視頻簡介：
視頻標簽：數學廣角,雞兔同籠
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：人教版四年級下冊9 數學廣角—雞兔同籠-浙江省
教學設計、課堂實錄及教案：人教版四年級下冊9 數學廣角—雞兔同籠-浙江省
《雞兔同籠》第一課時教學設計
教材分析
“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，大約1500年前《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。本次課改將其調整到四年級下冊，旨在培養學生的邏輯推理能力，感受假設法的一般性。“34頭，94足”對四年級學生而言不存在數據太大的問題，客觀存在的問題是，想不到，不會解。本課教學引導學生化繁為簡，從簡單的情形入手，尋找問題解決的突破口。雞兔同籠問題對多數學生而言有一定難度，特別是用假設法解答，較為抽象，不易理解。為解決這個問題，本課教學在列表法之后，嘗試引導學生將畫圖與列式溝通起來，實現數與形的結合，降低了難度。
教學目標
了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。
嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會假設法的一般性。 在問題解決的過程中，體會問題解決的方法，感受數學的生活性。 教學重點
用假設法解決“雞兔同籠”問題。 教學難點 認識、理解、運用假設法解決“雞兔同籠”問題。 教學準備
多媒體教學課件 教學過程 一、新課導入 1、原題重現
大約1500年前，我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道數學趣題。 這個問題與兩種動物有關，雞和兔之間能產生怎樣的數學問題呢？請看！ “今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？” 2、原題釋義
古人真是惜字如金，這說的是什么意思呀？
它說的就是有關雞兔同籠的問題，從中你能找到哪些有用的信息？ ①雞和兔一共有35只。
②雞和兔一共有94條腿。
③隱含條件：一只雞有2條腿，一只兔有4條腿。 3、引出課題
今天這節課我們就一起研究雞兔同籠的問題。 4、化繁為簡
這個問題與我們平常研究的問題比起來怎么樣？那我們就從簡單的情形入手，看看能否找到問題解決的方法。
【意圖】將原題改換成了數據較小的例題，滲透化繁為簡的思想。
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二、嘗試探究 1、從8個頭開始探究
籠子里有若干只雞和兔，從上面數有8個頭。 雞可能有幾只？兔可能各有幾只呢？
盡管他們猜的雞和兔的只數各不相同，但每組數據背后都隱藏著一個不變的數，你知道嗎？為什么是8？
雞和兔的只數還有其他可能嗎？能按照一定的順序說一說嗎？
看來只知道頭數，能確定兩種動物的具體數量嗎？ 2、從26條腿切入
籠子里有若干只雞和兔，從上面數有8個頭，從下面數有26條腿。
現在你能確定兩種動物的具體數量了嗎？拿出學習單，請你在學習單一上試一試！ 3、交流匯報
說說你的結論！3只雞5只兔是26條腿嗎？能用算式說明嗎？ 你是一下子就鎖定答案的嗎？同學們都是從哪種情形開始思考的？ ①假設雞和兔各有4只
那么它們的腿就是24條，差了2條腿。所以把1只雞換成1只兔，就是3只雞5只兔。3只雞5只兔剛好是8個頭，26條腿。
4只雞4只兔怎么來的？為什么變成3只雞5只兔了呢？怎么不變成5只雞3只兔呢？同學們都是從4只雞4只兔的情形開始思考的嗎？ ②我們從1只雞開始假設
1只雞，7只兔，共30條腿，比26條腿多了。于是我們增加1只雞，減少1只兔，2只雞，6只兔，共28條腿，還是多了。于是我們再增加1只雞，減少1只兔，3只雞，5只兔，正好是26條腿。
他從1只雞7只兔，開始假設，也找到了答案。 ③我們從7只雞開始假設
7只雞，1只兔，共18條腿，比26條腿少了。接著6只雞，2只兔，共20條腿，還是少了。繼續減少雞的數量，增加兔的數量。5只雞，3只兔，22條腿。4只雞，4只兔，24條腿。最后3只雞，5只兔，26條腿，剛好！ 4、方法小結
其實無論從哪里開始假設，只要根據條件不斷作出調整，最后都能找到正確的答案。 5、深入思考 1）正向觀察
從左到右觀察我們所列的表格，你有什么發現？
兔子每增加1只，雞就會減少1只，腿的總數就會增加2條。
減少1只雞，增加1只兔，就是把1只雞換成1只兔，腿的數量自然就會增加2條。 2）反向觀察
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反過來，從右到左觀察呢？你又有哪些發現？ 把1只兔換成1只雞，腿數就減少2。 3）簡單應用
