的經驗，有必要借助基本不等式的證明為學生打下這方面的基礎。
從幾何圖形的角度，借助幾何真觀，通過數形結合來探究不等式的幾何解釋，加深對基本不等式的理解；在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量，以及數形結合、數學模型等思想方法。因此，基本不等式內容是培養學生邏輯推理、數學運算、直觀想象和數學建模素養的重要載體。
基于以上分析，確定本節課的教學重點:基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋及簡單應用。
1.課程目標
掌握基本不等式
。結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題（這節內容課程目標與單元目標相同）。
-
課堂教學目標
（1）通過對兩個平均數大小關系的比較，利用不等式性質證明基本不等式，積累代數證明的經驗，知道基本不等式的內容及代數解釋，發展邏輯推理等核心素養；
（2）通過基本不等式幾何解釋的探究，能說明基本不等式的幾何意義，體會數形結合的數學思想方法，發展直觀想象等核心素養；
（3）通過例1，能用基本不等式解決簡單的不等式證明問題，加深對不等式的理解，鞏固不等式證明方法，發展邏輯推理等核心素養。
3.課堂教學目標解析
（1）通過情境問題，知道兩個正數的代數平均數、幾何平均數及其幾何含義。通過對兩個平均數大小關系的比較，會利用不等式性質證明基本不等式，明確分析法的證明過程和證明格式。知道基本不等式的內容，明確基本不等式就是“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”，通過教學環節（一）創設情境，提出問題（二）推理論證，引出新知達成目標1；
（2）通過和重要不等式的比較，能說出兩個不等式的代數結構，借助代換能由一個不等式得到另一個不等式；能在相應的幾何圖形中發現基本不等式中基本量與幾何元素的對應關系，能利用圖形解釋基本不等式。通過教學環節（三）對比分析，深化理解（四）數形結合，再悟新知引出新知達成目標2；
（3）通過例1，能用基本不等式解決簡單的不等式證明問題，加深對不等式的理解，鞏固不等式證明方法，發展邏輯推理等核心素養。通過教學環節（五）簡單應用、加深理解達成目標3。
1.認知基礎
本節課的授課對象是我校高一年級的學生，學生已學習了本章的第一節“等式性質與不等式性質”.能夠根據兩個實數大小的基本事實，具備一定的推理能力，使用作差比較法證明簡單的不等式；對于不等式的性質已有系統的學習，為發現及證明基本不等式提供了認知的基礎；學習了重要不等式；初中學習乘法公式等知識的學習為基本不等式的研究提供了一般的方法。
2.認知困難
學生缺少代數證明的經驗，采用分析法利用不等式的性質證明基本不等式是學生接觸的第一個規范的分析法證明，這是學生學習的難點；如何構造一個幾何情境解釋基本不等式，學生很難想到。
3.教學難點
根據學生的學情，結合教學目標確定本節課的教學難點：基本不等式的證明及幾何解釋。
-
問題驅動.以核心問題為導向，借助主干問題、問題串驅動學生進行數學思考、數學探究、學習體驗。學生通過核心問題的解決，經歷嘗試探究、分享交流、共同概括的過程，逐漸深入知識的核心與本質，最后總結知識與方法，從而發展數學核心素養；
-
情境教學.參考其他教材，結合我校學生的學情，本節課研究路徑設計為“情境問題-兩平均數的定義-兩平均數大小比較-證明-基本不等式定義-兩不等式聯系-幾何解釋-應用”，力求設計能符合我校學生的認知規律，知識生成過程更自然；
-
三教引領.以學生為主體，教師為主導，在教學過程引導學生從不同的角度去觀察、分析、感知知識的形成，引導學生分析、解決問題，教學生“想數學”，引導學生“做數學”，鼓勵學生“說數學”；
