主頁 > 高中優質課及說課視頻 > 高中數學優質課說課視頻 > 高中數學優質課視頻 >

• 點擊這里【加入會員】后觀看。會員請 【登錄帳號】后觀看。聯系客服+微信號nice19188 或【QQ：9899267】

視頻標簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《一元線性回歸模型參數的最小二乘估計》山東—孟

本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服

山東—孟祥峰—設計—一元線性回歸模型參數的最小二乘估計

一元線性回歸模型參數的最小二乘估計

• 教學內容解析

1. “一元線性回歸模型參數的最小二乘估計”是人民教育出版社A版《普通高中教科書選擇性必修第三冊》第8章“成對數據的統計分析”第2節的內容，是統計思想方法在實際生活中的典型應用案例。本節內容滲透了數學建模與轉化化歸的數學思想方法，在具體方法上有觀察法、主元、消元等。本節課的教學重點是一元線性回歸模型參數的最小二乘估計和利用統計軟件進行數據分析。
2 . 本節內容是在學習了“一元線性回歸模型”的基礎上，繼續對一元線性回歸模型參數進行估計，并對模型的刻畫效果進行檢驗，是后續非線性回歸模型學習的基礎。因此本節內容可以看作一元線性回歸模型的下位學習，非線性回歸模型的上位學習。
3.本節教學過程呈現了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的特點。在學習過程中讓學生體會最小二乘的思想，積累數據分析的經驗。圍繞“兒子身高與父親身高的關系”這個案例，完整呈現了從直觀尋找與散點整體接近的直線，到用豎直距離刻畫散點與直線的“距離”，再到用定量刻畫整體接近的程度，最后得到參數估計的數學化過程。對建立的模型進行應用是利用數學建模解決實際問題的一個重要環節，教學中通過“兒子身高與父親身高的關系”這個案例，利用經驗回歸方程進行預測，并對結果進行合理解釋，進而進一步介紹殘差分析的方法，據此對模型進行評價和改進。學會使用統計軟件是統計學習的重要環節，《普通高中數學課程標準（2017年版 2020年修訂）》對此也提出了要求。本節內容還滲透統計軟件的學習使用，讓學生初步學習使用統計軟件進行數據分析，注重與信息技術的融合，提高學生的信息素養，進一步發展學生的統計觀念，培養學生的數據分析和數學建模等核心素養。
二、教學目標設置                                                    
統計學習不應只是記住一些概念、公式或方法實施的操作步驟，更重要的是了解概念和方法產生的必要性，以及方法的合理性，了解統計研究問題的思路和特點，進而學會用統計的眼光看問題，培養數據分析素養。
依據“課程目標——單元目標——課堂教學目標”設置本節課的教學目標如下：
1.通過小組合作探究問題：“從直觀感知與散點在整體上最接近的直線”，學生了解解決這一問題的各種思路，并能判斷可行性。
2.通過類比物理中力的分解，學生明白“用豎直距離刻畫樣本點與直線最接近”這一問題的原因。
    3. 圍繞“求解構建的數學模型的最值問題”，通過層層遞進的問題串引領，學生明白求解雙變量問題最值的基本方法——消元、主元；通過詳細解答過程的投影，學生基本掌握運算過程，掌握運算法則。
4. 通過信息技術與數學教育教學的深度融合，學生學會使用統計軟件。
5. 通過觀測數據與預測數據的不同，學生理解殘差分析的必要性和合理性，認識統計方法的特點（如統計推斷可能犯錯誤，估計結果具有隨機性），體會統計結論的好與壞。
6.通過數據收集、錄入、整理，學生經歷較為系統的數據處理的全過程，掌握基本數據分析方法，理解數據分析的思路，學會運用所學知識解決實際問題，嘗試使用統計軟件。
7.通過改編詩，呈現本節課的要點，學生加深對本節課的印象，鞏固本節課所學內容。
8.通過貼近學生生活的案例探究作業，學生進一步掌握統計思想的應用，熟悉統計軟件的使用。
三、學生學情分析
學習過程是知識不斷重建的過程，這一過程必須以學生原有的認知結構為基礎，加強與學生已有知識和能力的聯系，既可以幫助學生理解新知識，又有利于學生能力的發展。 根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“一元線性回歸模型”的內容及要求，學生學情分析如下:
1.學生原有認知基礎
學生在初中已經初步建立了統計觀念，在高中必修課程中，進一步學習了數據分析的方法和思路，逐步建立起了“獲取數據——分析數據——解釋問題”的解決問題的模式，能夠較好地把握數據分析的基本思路與思想，初步具備了求和符號運算能力，了解了絕對值轉化為平方的“二乘”思想方法，學生對計算機操作有一定的基礎。
2.學生學習時可能遇到的困難
困難點1：在直觀感知線性相關的基礎上，尋找與散點整體最接近的直線。學生已經學習了線性相關與統計的有關知識，學生通過努力可以解決困難。因此教師提出問題，學生采用小組討論的方式，集思廣益，并對每種思路的可行性繼續進行討論，力求突破難點。
困難點2：如何用數學語言刻畫樣本點與直線最接近？學生的第一反應是用點到直線的距離，如何引導學生使用豎直距離進行刻畫是本節課的又一難點。可以類比物理中力的分解，引導學生理解用水平距離和豎直距離也是等價的，而由于隨機誤差的存在，使點在豎直方向上“偏離”了直線，因此用豎直距離刻畫更直接有效，成功突破難點。
困難點3：建立函數模型后，求最小值是學生面臨的又一個難點。通過引導學生回憶處理雙變量問題的基本方法，與學生的已有知識、技能相結合，突破難點。
基于以上分析，本節課的教學難點為：用數學的方法刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”和參數最小二乘估計公式的推導。
四、教學策略分析
為提高教學質量和效益，根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“一元線性回歸模型”的內容及要求，結合學生的實際情況，擬定教學策略如下：
1.采用小組討論的方法，解決“如何找到一條適當的直線，使表示成對樣本數據的這些散點在整體上與這條直線最接近”這一問題。對此問題學生可能無從下手，充分發揮學生的主體作用，采用獨立思考與合作探究等方式，實現對問題的多角度探究，提高課堂的效率和質量。
2.通過類比物理中力的分解，解決“為什么用豎直距離刻畫樣本點與直線最接近”這一問題，滲透多學科融合的理念，從而突破難點。
3.通過在學生思維的最近發展區設置層層遞進的問題串，從而解決“將實際問題建立數學模型后，通過數學運算求解最值”的難點。通過教師講解并投影詳細解答過程，增強學生對運算的理解，培養學生的數學運算核心素養。
4.通過信息技術與數學教育教學的深度融合，使學生學會使用統計軟件。通過數據收集、錄入、整理，讓學生經歷較為系統的數據處理的全過程，學會數據分析方法，理解數據分析的思路；讓學生運用所學知識解決實際問題，體會統計的作用，強化統計軟件的使用，加強學生的課堂體檢，體會信息技術在數據處理中的優越性。通過學生操作軟件呈現學生對概念知識的理解與應用。
5.通過改編詩，將本節課的要點呈現，加深學生的對本節課的印象，起到強化鞏固的作用。
6.通過分類布置作業，選做作業貼近學生生活，適當增加了探究性和綜合性，既能激發學生的學習興趣，又能加強學生統計思想的應用，提高數據分析的能力，熟悉統計軟件的使用。
五、教學過程設計
教學設計說明：為達到教學過程、知識的發展過程和學生的思維過程三者的協調同步，本節課的教學過程設計注重學生的學習體驗，注重學生的數學建模、數學運算、數據分析能力等核心素養的培養。本節課的教學流程圖如下：    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