在雞兔同籠的情況下，雞和兔的總數是固定的，要想改變腿的數量，怎么辦？ 1只雞換1只兔能夠？2只雞換2只兔能夠？
如果要增加6條腿，你有什么好辦法？（把3只雞換成3只兔）
如果要增加8條腿呢？把4只雞換成4只兔怎么算的？8÷（4-2）＝4（只） 如果要減少10條腿呢？把5只兔換成5只雞，10÷（4-2）＝5（只） 看來同學們已經發現了隱藏在雞和兔腿數之間的秘密。
【意圖】通過列舉解決問題，把符合問題的所有可能答案逐個找出，并用某種形式進行整理，從而得到問題的答案。列舉是一種樸素的思想方法，又是一種實用的解決問題的策略。學生在剛接觸“雞兔同籠”問題時，對列式計算往往感到困難。但是，對于數據較小的問題，一些可能的答案卻很容易憑經驗或直覺得到，可以運用猜測、驗證的方法，實際上就是用列舉法來解決問題。學生一般用順序列舉法，按從大到小或從小到大依次列舉，可以有效避免疏漏或重復。當然也有中間開始根據實際情況向兩頭依次列舉的。列舉法常常借助于列表來及時記錄每一種可能的結果。 4）回歸假設
①假設雞和兔各有4只，那么它們的腿就是24條，差了2條腿。 差了2條腿怎么辦？1只雞換1只兔！3只雞5只兔。
②有同學從1只雞開始假設，1只雞，7只兔，共30條腿，多了4條腿。 多了4條腿怎么辦？減少！2只兔換2只雞！3只雞5只兔。
③還有同學從7只雞開始假設，7只雞，1只兔，共18條腿，少了8條腿。 少了8條腿怎么辦？增加！4只雞換4只兔！3只雞5只兔。 看來這個秘密幫助我們提高了解決問題的效率！ ④選擇其中一種情況列式
這個過程還可以用數學的語言來表達。 假設有7只雞，1只兔 共有7×2＋4＝18(條)
少了26－18＝8(條) 與實際比較少了8條腿，怎么辦？添腿，把雞換成兔子。 換兔8÷(4－2)＝4(只) 要換幾只呢？8里面有4個2。（4－2）是什么意思？ 1＋4＝5(只)„兔 8－5＝3(只）„雞
5）完善假設
反正都是假設，反正都要調整，干脆假設全是雞，可以嗎？ 假設全是雞，共有？（16條腿）少了？（10條）怎么辦呢？ 你能把這個過程用算式的語言表達出來嗎？試試看! ①列式
假設全是雞 8×2＝16(條) 少了26－16＝10(條) 與實際比較少了10條腿，怎么辦？添腿，把雞換成兔子。 10÷(4－2)＝5(只)„兔 要換幾只呢？10里面有5個2。（4－2）是什么意思？ 8－5＝3(只）„雞 把1只雞換成1只兔增加的腿數。 ②畫圖
一年級小朋友也能解決雞兔同籠問題，你知道他們是怎樣解決的嗎？
假設8只都是雞，這樣腿就有16條。
仔細觀察和哪條算式一樣？8×2＝16(條)， 這比實際的26條少了10條。26－16＝10(條)
我們知道在雞的基礎上添加2條腿換成兔子，10條腿2條1份，剛好分給5只雞。 （1只雞換1只兔，可以增加2條腿。10條腿，只要把5只雞換成5只兔。） 為什么要添加腿呢？為什么要2條2條地加呢？ 添加2條腿其實是把1只雞？換成1只兔子！ 那為什么要換5只雞那么多呢？
10÷(4－2)＝5(只)„兔 所以是5只兔，3只雞。
看來畫圖的方法也能解決這個問題！
【意圖】畫圖在小學生的數學學習過程中是一個十分必要也相當有用的辦法，學生在動手繪圖的過程中能夠逐漸領悟解題思路，在一定程度上拓展想象空間，從而體會的掌握其中的數學思想。 ③拓展
假設全是雞，我們很快得到了答案，那還可以？假設全是兔！同桌合作，一個畫圖，一個列式，請你在學習單三上試一試！
假設全是兔 8×4＝32(條)
多了32－26＝6(條) 這6是什么？假設全是兔多出的腿，腿多了怎么辦？ 6÷(4－2）＝3(只)„雞 把1只兔換成1只雞可以？要減少6條腿，需要？ 8－5＝3(只)„兔
【意圖】利用“數形結合”，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，使問題化難為易、化繁為簡，激發學生學習興趣。同時借助于形象的圖形來解題，對于初次接觸此類問題的學生來說，不僅學得有趣、簡單，而且能加深學生對用假設法解題的理解，發展學生的思維能力。
④反思
仔細觀察這兩種列式的方法，你有什么發現？
都是假設法，只是一個假設全是雞，一個假設全是兔，一個是腿的數量不夠，添加腿，把雞換成兔子。一個是腿的數量多了，減少腿，把兔子換成雞。最終都解決了問題。
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相同之處：雞與兔的腿數之差都是2。不管是增加2條腿還是減少2條腿，都表示雞與兔的腿數之差是2。
這兩種方法，也都是假設法，看來我們剛才的假設還不夠完整，現在我們把這兩種假設也放進去。
這節課，我們用了哪些方法解決問題？(畫圖、列表、列式)
這些方法有一樣的地方嗎？先假設，再調整。
