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視頻標簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《空間中點、直線和平面的向量表示》海南—王

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海南—王繼欣—設計—空間中點、直線和平面的向量表示

《空間中點、直線和平面的向量表示》教學設計

一、教學內容解析
本節課是人教A版選修第一冊第一章《空間向量與立體幾何》第4節《空間向量的應用》的第一課時，隸屬《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》主題二“幾何與代數”.本節的主要內容是討論點、直線和平面的向量表示，建立空間圖形基本要素與向量之間的關系，從而把立體幾何問題轉化為空間向量問題.通過本節內容的學習可以使學生打破傳統的以定理為體系的研究方法，轉化為通過用向量來研究直線、平面的位置關系.這一研究方式的轉變降低了學生對于空間想象能力和邏輯推理能力的要求，使得學生更容易解決立體幾何問題.
本節內容在教材中起到承上啟下的作用，在高考中經常以解答題的形式考查.
本節內容所涉及的主要核心素養有:直觀想象、數學邏輯、數學運算等。
根據上述分析，確定本節課的教學重點：空間圖形基本要素及其關系的向量表示，直線的方向向量和平面的法向量的理解.
 
二、教學目標設置
    結合課標要求，本節課制定如下教學目標
1.理解并掌握空間點、直線和平面的向量表示方法，達到數學抽象與直觀想象核心素養學業質量水平二的層次.
2.掌握平面法向量的求法，達到數學運算核心素養學業質量水平二的層次.
3.通過具體例題，使學生學會求平面法向量的方法進一步提升數學運算核心素養.
 
三、學生學情分析
(一)已具備的認知基礎
1、學生已經掌握了空間向量及其運算的坐標表示以及空間幾何體的結構特征，并會利用空間向量解決一些空間位置關系的問題，這些為本節內容的學習奠定了堅實基礎。
2.初中物理學習過法線的定義，學生通過類比很容易理解法向量的定義，為法向量的概念提供了物理背景.
（二）可能存在的認知困難
由于學生剛接觸直線的方向向量和平面的法向量的概念，他們可能還不習慣用向量解決問題，故需要教師有意識引導學生利用向量法處理問題.
教學難點：1.建立空間圖形基本要素與向量之間的關系，把立體幾何問題轉化為空間向量問題；2.求平面的法向量.
 
四、教學策略分析
本節課采用“問題導學”教學模式，通過設置聯系性問題、理解性問題、歸納性問題、拓展性問題實現學生的深度學習。引導學生獨立思考，主動探究，合作交流，利用小組匯報，學生講解，學生小結等多種方式，借助動態幾何畫板Geogebra軟件將空間中點、直線和平面的向量表示制作成動態圖形，學生用平板掃描提前做好的二維碼，進行體驗，調動學生學習的積極性.通過創設物理情境，數學情境，落實重點，突破難點，倡導學生主動參與，在師生互動、生生互動中，通過對空間中點、直線和平面的向量表示的探究，使學生學會空間中點、直線和平面的向量表示方法,進一步提升數學抽象核心素養.讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程.不斷地提升學生學習能力，努力實現學習的目標.
 

• 教學過程

（一）視頻引入，揭示課題
播放無人機表演視頻，在視頻中加入AI配音技術，將引入文字加入視頻.
引導語：同學們，點、直線和平面是空間中的基本圖形，是構成空間幾何體的基本幾何要素，前面我們已經將平面向量推廣到了空間向量，我們要用空間向量研究立體幾何問題，就需先學習用空間向量表示空間中的點、直線和平面，這節課我們一起開啟空間中點、直線、平面的向量表示的學習之旅.
【設計意圖】通過AI配音視頻，引導學生思考，激發學生的學習興趣.
（二）創設情景，研討新知
師生活動：想象一下，平常我們打電話的時候，有人問你“你現在在哪里？”，你是怎樣回答的呢？（圖書館的1樓，文化廣場旁邊的海邊等等，也就是說我們可以借助參照物來描述）
師生活動：在空間中選一個起點O作為基點，則空間一個向量的終點就和空間的一個位置P對應.向量稱為點P的位置向量.點是位置的抽象.
【設計意圖】通過空間內點的向量表示，即為點的位置，體會點與“基”點的一一對應關系.
師生活動：在直線l上取非零向量，我們把與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量.在平面內一點和直線的方向向量可以確定平面內的一條直線.
 
 
師生活動：事實上，由給定的兩點A、B.可以確定向量，那么直線AB就由點A和方向向量唯一確定.
師生活動：回顧直線的方向向量，教師提示，類比“平面內一點和一個方向可以確定平面內的一條直線”思考空間直線向量表示的方法.
師生活動：學生小組討論，合作探究；教師巡視、點撥；學生到講臺分享研究成果.

 
 
 
師生活動：同學們用平板掃描二維碼，操作Geogebra驗證猜想？直觀感知，操作確認。
     
教師點評總結：利用向量來表示空間直線方法：能夠利用直線l上一定點A和它的方向向量來確定直線上的任意一點P.設點A為直線l上的一個定點，向量是直線l的方向向量，如果直線l上取向量等于向量，此時對于直線l上的任意一點P，由向量共線的意義可知，點P在l上的充要條件是:存在實數t,使
  +t,①
+t.②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.
由此可知,空間任意直線，由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.
點A和向量不僅能確定直線l的位置，還可以表示直線l上的任意一點P.
【設計意圖】在空間向量表示空間直線的基礎上，得出“空間中的一點和一個方向也可以確定空間中的一條直線”，引導學生利用共線定理尋找向量表示直線方法，學生在探究問題的過程中體悟數形結合數學思想，提升學生的數學抽象等核心素養.
 
