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視頻標(biāo)簽：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（王芳芳）

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人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（王芳芳）

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選擇性必修第一冊
 
 
§3．3．1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

 
教學(xué)目標(biāo)：
1.理解拋物線的定義，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。
2.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中P的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題。
3.通過對拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較，體會三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。
4.用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，體會數(shù)學(xué)的簡捷美、和諧美。
教學(xué)重點: 
1.掌握拋物線的定義與相關(guān)概念；
2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
教學(xué)難點:從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義.

• 課堂導(dǎo)入

請同學(xué)們觀察兩張圖片：第一張是美國最高的獨自挺立的紀(jì)念碑；第二張是投籃時籃球的運行軌跡，生活中的這些圖片像我們數(shù)學(xué)中的哪種圖形？
同學(xué)們自然會想到是拋物線，這就是我們這節(jié)課要研究的課題《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。

• 拋物線的定義

我們在課本113頁學(xué)習(xí)過例6，問題1：動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡。（圖片展示以前學(xué)生的解題過程）
我們在課本125頁學(xué)習(xí)過例5，問題:2：動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡。（圖片展示以前學(xué)生的解題過程）
常數(shù)是時軌跡是橢圓，常數(shù)是時軌跡是雙曲線，這是特殊的點和特殊的直線，后來我們又研究了如果動點與定點的距離和到定直線(不過點 ） 的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時，點的軌跡為橢圓；當(dāng)時，點的軌跡為雙曲線。一個自然的問題是：當(dāng)時，即動點到定點的距離與它到定直線的距離相等時，點的軌跡會是什么形狀？
問題3  動點M(x，y）到定點F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動點M的軌跡方程
這是開口向上的二次函數(shù)，圖形的形狀是拋物線，這還是特殊的點和特殊的定直線，如果我們在平面內(nèi)任作一條定直線，任取一個定點（定點不在定直線上），滿足條件的點的軌跡是什么呢？下面我們試著找找

1. 拋物線的畫法

教師在黑板上作出一條定直線和一個定點（定點不在定直線上），過作直線的垂線，垂足，的中點就是我們找到的第一個點，在上任取點，過作直線的垂線，連接,作線段的垂直平分線交于,點就是滿足條件的第二個點，同理，我們在找到第三個點，然后用平滑的曲線連起這三個點，就會發(fā)現(xiàn)圖形像拋物線。
接下來，接著幾何畫板多做幾個點：點F是定點，L是不經(jīng)過點F的定直線，H是L上任意一點，過點H作MH垂直于L,線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，點隨之運動，點的軌跡還是拋物線。
問題4：請同學(xué)們思考：在運動的過程中，拋物線上的點始終有什么特點，為什么？
M不管運動到哪里，都有MH=MF，因為M始終在HF的垂直平分線上，MH是什么距離，MF是什么距離，所以說，拋物線上的點M到定點F和定直線L的距離相等。
2.拋物線的定義
請同學(xué)們抽象概括出拋物線的定義：
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不過）的距離相等的點的集合叫作拋物線.
注意：①平面內(nèi)（圖片展示沒有“平面內(nèi)”得到的幾何體）
②當(dāng)直線過點時，動點的軌跡是過點且與垂直的直線
完成練習(xí)：
(1）平面內(nèi)到直線x=2的距離和到定點P（-2，0）的距離相等的點的軌跡是（）
A.橢圓  B.拋物線  C.直線  D.雙曲線
（2）平面內(nèi)到點A（2，3）和直線l：x+2y-8=0距離相等的點的軌跡（）
A.直線  B.拋物線  C.橢圓  D.圓
（3）拋物線上的點到焦點的距離為2，到準(zhǔn)線的距離是_____.
教師再次強調(diào)：拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等。
 
三．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
我們在前面過求曲線方程時學(xué)習(xí)過一種方法是直接法:即建系、設(shè)點、列方程、化簡、檢驗；那么我們?nèi)绾谓�立坐�?biāo)系才有可能使得所求拋物線方程形式更簡潔？
1.學(xué)生分組討論，教師參與學(xué)生的討論過程，最后教師在黑板上作出學(xué)生的討論結(jié)果（由學(xué)生代表回答建系過程），這樣得到幾種建系方法。
不妨設(shè)點到直線的距離為，在不同的坐標(biāo)系下，就可以寫出的坐標(biāo)和直線的方程，由拋物線的定義列出方程，再化簡結(jié)果，還是學(xué)生分組完成，請一個學(xué)生板書（過且與直線垂直的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系）這個坐標(biāo)系下的推導(dǎo)過程，將不同坐標(biāo)系下求得的方程寫到黑板上，很容易比較出哪個方程更簡潔

3.完成表格
讓同學(xué)們轉(zhuǎn)動練習(xí)本，我們發(fā)現(xiàn)拋物線的開口還可以向左，向上，向下；向左時與向右比較，軸不變，軸方向反了，對應(yīng)到方程上，不變，變?yōu)?img height="15" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image082.gif" width="25" />，同理得出其他開口的標(biāo)準(zhǔn)方程，請同學(xué)們完成表格

圖形	標(biāo)準(zhǔn)方程	焦點坐標(biāo)	準(zhǔn)線方程

規(guī)律：①是焦點到準(zhǔn)線的距離;
②拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項是x，則焦點在x軸上；若一次項是y,則焦點在y軸上；（焦點看一次項。）
③標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項前面的系數(shù)為正數(shù)，則開口方向為坐標(biāo)軸正方向，若一次項前面的系數(shù)為負(fù)數(shù)，則開口方向為坐標(biāo)軸負(fù)方向，（符號決定開口方向）
完成練習(xí)：判斷下列拋物線的開口方向，并求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程
                          
                           
跟蹤訓(xùn)練：求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程

1. 
2. 

思考：函數(shù)的圖象是什么？焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程呢？
四．典例
求滿足下列條件的拋物線方程

1. 已知拋物線的焦點坐標(biāo)是
2. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程是
3. 已知焦點到準(zhǔn)線的距離是2

再回到問題3：動點M(x，y）到定點F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動點M的軌跡方程
我們剛才是用直接法求得的軌跡方程，現(xiàn)在我們利用剛剛學(xué)習(xí)的知識再解決這個問題
 

• 課堂小結(jié)

1. 這節(jié)課我們主要學(xué)了哪些知識？
2. 體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)方法？
3. 你們有哪些感悟？
4. 你們還有哪些疑惑？

• 布置作業(yè)

1.課后練習(xí)133頁
2.習(xí)題3.3第1題，第2題
 

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