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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《弧度制》寧夏—李
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寧夏—李靜—設計—弧度制
弧度制
李 靜 （寧夏回族自治區寧夏育才中學）
一、教材分析
1.內容
1弧度的概念、弧度與角度的換算、弧度制下的弧長公式與扇形面積公式.
2.內容解析
（1）知識上下位：三角函數是一類最典型的周期函數，通過本章的學習能夠讓學生進一步完善函數的知識體系，掌握研究函數的思想方法，學會用三角函數的相關知識構建函數模型解決實際問題.本節課的主要內容是弧度制的概念及角度制與弧度制的互化，弧度制的引入統一了三角函數自變量與因變量的單位，建立了角的集合與實數集之間的一一對應關系，為后續三角函數的學習奠定基礎.
（2）思想方法：本節課在初中已有的扇形弧長與面積公式的基礎上，通過數形結合、類比歸納、轉化等數學思想構建了度量角的新的單位制——弧度制，并簡化了角度制下扇形的弧長與面積公式，進一步完善了學生對角的度量制度的認知體系，強化了創新意識與辯證思維，發展了直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算的核心素養.
基于此，本節課的教學重點：弧度制的概念及弧度制與角度制的互化.
二、目標及解析
1.課程目標
了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.
2.課時目標
（1）了解弧度制的概念，體會其引入的必要性與定義的合理性.
（2）能夠應用弧度制度量角的大小.
（3）了解角度制與弧度制的內在聯系，能進行角度與弧度的互化，并簡化弧度制下扇形的弧長與面積公式.
3.課時目標解析
（1）通過具體實例抽象出數學模型，體會弧度制引入的必要性，并結合初中扇形的弧長與面積公式，尋找影響角大小的幾何量，借助數形結合、轉化化歸的數學思想從數、形兩個角度說明弧度制量角的合理性，經歷“背景—定義（單位1）—換算—應用”的探索過程，完成弧度制概念的建構，發展直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算的核心素養.
（2）通過裁角、量角的過程感受1rad角的大小，體會以“單位1”為基準進行測量的度量本質，并舉一反三強調角的旋轉方向，發展直觀想象的核心素養.
（3）經歷“發現問題—提出問題—解決問題”的探索過程，建立角度制與弧度制互化的橋梁，通過扇形弧長與面積公式的再推導對弧度制加以應用，提高知識的綜合運用能力，深化角度制與弧度制的內在聯系，在完善角度量認知體系的同時，體會揭示相同事物本質所用的辯證統一思想，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
三、學情分析
1.認知與能力基礎
（1）初中學生已經學習過角度制下扇形的弧長與面積公式，具有基本的識圖與運算能力.
（2）學生已經學習了角度制及任意角的相關知識，有用不同單位進行度量的生活經驗，具備用量角器量角的能力，這為本節課弧度制概念的構建提供了必要的知識儲備和能力保障.
2.可能面臨的困難
由于弧度制與角度制量角的本質截然不同，所以理解弧度制“用線段的長度來量角”的度量本質，需要有一定的批判思維和創造能力，這對學生而言具有一定的挑戰性.
3.教學難點
基于此，本節課的教學難點：弧度制的生成與理解.
四、教學策略分析
本節課是概念課的教學典范.擬采用問題驅動、引導發現的啟發式教學方法來教，引導學生通過觀察發現、自主探究、合作交流的探究式學習方法來學，并借助信息技術直觀展示動態圖象幫助學生感受弧度制量角的合理性.具體教學策略包括以下幾點：
1.合作探究
本節課在裁角、量角、建立角度制與弧度制互化橋梁的環節，都給予學生動手實踐、交流討論的機會，只有充分激活了學生的思維，這節課的各環節才能順利推進，內容才會豐富充實，方法才會異彩紛呈.
2.問題驅動
本節課緊緊圍繞如何用卷尺量角、怎樣說明弧度制量角的合理性、如何定義1rad角的大小、怎樣建立角度制與弧度制互化的橋梁等問題展開，以“問題串”的方式引導學生由特殊到一般，從具體到抽象構建弧度制的概念，符合知識地生成與發展規律，有助于突破教學難點.
3.技術運用
借助計算機軟件動態展示同心圓中影響角大小的幾何量的變化情況，加深學生對弧度制本質的理解；利用智慧課堂教學助手展示學生練習的完成情況，將信息技術與課堂教學高度融合的同時，提高課堂效率.
五、教學基本流程
1.創設情境，引出概念（3分鐘） ------問題驅動
2.合作探究，建構概念（15分鐘）
3.分析歸納，理解概念（11分鐘） ------師生互動 三動課堂
4.情景再現，應用概念（6分鐘）
5.小結反思，升華概念（4分鐘） -------培育自動
6.布置作業，鞏固概念（1分鐘）
1.創設情境，引出概念
教師引言：不同的度量規定會產生不同的度量單位.例如，物體的質量可以用千克、斤、磅等度量單位表示；物體的長度可以用米、尺、碼等度量單位表示.《愚公移山》中有“太行、王屋二山，方七百里，高萬仞”.
問題1：仞是中國古代的一種度量長度的單位，如果讓你研究“仞”，你會怎樣研究？
師生活動：教師在引導學生交流的基礎上，總結研究長度單位“仞”的方法路徑.
（1）明確度量規則：說出新的度量單位“仞”是怎樣產生的，如何規定的.
（2）確定度量單位：確定度量單位“仞”的具體長度，找到與已有單位的換算方法.
（3）學會正確度量：以“1仞”為單位，以累加或等分的方式度量其他物體的長度.