師生活動：如果兩個向量、不共線，那么向量與向量、共面的充要條件是：存在唯一實數對（x,y），使=.

師生活動：學生小組討論，合作探究；教師巡視、點撥；學生到講臺分享研究成果.

師生活動：同學們用平板掃描二維碼，操作Geogebra驗證猜想？直觀感知，操作確認。
 
教師點評總結：平面內的任意一點，存在實數x,y,使x+y，由平面向量運算法則得，任取空間任意一點，分解向量=,于是，空間一點位于平面ABC內的充要條件是存在實數x,y,使
+x+y③，
我們稱表達式③為空間平面ABC的向量表示.
由此可見，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
【設計意圖】通過平面內的任意一點 的向量表示，對“存在實數x,y,使x+y”有了更深刻的理解，能夠得出空間一點位于平面ABC內的充要條件是：存在實數x,y,使+x+y，在學生最近知識發展區完成知識架構，整個過程都在圖形的輔助下進行的，使學生體悟數形結合、類比歸納、等價轉化等數學思想，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.
垂直于平面虛線叫法線.
數學中把垂直于平面的直線方向向量叫平面的法向量.
   
這體現了各學科之間的融合性，俗稱數學物理不分家.
我們知道過點A且垂直于直線l的平面是唯一確定的，也就是說過點A，且以向量為法向量的平面是唯一確定的。
師生活動：師生共同研討，形成結論.
平面α可表示為集合{P|·=0}

【設計意圖】通過向量表示空間內點、直線、平面的研究方法，學生能夠體會其研究路徑為：立體幾何基本元素—空間幾何體基本要素的向量表示—空間向量運算—解決簡單的立體幾何問題，通過此活動體驗，獲得向量研究新的數學對象的一般路徑,落實“四基”發展“四能”，提升學生數學抽象等數學核心素養.
師生活動：平面α可以由平面內一點和任意法向量唯一確定，也就是說我們借助平面的法向量，通過向量的數量積運算表示平面.

【設計意圖】通過追問，學生能夠對一個平面的向量表示有更深刻的理解，當一個平面確定后，其法向量有無限多個，為后續向量法解決立體幾何問題奠定基礎.
（三）典型例題，實踐應用
例1：在長方體中，AB=4,BC=3,,M是AB的中點，DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求直線DC的方向向量；
(2)求平面的法向量；
(3)求平面的法向量.
解析：(1)直線DC的方向向量是=(0,4,0);
(2)因為DC垂直于，所以是平面的一個法向量.
(3)因為AB=4,BC=3,,M是AB的中點，所以M（3,2,0）,C（0,4,0），所以,,
設是的法向量，則
所以，則取z=3,得x=2,y=3,∴=(2,3,3).
于是=(2,3,3)是的一個法向量.
師生活動：
（1）教師提出問題，引發學生思考，學生先不看教科書完成審題，嘗試給出作答;
    （2）教師根據學生需要及時引導，并提示學生尋找求得法向量的方法，學生給與解答，教師點評；
【設計意圖】通過問題驅動，學生能夠積極思考，向量法解決立體幾何問題的步驟，給了學生解決問題的一般套路，為后續向量的應用奠定了基礎；發展了直觀想象、數學運算等數學核心素養.
師生活動：

1. 教師拋出問題,學生回答；
2. 師生共同辨析，教師點評；
3. 教師結論，與共線的向量、都可以作為直線CD的方向向量,并且它們都是共線向量;因為長方體的特點，所以，這樣，的一個法向量是、、、都可以作為的法向量，且這些法向量都是共線向量.

（4）學生進行總結，求平面法向量的方法.例題小結.

【設計意圖】通過追問1、追問2的探究，學生能夠清楚同一條直線的方向向量有無窮多個，它們互相平行，同一個平面的法向量有無窮多個，它們互相平行，加深了對方向向量和法向量的理解，能夠更好地利用方向向量和法向量解決簡單的立體幾何問題，培養學生多角度考慮問題的能力.
   （四）及時鞏固，熟練運用
例2：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,棱長為1,以A為原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示空間直角坐標系。
求平面A₁BC₁的一個法向量.
解析：
所以
設是的法向量，則
所以，則取z=1,得x=1,y=-1,∴=(1,-1,1).
于是=(1,-1,1)是的一個法向量.
師生活動：學生在黑板上完成，教師評價，規范過程.引導學生找出直線B₁D的方向向量，也是平面A₁BC₁的法向量.
【設計意圖】通過典型例題，使學生鞏固并逐步掌握求平面的法向量的兩種方法.培養學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養.
（五）歸納小結，回顧重點
1.本節課主要學習了哪些知識？
2.本節課主要學習了哪些解決問題的方法？
【設計意圖】師生共同小結本節課學習的內容和學習過程，回顧本節課的主要知識點，有明顯的邏輯關系（空間的點線面就是從低維到高維），尤其是直線、平面的向量表示方式，通過本節課的學習，發展了直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養.
（六）作業布置，精煉雙基
1.必做題：課本第29頁第3題
2.選做題：課本第42頁第2題
3.延伸作業：
通過本節課的學習，嘗試用空間向量研究距離、夾角問題.
 
六、目標檢測設計
1.已知直線過點，且是直線的一個方向向量，則　　．
【設計意圖】考查學生對直線方向向量的理解.
2.已知平面，，，寫出平面的一個法向量　　．
【設計意圖】考查求法向量的方法.
3.在空間直角坐標系內，平面經過三點，向量是平面的一個法向量，則     .
【設計意圖】考察求法向量的方法及運算求解能力.
4.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，求平面的一個法向量．
【設計意圖】考查較復雜幾何體背景下平面的法向量的及時方法，數形結合的方法和直觀想象的能力.
 
 

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