環節	教學活動	學習評價		設計意圖
復習舊知    引入課題	上節課我們學習了一元線性回歸模型，請同學們回憶一下：父親身高與兒子身高相關嗎？正相關還是負相關？線性相關嗎？ 由于兩個變量之間具有較強的線性相關性，為此我們建立了一元線性回歸模型其中稱為因變量或響應變量，稱為自變量或解釋變量，是與之間的隨機誤差，隨機誤差假設為：零期望、定方差。	評價者：教師 如何評價：教師投影展示父子身高數據表和散點圖，學生共同回答相關問題，教師補充； 評價什么：學生回答是否正確。		通過復習舊知調動學生已有的相關知識，激發學生的學習興趣，引入本節課的課題。
環節	教學活動	學習評價		設計意圖
問題引領    探究新知	問題1：如何找到一條適當的直線，使表示成對樣本數據的這些散點在整體上與這條直線最接近。請同學以小組為單位想一想、畫一畫、議一議。                     追問：請同學們繼續以小組為單位對上述思路進行可行性分析。             問題2：如何刻畫和直線的“距離” ？     追問：三個距離等效的情況下，選擇哪一個作為解題的依據？                             問題3：從成對樣本數據出發，如何用數學的語言刻畫“從整體上看，各散點與直線最接近”         問題4：絕對值使得計算不方便，有沒有改進方法？         問題5：最小時和的值，可以作為斜率和截距的估計值。如何求其最小值？ 追問：有幾個變量？雙變量的一般處理方法有哪些？可采取哪種方法？消元法的關鍵是什么？       問題6：大家觀察一元線性回歸模型，有沒有可以利用的條件？               問題7：由你能想到什么？                   問題8：    怎么處理？                 追問：主元思想是否可以解決？	評價者：教師、生生 如何評價：小組活動時生生之間評價，小組代表展示時教師點評； 評價什么：學生從不同角度提出解決問題的思路，學生是否積極思考的態度。       評價者：教師、學生、生生 如何評價：小組活動時生生評價，學生代表對可行性進行分析時，學生補充糾正，教師總結并投影展示； 評價什么：每種思路的可行性。   評價者：教師、學生 如何評價：在用“點到直線的距離”進行刻畫的基礎上，引導學生類比物理力的分解將距離分解為水平距離和豎直距離，引導學生思考三個距離之間的關系，并由學生補充，教師總結完善 評價什么： 1．有哪些刻畫二者之間“距離”的方法； 2．三個“距離”刻畫效果的關系； 3．選擇哪個作為解題依據的理由。 評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生補充，教師投影展示； 評價什么：數學語言的規范性，對問題刻畫的準確性。   評價者：教師 如何評價：學生集體回答，教師投影展示； 評價什么：學生的知識遷移能力。   評價者：教師，學生 如何評價：教師投影展示表達式，并進行分析，學生回答，學生補充，教師提示總結提升； 評價什么： 雙變量問題的不同處理方法。     評價者：教師 如何評價：教師投影展示模型，學生回答； 評價什么：哪個條件可以利用及其理由。 評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生糾正補充，教師投影展示，形成問題解答； 評價什么：平均數的變形應用、加和符號的運算。   評價者：教師、學生 如何評價：學生回答，學生糾正補充，教師投影展示； 評價什么：因式分解的方法、平方的展開公式、二次函數最值的求法、書寫的規范性。 評價者：教師、生生 如何評價：學生獨立思考，小組討論交流時生生評價，學生代表回答時，學生糾正補充，教師投影展示； 評價什么：以哪個變量作為主元及其理由，運算的正確性。		學生經歷提出問題、分析問題的過程，學生在獨自思考中進步，在思維碰撞中成長。通過同學之間的相互討論，體會統計方法的合理性，培養學生數據處理能力。                         在學生最近發展區內提出問題，使學生既能面對適度的學習困難，又能保持足夠的學習興趣，提高學生數學思維的參與度。類比物理中里的分解進行學科間知識遷移，成功突破難點。                 讓學生經歷完整的數學模型建立過程，提升學生的數學建模能力。