教師引言：相似的研究對象其研究路徑也有共通之處，以上我們梳理了研究度量單位的方法路徑，今天我們就沿著這條路徑學習新的度量角大小的方法——弧度制.那么什么是弧度制，又為什么要引入弧度制呢？帶著這些問題我們一起來看以下情境.
【設計意圖】仞是中國古代的長度度量單位，漢朝規定七尺為一仞.這里通過梳理“仞”的研究過程，總結研究度量制的一般方法路徑，為學生有序的研究新的度量制——弧度制，奠定方法基礎，同時注重數學文化的滲透.
2.合作探究，建構概念
為促進學生全面發展，落實“五育并舉”的育人目標，寧夏育才中學開辟校園西北角一片土地作為勞動教育實踐基地，由各班承包耕種，讓學生在知行合一的勞動實踐中豐富生活體驗.如圖1為我班分到的扇形試驗田，現欲購種需知土地面積，思考：
圖1
問題2.現若僅有卷尺為測量工具，你認為可以測得土地面積嗎？為什么？
預設1：不能，中圓心角
未知.（追問：我們能否用借用卷尺測量的數據來求出圓心角？）
預設2：可以先用卷尺測出弧長和半徑，借助弧長公式
求出圓心角
，再利用
計算面積.
問題3：觀察上述表達式，你認為可以用什么量來刻畫角的大小？
追問：該性質可以作為度量角的依據嗎？為什么？
預設：可以，圓心角
所對的弧長與半徑的比值，與半徑的大小無關，只與的大小有關，也就是說，這個比值隨的確定而唯一確定．因此用弧長和半徑的比值表示圓心角是合理的．
【設計意圖】問題2以生活中的實際問題引入教學，激發學生學習興趣，引領學生用已有知識解決實際問題.在解決問題的過程中，得出圓心角的計算公式
.教材中由圓的弧長公式
直接變形得出
，為什么做這樣的變形，學生會感到唐突.問題3根據學生認知基礎，得到公式，通過分析公式結構，找到圓心角與弧長半徑的的對應關系，讓學生自然的發現：圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與的大小有關，也就是說，這個比值隨的確定而唯一確定.
師：在數學學習中，除了可以從代數的角度來證明結論，還可以從幾何的角度更加直觀地解釋其合理性.
問題4：觀察圖2中的同心圓及左側的數據，當角
確定時，你有什么發現？
圖2
預設：雖然兩個圓的半徑
和所對的弧長
不同，但其比值相同.
師生活動：首先，保持角不變，教師改變圖2中兩個圓的半徑，帶領學生觀察左側的比值依舊不變，總結出圓心角的大小與半徑的大小無關，當角一定時，其弧長與半徑的比值也唯一確定；接著教師提出該結論是否對于其他的圓心角也成立呢？然后改變圖2中角的大小，再觀察左側數據，如此往復，帶領學生得到結論：弧長與半徑的比值隨的確定而唯一確定，反之也成立，二者之間具有一一對應的關系.
【設計意圖】滲透對應轉化的思想，如果兩種對象具有一一對應的關系，常常可以用一種對象表示另一種對象.例如用實數表示數軸上的點，用有序實數對表示平面直角坐標系中的點，為后繼學習三角函數以及復數的表示提供方法支撐.
問題5：按照前面我們梳理研究度量單位的方法路徑，接下來我們該研究什么了？
追問1：你認為應該如何規定弧度制中“1單位的角”的大小？
預設：
時弧長所對的圓心角定義為“1單位的角”.
追問2：此時半徑與弧長有何關系？
師：大家的想法與數學家們不謀而合，我們把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.弧度單位用符號（rad）表示，讀作弧度.這種利用弧度度量角大小的方法稱為弧度制.
追問3：既然角的大小與半徑無關，不妨令半徑為1，我們把這樣的圓稱為單位圓，在單位圓中有何結論？
如圖3所示∠AOB=1rad，∠AOC=-1rad，在弧度制中角的正負依然由旋轉方向決定，逆時針旋轉為負，順時針旋轉為正，因此正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為0.
圖3
早在18世紀，偉大的瑞士數學家歐拉（1707-1783）在他的名著《無窮小分析引論》中就提出把圓的半徑作為弧長的度量單位，這一思想將線段與弧的度量統一起來， 大大簡化了三角的運算.數學教師湯姆生首先使用了“弧度”一詞，將“半徑” (radius) 的前四個字母與“角”(angle)的前兩個字母合在一起，構成radian,并被人們廣泛接受和引用.
【設計意圖】引導學生類比長度單位“仞”的研究路徑，明確接下來要研究的任務，進一步經歷研究度量制的一般路徑，積累學習度量制的活動經驗.
3.分析應用，理解概念
問題6.在提前準備的圓中做出1rad的角，并將其裁出與其他同學比較，大家制作的1rad的角大小相同嗎？
方案1：任意畫一個圓，用頭發度量出和半徑長度相同的弧長，該弧長所對的圓心角即為1rad的角.
方案2：由
.
練習1：用制作的1弧度的角測量圖4中角的大小，結果用弧度數表示.
圖4
【設計意圖】第1個角讓學生直觀感受1弧度的大小；第2、3個角讓學生在測量角的過程中認識到，與角度制一樣，可以用正負號表示角的旋轉方向；第4個角引發學生認知沖突，當用1弧度的角不能準確測量角的大小時，如何更準確的用弧度表示角的大小呢？需要研究弧度與角度的換算關系.
問題7：角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算呢？
教學活動：學生討論，教師總結得出
，
.
與半徑
表示出我班試驗田如圖7的面積嗎？
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5.1.2 弧度制 背景 定義 換算 應用 |
投影屏 |
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
