視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《二面角（1）》上海—鄧
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上海—鄧佳敏—設(shè)計(jì)—二面角（1）
10.4.2 二面角（1）
上海交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校 鄧佳敏
（一）教學(xué)內(nèi)容
二面角的概念與二面角的平面角.
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課選自上海教育出版社出版的《普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修第三冊(cè)》第十章第4節(jié)《平面與平面的位置關(guān)系》的第2課時(shí)——“二面角”，該課時(shí)內(nèi)容主要分為二面角的平面角、平面與平面垂直兩部分.承接“平面與平面平行”，在學(xué)習(xí)了“平面及其基本性質(zhì)”、“直線與直線的位置關(guān)系”、“直線與平面的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上展開，并為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)簡單幾何體做準(zhǔn)備.
“10.4平面與平面的位置關(guān)系”是立體幾何的核心內(nèi)容之一，作為“直線與直線”、“直線與平面”、“平面與平面”的內(nèi)容邏輯主線中的最后一環(huán)，其教學(xué)應(yīng)注重使用類比的數(shù)學(xué)思想.例如，在平行關(guān)系中，線線平行、線面平行、面面平行的判定和性質(zhì)相互轉(zhuǎn)化、不斷推進(jìn)；在“角”的度量中，異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角，都是將空間中的角轉(zhuǎn)化為平面中的角，其研究思路一脈相承，滲透將三維空間的問題轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面中的問題的基本思想方法.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),歐氏幾何體系的基礎(chǔ)內(nèi)容——空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系便成為一個(gè)較完善的知識(shí)和邏輯體系.
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求學(xué)生能夠運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念；了解、歸納平面與平面垂直的性質(zhì)定理與判定定理，并對(duì)性質(zhì)定理加以證明；對(duì)推理論證的要求較高.二面角是刻畫兩個(gè)相交平面位置關(guān)系的概念和一種度量方式，雖然在國家課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有對(duì)二面角的概念提出要求，但二面角的教學(xué)一方面是為了知識(shí)體系的完整性，另一方面也是為學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展空間想象與邏輯推理能力提供機(jī)會(huì).此處的重點(diǎn)應(yīng)放在二面角的平面角的構(gòu)造上，著重于對(duì)位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，而把如何計(jì)算角的大小的問題，放在選擇性必修的空間向量及其應(yīng)用時(shí)再具體處理.二面角的學(xué)習(xí)不僅僅是為定義面面垂直服務(wù)的，更是為了完善平面與平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有利于學(xué)生領(lǐng)會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
本節(jié)課是“二面角”的第一課時(shí)，圍繞著二面角的定義、二面角的度量展開，到給出平面與平面垂直的定義結(jié)束，而將平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理放在后一課時(shí).這樣處理有以下原因：（1）本節(jié)課是一節(jié)概念課，為了引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，使學(xué)生得以充分探索二面角的平面角構(gòu)造的合理性與科學(xué)性，達(dá)到訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、形成理性和科學(xué)精神的目標(biāo)，在有限的時(shí)間內(nèi)教學(xué)內(nèi)容不宜過多，才能達(dá)到更好的育人效果.（2）基于授課學(xué)生的學(xué)情，該班學(xué)生具備深入探究立體幾何問題的知識(shí)與能力，并對(duì)此類問題有比較強(qiáng)的興趣，可以在解決問題的過程中收獲學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信.（3）二面角的內(nèi)容起著承上啟下的作用，二面角的平面角與直線與平面所成的角的探究有異曲同工之妙，但要求略有遞進(jìn)，二面角的平面角的探究過程既能幫助學(xué)生回憶、復(fù)習(xí)線面角的知識(shí)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)平面與平面垂直的內(nèi)容打下扎實(shí)基礎(chǔ).
（三）教學(xué)重點(diǎn)
構(gòu)造二面角的平面角.
（一）教學(xué)目標(biāo)
1. 經(jīng)歷二面角的概念的形成過程，認(rèn)識(shí)二面角的圖形，理解二面角的定義及相關(guān)概念，感悟類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；
2. 經(jīng)歷二面角的度量的探究過程，會(huì)構(gòu)造二面角的平面角，體會(huì)類比、降維轉(zhuǎn)化思想在知識(shí)建構(gòu)與問題解決中發(fā)揮的作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和善于思考的科學(xué)精神；
3. 在交流與合作的學(xué)習(xí)過程中，探索、理解二面角的平面角的構(gòu)造合理性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力與合作精神，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展.