-
技術支持.在進行基本不等式的幾何解釋教學時，利用信息技術展示動態圖形，幫助學生直觀地觀察圖形中幾何元素之間的動態關系，并將其轉化代數表示。
五、教學過程
（一）創設情境，提出問題
我們知道，乘法公式在代數式的運算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？今天我們一起來研究其中的一個。
【設計意圖】基本不等式與學生初中學習的乘法公式有類似的作用，乘法公式能夠簡化某些特殊形式的代數式的恒等變形，而基本不等式使解決滿足一定條件的代數式的最值問題有路可循，等式與不等式有許多共同之處，所以選擇由此引入。
問題1：假設一個矩形的長寬分別是
和
，求矩形周長相等的正方形的邊長，以及與這個矩形面積相等的正方形的邊長。
引出算術平均數和幾何平均數的定義。
問題2：兩個正數
的算術平均數與幾何平均數之間具有怎樣的大小關系。
【設計意圖】在以往的教學過程中，發現我的學生很難想到用
分別代替重要不等式中的
得到基本不等式。翻閱其它教科書發現人教B版及滬教版采用的是先給出算術平均數、幾何平均數的概念及幾何意義，再探討兩平均數的大小關系，綜合人教A版、人教B版及滬教版進行了如上處理。希望這樣的設計能符合我校學生的認知規律，使知識的生成更自然。學生能知道兩個正數的算術平均數和幾何平均數的概念，能初步的感知它們的大小關系。結合學生的學情，預計學生會出現以下兩種情況。
預設1：學生利用特殊值代入比較出兩個平均數的大小：
教師在EXCEL中的賦值函數隨機生成一些數據，請學生觀察在這些數據中我們同學發現的不等關系是否仍然成立。
引導學生思考這么多正數都讓
，命題“ ”是否為真命題，引出證明。
預設2：學生利用作差法比較出兩個平均數的大小。
引出證明
（二）推理論證，引出新知
問題3：證明：若
預設1：作差法
預設2：分析法
分析：要證
（1）
只要證
（2）
要證（2），只要證
（3）
要證（3），只要證
（4）
要證（4），只要證
顯然，（4）是成立的。當且僅當
時，（4）中的等號成立。
只要把上述過程倒過來，就能證明該不等式了。
【設計意圖】借助§1.5要判定全稱量詞命題是真命題需要進行證明，引出問題3。學生剛完成2.1的學習，因此預計學生會用作差法進行證明，用不等式的性質證明一些簡單命題不是本章的重點內容，但是因為學生在今后的學習中難免遇到代數證明的問題，而他們在初中又缺少代數證明的經驗，所以本章有必要借助不等式的證明為學生打下這方面的基礎。分析法是一種利用不等式的性質進行證明的方法，它不僅把基本不等式與初中學習的完全平方公式建立了聯系，還進一步研究了如何利用不等式性質進行證明，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略。教師在該過程中將介紹分析法，引導學生發現分析法是一種“執果索因”的證明方法。結合基本不等式的證明過程，強調學生要規范分析法的格式，幫助學生通過典型案例理解分析法，進而掌握基本不等式的證明，有利于發展學生邏輯推理的核心素養。
引出基本不等式的定義：
基本不等式：如果
,那么
. 當且僅當
時等號成立
，其中
叫做正數a，b的算術平均數，
叫做正數a，b的幾何平均數。
基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
【設計意圖】闡述基本不等式的代數解釋，不僅有利于加深學生對基本不等式的理解，而且與已有的平均數概念建立了聯系，便于學生記憶這個不等式。
（三）對比分析，深化理解
借助趙爽弦圖引導學生回憶重要不等式：
有
，當且僅當
時等號成立.
