視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓的標準方程》黑龍江—劉
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓的標準方程》黑龍江—劉建—設計—
《橢圓的標準方程》教學設計
橢圓單元的內容是學生在學習直線和圓的方程的基礎上，先抽象橢圓的幾何特征，然后建立它的標準方程，再利用方程研究它的幾何性質，并利用它們解決簡單的實際問題.從知識的前后聯系看，本單元是坐標法的進一步運用，所要解決的仍然是解析幾何的“兩個基本問題”：建立曲線的方程，通過方程研究曲線的幾何性質.
從本章知識的內部結構看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、研究方法具有高度的相似性，因而本單元的學習在全章的學習中具有基礎地位.橢圓單元，“橢圓的概念”部分，先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特征？”的引領下進行畫圖操作，從中發現橢圓的幾何特征，進而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎與出發點.“橢圓標準方程”部分，先根據橢圓的幾何特征建立平面直角坐標系，然后通過代數運算得到橢圓的標準方程.“橢圓的簡單幾何性質”部分，在明確要研究的性質的基礎上，通過橢圓的方程研究橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等.上述過程體現了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發現曲線的幾何特征、如何建立適當的坐標系、如何簡化和優化方程、研究曲線的哪些性質、如何運用方程進行研究等.
橢圓單元最重要、最根本的數學思想方法是坐標法.另外，在解決問題的過程中，數形結合、類比、特殊化與一般化、轉化與化歸等也發揮著重要作用.橢圓單元的學習有助于學生學會合乎邏輯地、有條理地、嚴謹精確地思考和解決問題，有助于發展學生數學抽象、數學建模、邏輯推理、數學運算、直觀想象等方面的素養.
學生之前已經學習了直線與圓的方程，能夠根據方程清晰熟練地描述直線與圓的幾何特征，經歷了用代數方法建立直線和圓的標準方程的過程，初步掌握推導圓的標準方程的一般步驟，已經了解平面解析幾何主要研究兩個問題：一是根據已知條件求曲線的方程；二是根據曲線方程研究曲線的性質.與直線、圓一樣，本節課仍然按照“建系—設點—列等式—代坐標—化簡方程—說明”的步驟推導橢圓的標準方程，為了便于研究橢圓的幾何性質，同樣需要建立適當的坐標系來使方程的形式更簡單.方程形式能否簡單要有一定的預判能力，充分利用好曲線的對稱性，盡可能讓曲線的中心、頂點的坐標簡單；化簡含有兩個根式的橢圓方程時，因為學生以前沒有遇到過類似問題，缺乏對復雜根式的化簡經驗，教學時應詳細給出化簡過程，并從數學的對稱美、簡潔美、和諧美的角度對每一步的變形給予合理的解釋，通過引導學生反思，自主探究出橢圓其它兩種形式的定義，培養學生養成自覺根據曲線方程研究曲線性質的習慣，也為后面學習雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此，本節課有承前啟后的作用。
《普通高中數學課程標準（2017年版）》對于平面解析幾何的教學要求及本節課的目標闡述：在平面解析幾何的教學中，首先，通過實例了解幾何圖形的背景；其次，結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題；再次結合具體問題合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征與問題；最后，借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題.了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質；通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.通過認真研讀教材領會編寫者的意圖，準確把握教材的整體性，弄清楚這一課時在本單元的地位和作用，
基于以上教學內容和課標的分析，確定本單元的教學重點：橢圓的概念、標準方程與簡單幾何性質，研究橢圓的思路和方法.
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單元教學目標
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了解圓錐曲線的實際背景，例如，行星運行軌跡、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.
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經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.
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了解橢圓的簡單應用.
2.本節教學目標
依據學生數學學習三個層次認知方式的特點，合理地對教學目標進行分類設計，制訂本節課的教學目標：
①認真觀察圖形的特征，分析清楚圖形中相關元素及其基本關系，再根據這些特征以及解決問題的需要選擇坐標系；（建立適當坐標系）
②自主化簡方程，體會含有兩個根式的方程的化簡思路（證明形式化）；
③設置課后反思，讓學生能夠通過合作探究得出橢圓的其它形式定義（符號過程概念化）.
教學重點:利用解析思想推導橢圓的標準方程，
教學難點：推導橢圓的標準方程.
三、學生學情分析
在此之前，學生在上一章已經學習了直線和圓，已經初步經歷和體驗了研究解析幾何的方法——坐標法，所以，學生對用坐標法研究本節內容，并不陌生，已有相關知識經驗，為順利開展本節課的教學提供了方法保障.由于本節課的教學重點就是利用解析思想推導橢圓的標準方程，同時這也是本節的難點.教學中，根據橢圓的定義，按著建系、設點、列式，化簡、說明這五個步驟推導橢圓標準方程.引導學生類比圓的標準方程的簡潔、優美的形式，小組討論，得到橢圓的標準方程，這個運算過程需要學生有沉著冷靜的思維品質，特別有利于提升數學運算這一核心素養.