（二）目標(biāo)解析
對(duì)于目標(biāo)1，通過類比平面中的角與三維空間中平面與平面所成的角，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)二面角的圖形，理解二面角的定義，認(rèn)識(shí)二面角中的面、棱以及二面角的記法，能夠從生活實(shí)例中抽象出二面角的幾何模型.
對(duì)于目標(biāo)2，在如何度量二面角這一問題情境下，經(jīng)歷“構(gòu)造什么”——“如何構(gòu)造”——“為什么這么構(gòu)造”的探究過程，掌握二面角的平面角的定義，能在二面角中作出平面角，能用二面角的知識(shí)解決簡單的數(shù)學(xué)問題.提升在一般觀念指導(dǎo)下思考與解決問題的能力，形成有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和善于思考的科學(xué)精神.
對(duì)于目標(biāo)3，通過折紙活動(dòng)，解決“為什么平面角的邊與棱垂直？”這一問題，深入剖析二面角的平面角構(gòu)造的合理性與科學(xué)性，在實(shí)踐中訓(xùn)練創(chuàng)新思維、在傾聽中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神、在交流中鍛煉邏輯思維與數(shù)學(xué)表達(dá)能力.
（一）學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對(duì)象為一所上海市實(shí)驗(yàn)性示范性高中的學(xué)生，授課學(xué)段為高二學(xué)年上學(xué)期，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面及其基本性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系.對(duì)公理、定理等有較好掌握，對(duì)立體幾何有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)興趣，且已經(jīng)歷過從定性到定量探究空間中兩個(gè)對(duì)象的位置關(guān)系的研究過程，具備探究立體幾何問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和能力.
然而，在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，學(xué)生仍會(huì)面臨“知其然而不知其所以然”的難題，能從直觀上認(rèn)識(shí)空間對(duì)象的位置關(guān)系，但在試圖說明其內(nèi)在本質(zhì)或原理時(shí)卻感到無從下手.因此，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)、有理有據(jù)闡明觀點(diǎn)的理性思維.
（二）教學(xué)難點(diǎn)
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為理解二面角的平面角構(gòu)造的合理性.
本節(jié)課是《二面角》的第一課時(shí)，屬概念課.本節(jié)課遵循“情境與問題——分析與歸納——本質(zhì)特征的抽象、定義——關(guān)鍵詞辨析——簡單應(yīng)用——聯(lián)系與綜合”的概念形成方式安排學(xué)習(xí)過程，創(chuàng)設(shè)基于情境、問題導(dǎo)向的啟發(fā)式、探究式課堂，滲透數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而達(dá)到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考的效果.
教學(xué)策略1 以問題驅(qū)動(dòng)課堂，培養(yǎng)理性思維
數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的提升應(yīng)來自于學(xué)生內(nèi)心的思考與感悟，本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，由多個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的問題貫穿，以“如何定義二面角？”——“如何度量二面角？”——“如何構(gòu)造角？”——“為什么這樣構(gòu)造？”為主線，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，深入挖掘、探究二面角的平面角構(gòu)造的“情”與“理”，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的科學(xué)精神，與有理有據(jù)闡明觀點(diǎn)的理性思維.
教學(xué)策略2 以交流靈動(dòng)課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
以學(xué)生為課堂主體，圍繞如何度量二面角這一主題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出自己的想法，鼓勵(lì)其他同學(xué)進(jìn)行說明和補(bǔ)充，形成開放、高效的課堂氛圍.“為什么這么構(gòu)造？”——開放性的問題能夠提升學(xué)生作出多種解釋的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，從而推動(dòng)師生之間、生生之間的互動(dòng)和交流向縱深發(fā)展.
教學(xué)策略3 以技術(shù)輔助教學(xué)，降低想象難度
除了用教室的門和實(shí)物模型進(jìn)行演示，本節(jié)課還利用GeoGebra軟件，生動(dòng)地展現(xiàn)二面角的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)與平面角的大小變化.形象的軟件展示能為學(xué)生理解二面角提供直觀，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行理性思考，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生掌握平面上表示空間圖形的方法和技能、形成空間觀念、提高空間想象能力.