問題4：比較重要不等式與基本不等式，試找找它們之間的聯系。
（若學生不能建立兩個不等式的聯系則追問：這兩個基本不等式有什么相同點，有什么不同點？它們的結構有什么關系？能否用代換把重要不等式變成基本不等式？）引導學生發現用
分別代替重要不等式中的
，可以得到基本不等式。
【設計意圖】 這樣的比較激發學生去關注基本不等式的量和結構，激活學生的思維，促進學生進一步認識基本不等式。借助代換能把重要不等式換成基本不等式，代換能讓一個式子千變萬化，找到兩個式子之間的聯系，有利于發展學生邏輯推理的核心素養。
（四）數形結合，再悟新知
右圖能解釋重要不等式，能否嘗試構造幾何量，對基本不等式進行幾何解釋？
可用線段表示
，不妨設
則
的幾何意義為線段
，
表示段長
的一半，即
。
如果想要更多的幾何元素表述
，我們可以以
為圓心，
為半徑畫圓，則圓的半徑就是
。
問題5：可過
點作
的垂線段
，連接，
，那你能在右邊的圖形中找到幾何元素表述
嗎？
【師生活動】小組合作，實踐探索
預設1：不妨令
，則由不等式性質得
，
則
，在初中，由三角形相似有類似的比例關系，構造相似的直角三角形
，設
，則
，即
的幾何意義為線段
長。連接
,在
中，有
,即
。容易得到
是直角，則D點落在以AB為直徑的圓周上。
預設2：由射影定理可以得
,所以
,所以可以用CD表示
借助幾何畫板，給出基本不等式的一個動態幾何模型，展示隨著C點從A點移動到點B，引導學生發現：當且僅當
時，點
與點
重合，
，即半弦長不大于半徑長。
因此：基本不等式
幾何意義是“
半徑不小于半弦”
【設計意圖】基本不等式的幾何解釋是本節課的一個難點。學生有一定經驗，例如已經對初中乘法公式和高中的重要不等式進行了幾何解釋，可以聯想到用線段長度表示
，
的幾何意義也容易想到，但是不容易想到
的幾何意義。教師畫出圖形，通過小組合作探究的方式引導學生發現可以用CD表述
，再利用動態模型展示基本不等式從不等到相等的過程，從而體會基本不等式中蘊含的等式與不等式的內在聯系。認知心理學認為，對同一個概念進行多元表示，有利于揭示概念的本質。通過該環節讓學生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個角度認識基本不等式，從而加深對基本不等式的理解，發展學生直觀想象等數學核心素養。
（五）簡單應用、加深理解
例1：已知 .
解：∵
,∴
∴
當且僅當
，即
時取等號。
【設計意圖】基于學生基礎情況，前面的重點難點又較多，所以對教科書中的例1進行了改編，把求最小值改為證明不等式。該證明要求學生從所求代數式與基本不等式在形式上的聯系入手學生能進行簡單的應用，
（六）總結反思，作業提升
1.課堂總結：通過這節課的學習，你有什么學習心得？可以從知識層面、方法層面進行分享。
2.教師用思維導圖形式進行展示
【設計意圖】通過問題促進學生對本節課進行回顧，在回顧中明確本節課的學習內容，強化本節課的學習重點，鞏固所學知識；通過思維導圖，形成知識框架，促進學生本節內容的掌握，為下一節課埋下伏筆。
2.作業布置
基礎性作業：書45頁第1,2題；
探究性作業：書49頁第7題；
拓展性作業：著名史詩《埃涅阿斯紀》中有這樣一段，“最終，他們出現在你眼前，可以看到新迦太基建立的塔樓；在那里買下一塊土地，名叫比爾薩。”描寫的是女主人公狄朵一路逃亡到北非海岸，并設法定居，為了購買土地與當地人經歷了一番討教還價，最終得到的承諾是她只能占有一塊牛皮包住的土地，于是狄朵將牛皮切成盡可能多的細條，將細條相連成線從而圍住了大片土地。
思考：如果要求圍成矩形，你是狄朵你會怎么圍？如果對形狀沒有要求，你又會怎么圍？請思考后上網查閱相關資料。
【設計意圖】“基礎性作業”旨在感受基本不等式的使用方法，對于基本不等式的使用條件和注意事項加深理解。“探究性作業”49頁第7題，蘇教版采用了類似的問題引入基本不等式，學生感受數學源于生活。“拓展性作業”引導學生再次感受數學源于生活，培養學生用數學的眼光去觀察世界、思考問題、分析問題和解決問題的意識。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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