由單個點上升到整體，保持了知識的連貫性、思想方法的一致性。   在必修課程方差的學習中，學生對于此類問題的轉化與化歸具有了一定的經驗，符合學生的最近發展區。   通過層層遞進的問題串，幫助學生逐步學會思考，成功進行知識技能的遷移,使知識和思想方法得到螺旋式的鞏固和提高。   從要解決的問題出發，從模型出發，引導學生要從根源上尋找問題的解決之道。 根據學生的思維規律，設置層層遞進的“問題串”，引導學生的數學思維活動，降低思維難度，幫助學生學會思考，成功突破難點。     提高學生思維的遷移能力，加強學生對加和運算符號的認識與理解，進一步鞏固學生的數學運算能力，使數學思想方法得到進一步的鞏固和提高。
環節	教學活動	學習評價		設計意圖
遷移應用    鞏固新知	問題9：利用軟件求得兒子身高關于父親身高的經驗回歸方程為 ，結合方程思考并回答以下問題： （1）根據模型，如果一位父親的身高為176cm，預測他兒子長大成人后的身高（保留整數）？ （2）根據經驗回歸方程的斜率和截距，高個子的父親一定生高個子的兒子嗎？矮個子的父親一定生矮個子的兒子嗎？ （3）根據模型，由你父親的身高估計你的身高，預測數據與觀測數據是否符合？若不符合，請說明理由。   問題10：以“父子身高關系”為例，你能通過殘差分析判斷模型刻畫數據的效果嗎？	評價者：教師、學生 如何評價：教師展示如何用統計軟件excel求經驗回歸方程，學生獨立完成問題（1），學生思考并回答問題（2），教師展示高爾頓釘板實驗，學生完成問題（3）并說明理由,教師引出殘差分析的必要性并投影展示； 評價什么： 學生運算的速度及準確性、學生對經驗回歸方程的理解。       評價者：教師、學生 如何評價：教師展示用excel表格計算殘差，生成殘差圖，學生思考回答，學生補充，教師總結提升； 評價什么：如何通過殘差圖判斷模型刻畫數據的效果。		加強信息技術與數學教育教學的深度融合，使用信息技術組織教學資源，讓學生學會使用統計軟件，將學生從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，把更多經歷集中于統計概念和方法的理解，從而提高學習效率。通過實驗展示，讓學生將理論與實踐相結合，加深學生的理解認知。     強化統計軟件的使用，加強學生的數據分析能力，學生能夠通過殘差分析判斷回歸模型刻畫數據的效果。
環節	教學活動		學習評價	設計意圖
情境創設   應用新知	做一做： 收集部分男（女）同學的鞋碼和身高，畫出散點圖，直觀感知鞋碼和身高是否符合一元線性回歸模型。若符合，求出經驗回歸方程，并通過殘差圖判斷效果。若不符合，請說明理由。		評價者：教師、學生 如何評價：收集部分男同學的鞋碼，學生錄入并生成散點圖，求出經驗回歸方程、殘差圖； 評價什么： 對統計軟件的使用、對一元線性回歸模型的判斷、殘差的定義，殘差分析。	通過選擇貼近學生實際的典型案例，使學生置身于案例中。通過數據收集、錄入、整理，讓學生經歷較為系統的數據處理的全過程，學會數據分析方法，理解數據分析的思路，讓學生運用所學知識解決實際問題，體會統計的作用，強化統計軟件的使用，加強學生的課堂體檢。
環節	教學活動		學習評價	設計意圖
課堂回顧   要點小結	請總結本節課所學內容。   《青玉案·回歸》， 分析決策有良方， 最小二乘來幫忙. 眾里尋他千百度， 驀然回首， 消元主元， 回歸線過樣本中心處.		評價者：教師、學生 如何評價：學生總結補充，教師投影展示并展示改編詩； 評價什么：本節課的主要內容、主要思想方法。	從知識、方法、思想幾個角度進行總結，積累經驗，促進學生反思生活、感悟思想、提升素養；通過改編詩，將本節課的要點呈現，加深學生的對本節課的印象，起到強化鞏固的作用。
目標	學習活動		學習評價	設計意圖
分類提升   作業布置	必做：教科書113頁1，2，3，4，習題8.2第2題； 選做：以小組為單位，研究數學成績、物理成績、化學成績兩兩之間是相關的嗎？哪兩個學科之間相關性更大？語文成績對數學成績有影響嗎？		評價者：教師、生生 如何評價：教師進行書面作業批改，學生進行小組探究； 評價內容：對經驗回歸方程等的理解、對統計軟件的使用。	分類布置作業，選做作業貼近學生生活，適當增加了探究性和綜合性，既能激發學生的學習興趣，又能加強學生統計思想的應用、數據分析的能力、統計軟件的使用。