四、教學策略分析
《標準》指出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數
學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）本節課在“四個理解”的基礎上，以問題為引領，圍繞“平面內與兩個定點
、
的距離之和等于常數（常數大于
）”來設計教學，落實教學的基本知識；運用所學的知識解決橢圓的問題，促進了學生基本技能的發展；利用平面直角坐標系推導出橢圓的標準方程，體現了數形結合的基本思想；學生經歷了由形入數，再由數入形的過程，在這個過程中，讓學生獲得關于橢圓知識的這一基本活動經驗.因此，“四個理解”是指導教師進行課堂教學的定海神針，能培養學生的“四基”，發展學生的數學核心素養，當然“四個理解”是一體的，互為表里，不能割裂，才能落實新課程下的單元教學理念.
五、教學過程
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教學過程 |
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教學環節 |
教師活動 |
學生活動 |
設計意圖 |
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明確教學任務 |
坐標法是解析思想的具體體現，今天我們就是要用坐標法推導橢圓的標準方程。出標題。 |
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給出本節課目標 |
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回憶求曲線方程的一般步驟 |
類比求直線和圓的方程，誰能說一說求曲線方程的一般步驟嗎？
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說步驟，反復說，重復補充說 |
明確求曲線方程的一般步驟，避免推導過程中思維的盲目性. |
板書：橢圓的標準方程
建系，設點，列式，化簡，說明 |
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形成求曲線方程的流程. |
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回顧橢圓定義 |
問；哪位同學可以精準的說出橢圓的定義？ |
兩名同學回答 |
檢驗上次課學習后內化情況 |
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大屏幕出現，橢圓定義，和橢圓圖形 |
學生齊讀 |
強化橢圓的幾何條件，為推導橢圓方程做準備 |
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環節3，建系設點 |
問題：如何根據橢圓的圖形特征，建立適當的坐標系？想一想你這樣建系基于哪些思考
建系，適當，盡可能多的對稱和零點
設點，求什么設什么
師：很好，同學們既能著眼建系又能兼顧過程的發展 |
學生展示，說明理由 |
各種資料中的解析幾何題大都不需要建系，所以學生對用坐標法解決問題的完整過程比較朦朧，這正是解析幾何學習需要認真對待的問題.養成學生對解析思想的整體思考. |
環節列式
化簡
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問：延續你的建系設點，繼續進行列式化簡，有問題可以求助老師和同學
列式， |
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注意幾何到代數的等價性，養成復盤的習慣，為化簡等價變形做準備 |
突破化簡難點 |
巡視中選擇一名不敢嘗試化簡的同學，讓她敘述一下現在的困境，向同學求助
板書
3列式，幾何條件轉化為代數條件
4化簡，
對學生積極鼓勵，主導學生探究
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求助同學展示已完成的列式，但不會化簡含有兩個根式的方程， |
明晰運算對象，
集中全班同學力量突破難點。 |
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突破化簡難點 |
從同學中尋找解題方法，選取平方去根號的方法，移項平方，和直接平方的兩名同學展示，
師追問：1）你為什么要做移項后平方？你總共進行了幾次平方？
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學習，提問 |
符合學生的認知規律，平方去根號基于初中學習 |
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突破化簡難點 |
平方是去根號的通性通法。它具有可操作性，但是麻煩易出錯，通過換元達到簡化運算的目的，或式子的特有結構. |
學習，提問 |
利用“集成”的眼光把某些式子作為一個整體，既能夠緩解學生心理上的壓力，又能避開不必要的運算糾纏。 |
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第一階段小結 |
找那名同學作含兩個根號化簡的小結
問：你的思路打開了嗎？學會了那些方法？ |
回顧，內化 |
精神層面鼓勵，試過了，失敗了，沒關系，再試試 |
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橢圓方程標準化 |
請其它建系同學展示化簡結果 |
兩名同學展示 |
在不同建系下熟練化簡含兩個根號的方程 |
問：那么把那些方程叫做標準方程呢？
板書：
焦點再x軸 焦點再y軸
 ,
右邊是常數1， ， |
推導著記，記準、記牢 |
夯實基礎 |
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橢圓標準方程的應用 |
例1、求兩個焦點的坐標分別為 、 ，并且經過點（ 的橢圓的標準方程.
練習 |
學生作答 |
規范解題，
檢驗課堂效果。 |
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課堂小結 |
問：那位同學能談談這堂課的收獲？
知識層面、思想方法、核心素養三方面 |
多名學生回答 |
學有所獲，讓學生樂學。 |
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作業 |
基礎題（教材）
能力題（教材）
靈活應用（探究題） |
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分層次作業 |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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