【意圖】由淺及深的數學思想方法之間存在著層層遞進、由具象到抽象、由低層級往高層級發展的關聯。粗看之下，“猜想、列表、畫圖”顯得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦頭和腳的數量增多，畫圖的局限性就凸顯出來了。然而，這些略顯笨拙的解題法作為小學生學習數學思想的必然過程卻是必不可少的，這些“笨”辦法，為后面的假設、建模等奠定了基礎。學生需要通過這樣循序漸進的教學方法化繁為簡，明白所謂的“笨”辦法與后面精煉簡潔的數模之間其實有著千絲萬縷的聯系，從而了解“數學思想之間并非孤立存在”的深刻內涵。 三、鞏固練習
現在，你準備用哪種方法來解決《孫子算經》原題呢？
數據較大，畫圖、列表容易受到數據大小的影響，都不合適，列式計算較為合適。 同桌合作，一個假設全是雞，一個假設全是兔，馬上開始。 假設全是雞 假設全是兔 2×35＝70(條) 4×35＝140(條)
少了94－70＝24(條) 多了140－94＝46(條) 24÷(4－2)＝12(只)„兔 46÷(4－2)＝23(只)„雞 35－12＝23(只）„雞 35－23＝12(只)„兔 同學們真厲害，已經能夠解決《孫子算經》中的問題了。
【意圖】雞兔同籠”中蘊涵了豐富的數學思想，“這些思想方法都極具價值，教透了任何一種，都能夠有效地促進學生數學思維的發展和數學技能的提升。 四、方法拓展
你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎？
明朝的數學愛好者程大位將雞兔同籠問題收錄在《算法統宗》一書中，書中給出了雞兔同籠的兩種解法。（1）倍頭，減足，折半是兔. （2）四頭，減足，折半是雞。 同學們看懂了嗎？同桌互相對照剛才的解題過程，再看一看！ 其實這就是我們剛才所用的假設法！
《孫子算經》中給出的是什么方法呢？同學們想知道嗎？ 1、減半法
①假如讓雞抬起一條腿，兔子抬起兩條腿，還有94÷2＝47條腿。
②1只雞1條腿，1只兔2條腿。籠子里只要有1只兔子，腿的總數就比頭的總數多1。 ③這時，腿的總數與頭的總數之差47－35＝12，就是兔子的只數。 2、抬腿法
后來還有人用吹口哨法解決這個問題。
假設這些雞和兔都接受過訓練，每吹一次口哨就抬起一條腿。
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先吹一次，所有雞和兔都抬起一條腿，剩下94－35＝59條腿。 再吹一次，所有雞和兔又抬起一條腿，剩下59－35＝24條腿。
現在我們會發現雞的兩條腿全部抬起，坐在地上了，剩下的腿全是兔子的腿了。每只兔子只剩2條腿，所以24÷2＝12只兔子，35－12＝23只雞。 3、代數的方法
等到后面學習了方程，同學們還可以利用設元的方法解決這個問題。 一元：設雞有x只，則兔有(35－x)只。2x＋4(35－x) ＝94 二元：設雞有x只，兔有y只。 x＋y＝35 2x＋4y＝94
【意圖】“授人以魚不如授人以漁。”這句話道出了培養數學模型思想的重要性。 中國傳統數學名題正是為數學模型的發展提供了這樣一個平臺。數學名題中滲透的數學思想、數學名題本身的模型作用都可以讓學生在潛移默化中逐步感受、領悟和掌握。 五、課堂小結
今天這么多解決問題的方法都離不開假設。 同學們能說說今天這節課你的收獲嗎？ 六、作業布置
想一想你還能用什么方法解決“雞兔同籠”問題（可以查閱資料）。 七、教學反思
“雞兔同籠”問題蘊涵了豐富的數學思想，這些思想方法都極具價值，滲透了任何一種，都能有效促進學生數學思維的發展和數學技能的提升。為了方便研究，本課教學在學生遇到障礙時化繁為簡，從8個頭切入，再到26條腿，引導學生經歷各種方法的研究過程，并通過評判討論、對照比較，溝通方法間的聯系，實現方法優化，重點掌握假設法（列式）。在這個過程中，核心的是嘗試、探究、反饋和交流的環節。在這個環節里，學生完整地經歷“假設—計算—推理—調整”的過程，從而體驗假設的基本思路。
考慮到學生的個體差異，本課教學適時引導學生多角度思考問題，呈現出解題方法的多樣性。包括列表、列式、畫圖。事實上，這些方法都離不開假設。有趣的是學生最后會發現畫圖是對列式的直觀解釋，列式則是對畫圖的抽象概括。列式“假設全是雞”或“假設全是兔”的兩種情況又是對列表的補充。它們看似獨立，卻有著千絲萬縷的內在聯系。我們能明顯地覺察到學生對直觀畫圖的青睞。等到經典重現，不需要太多言語，它們會自然感受到列表與畫圖的局限性以及列式的一般性。前者在假設之后需做出一步一步的調整，且受數據大小的影響。后者在假設之后，通過列式計算能夠做到一步到位。這樣，學生不僅能夠感受到解題方法的多樣性，同時又經歷了方法優化的過程，最重要的是感受到了假設法的一般性。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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