六、板書設計

一元線性回歸模型參數的最小二乘估計                                              公式       公式推導過程

七、教后反思
本節課通過問題引領的形式引領學生對一元線性回歸模型參數的最小二乘估計進行探究和深入理解，較好地突出了教學重點，突破教學難點。
在探究新知環節，通過八大問題以及若干個小問題，引領學生采用個人思考、小組討論、代表展示等方式解決問題，培養學生邏輯推理、數學運算核心素養。在新知應用環節，通過選擇貼近學生實際的典型案例，使學生置身其中，經歷較為系統的數據處理全過程，經歷運用所學知識解決實際問題，發展學生的數據分析素養。在課堂小結環節，通過詩詞改編，完整呈現本節課要點，加深學生的對本節課的印象，起到強化鞏固的作用。在作業布置環節，通過選擇貼近學生生活的案例作為作業，適當增加了探究性和綜合性，既能激發學生的學習興趣，又能加強學生統計思想的應用、數據分析的能力、統計軟件的使用。
本節課的亮點主要有以下幾點：
1.在求解最小值的過程中，引導學生使用求解雙變量問題的常規方法，使問題得到解決的同時也讓學生明白了數學思想方法的一致性；
2．借用模型讓學生估算自己與父親的身高，擬合效果不佳的原因有一部分是因為父母生活的不容易，讓學生懂得感恩父母；通過創設貼合學生實際生活的案例，使學生置身于案例中深入理解數據分析的思路，體會統計的作用；
3．總結時通過改編詩，加深學生對課堂知識的印象；課后開放性作業，選擇學生感興趣的內容，成功將課堂延伸到課下。
由于時間比較緊張，公式推導過程沒有給學生充分的時間進行數學運算，課下可以繼續進行研究。
 

視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“第十一屆全國高中”其中的單個詞或詞組，搜索以字數為3-6之間的關鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《一元線性回歸模型參數的最小二乘估計》山東—孟”，所屬分類為“高中數學優質課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《一元線性回歸模型參數的最小二乘估計》山東—孟”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優質課網 的成長和發展，離不開您的支持，感謝您的關注和支持！有問題請【點此聯系客服QQ：9899267】 -----

• (10-18)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-12)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽現場說
• (10-11)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽【會場
• (10-15)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例
• (10-18)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-11)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽【會場
• (10-11)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽【會場
• (10-18)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-17)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-18)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-11)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽現場說
• (10-12)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽現場說
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-11)·第十屆全國高中數學教師優質課大賽現場說
• (10-15)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例

• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽
• (10-19)·第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