教學(xué)策略4 以情境豐富課堂，實(shí)現(xiàn)德育價(jià)值
創(chuàng)設(shè)首尾呼應(yīng)的太陽能發(fā)電這一生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感與愛國主義情懷，增強(qiáng)學(xué)生的公民意識(shí)和社會(huì)責(zé)任感；通過講述歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)平面傾角的定義，滲透數(shù)學(xué)文化，感受立體幾何的研究貫穿古今的震撼；在講解二面角的概念時(shí)，以蛋白質(zhì)折疊的二面角模型與北斗衛(wèi)星的軌道面與赤道面夾角對(duì)比，極微觀和極宏觀的科學(xué)情境，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)來自于宇宙、數(shù)學(xué)是宇宙的語言”的體驗(yàn).
（一）情境與問題
播放紀(jì)錄片《輝煌中國》片段，展示上海龍陽路地鐵站光伏發(fā)電項(xiàng)目的照片（圖1-3）.
圖1-1 圖1-2 圖1-3
問題1：用數(shù)學(xué)的眼光看，圖1-1中蘊(yùn)含哪些幾何元素間的位置關(guān)系？
【設(shè)計(jì)意圖】在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已積累了較多立體幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，借助太陽能發(fā)電的情境，啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題.介紹宏偉壯觀的新能源基地有利于培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.
問題2：圖1-2中，當(dāng)光伏板轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光伏板與水平面所在的兩個(gè)相交平面間的哪個(gè)量在變化？
【設(shè)計(jì)意圖】立體幾何的核心是空間中的距離與角度，當(dāng)相交平面的位置關(guān)系發(fā)生變化時(shí)，它們之間的角度也在變化，從而體現(xiàn)研究二面角的必要性與意義，引出本節(jié)課主題.
（二）分析與探究
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二面角的概念
直線上的一點(diǎn)可以將直線分為兩部分，每部分稱為射線.類似地，在空間中，平面上的一條直線也將平面分為兩部分，每部分稱為半平面.
【設(shè)計(jì)意圖】給出半平面的概念，為二面角的定義做準(zhǔn)備，滲透類比思想.
在平面內(nèi)，兩條直線相交會(huì)形成四個(gè)角.在空間中，兩個(gè)平面相交也會(huì)形成四個(gè)二面角.
問題3：類比角的概念，你能給出空間中二面角的定義嗎？
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角 |
二面角 |
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圖形 |
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定義 |
平面內(nèi)，從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形. |
空間中，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形. |
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構(gòu)成 |
頂點(diǎn)、邊 |
二面角的棱、二面角的面 |
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表示方法 |
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、
、 |
【設(shè)計(jì)意圖】通過類比平面幾何中直線的夾角與射線的夾角，得到立體幾何中面面夾角與二面角的定義，有利于學(xué)生聯(lián)想到通過平面內(nèi)的角來度量二面角.問題3以學(xué)生為課堂主體，鼓勵(lì)學(xué)生大膽定義新概念，使學(xué)生感悟類比思想，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，收獲探究新定義的自信.
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二面角的度量
問題4：在我們身邊有哪些二面角的形象？
【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，通過在生活中尋找二面角，感受二面角的幾何形象，深化二面角的概念.
展示蛋白質(zhì)肽鏈的 折疊（圖2-1）與北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道示意圖（圖2-2）.
圖 2-1 圖 2-2
【設(shè)計(jì)意圖】引出二面角的度量問題，突出二面角度量的重要性. 極微觀和極宏觀的科學(xué)情境，形成強(qiáng)烈對(duì)比，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知熱情.
用教室的門演示：隨著兩個(gè)半平面位置關(guān)系的變化，二面角是有大有小的.
問題5：如何度量二面角的大小？
生：用一個(gè)平面內(nèi)的角來刻畫二面角的大小.
【設(shè)計(jì)意圖】將二面角的度量問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平面內(nèi)的角的問題，以簡馭繁，滲透將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題的降維轉(zhuǎn)化思想，為接下來的探究活動(dòng)做鋪墊.
問題6：怎樣構(gòu)造角來刻畫二面角的大小？
追問1：為什么將角的頂點(diǎn)取在棱上？
（1）度量直線與平面所成角時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角，角的頂點(diǎn)為直線和平面的交點(diǎn)，即兩個(gè)幾何對(duì)象的公共點(diǎn).類似的，用一個(gè)平面內(nèi)的角度量二面角，角的頂點(diǎn)也應(yīng)取在兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即二面角的棱上.
（2）頂點(diǎn)取在棱上時(shí)，兩條邊就可以取在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，更好體現(xiàn)兩個(gè)面的相對(duì)位置.
【設(shè)計(jì)意圖】通過類比直線與平面所成角，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系.
追問2：當(dāng)二面角 給定時(shí)， 的大小與點(diǎn) 在棱上的取法有關(guān)嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過等角定理證明所構(gòu)造的角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，強(qiáng)調(diào)二面角的構(gòu)造的任意性與確定性.
追問3：為什么角的兩邊與棱垂直？不垂直可以嗎？
活動(dòng)1 將半透明紙折成二面角，在二面角內(nèi)畫出不同的角，驗(yàn)證你的想法，并交流討論.
圖 2-3
預(yù)設(shè)回答1 符合直觀：當(dāng)兩個(gè)半平面重合、完全展開成一個(gè)完整平面時(shí)，邊與棱垂直的角分別是 、 ，與我們對(duì)二面角大小的直觀認(rèn)識(shí)符合.
預(yù)設(shè)回答2 唯一確定：當(dāng)頂點(diǎn) 確定時(shí)，在兩個(gè)面內(nèi)只能作唯一一條垂直于棱的射線，此時(shí)角唯一確定.
Geogebra軟件演示：
圖 2-4
【設(shè)計(jì)意圖】基于學(xué)生的實(shí)際情況，容易得到二面角的平面角的構(gòu)造方法，但說理與論證卻比較困難.問題6及追問的設(shè)計(jì)，是在問題5的基礎(chǔ)上將角的構(gòu)造問題拆解為取頂點(diǎn)、作邊等一系列環(huán)節(jié)，一步步啟發(fā)學(xué)生思考每個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)在原理.活動(dòng)1旨在讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)二面角的平面角的建構(gòu)過程，在交流討論中互相啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)關(guān)系，從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出、分析解決問題的能力，鍛煉有理有據(jù)、邏輯連貫地闡明觀點(diǎn)與透過現(xiàn)象看本質(zhì)的理性思維，樹立善于思考的科學(xué)精神.
（三）閱讀與辨析
圖 3-1 圖 3-2
歐幾里得編著的《幾何原本》第XI卷中定義：從兩個(gè)相交平面的交線上同一點(diǎn)，分別在兩平面內(nèi)各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫做該兩平面的傾角（也可叫交角）.
[1]
[1] 歐幾里得著.蘭紀(jì)正, 朱恩寬.幾何原本[M]. 譯林出版社, 2014, 477.
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明重要的組成部分.通過了解歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)相交平面的傾角的定義，感受厚重的數(shù)學(xué)歷史和輝煌的數(shù)學(xué)文明.今日所學(xué)的知識(shí)依賴于一代代的大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵(lì)學(xué)生直面未知、勇敢探索，喚起學(xué)生的科學(xué)奉獻(xiàn)精神.
活動(dòng)2 閱讀課本第41頁、第2段二面角的平面角的定義，并在學(xué)習(xí)單上補(bǔ)全定義中的關(guān)鍵詞.
【設(shè)計(jì)意圖】閱讀是重要的課堂活動(dòng)，可以幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，并通過對(duì)定義進(jìn)行辨析，落實(shí)、鞏固二面角的平面角的相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.
二面角的平面角應(yīng)滿足：（1）角的頂點(diǎn)在棱上任取；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面上；（3）角的兩邊垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范圍是 .
當(dāng)二面角確定時(shí)，其平面角就唯一確定，反之亦然.
（四）練習(xí)與實(shí)踐
活動(dòng)3 在正方體 中，作出以下二面角的一個(gè)平面角，并求它的度數(shù)：（1） ； （2） ； （3） .
圖4-1
思考：在第三幅圖中，二面角 的平面角是哪個(gè)角？大小是多少？
在（1）中，當(dāng)二面角的大小等于 時(shí)，其平面角是 ，此時(shí)，我們稱這個(gè)二面角為直二面角.當(dāng)兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角時(shí)，我們就說這兩個(gè)平面相互垂直.
圖 4-2
【設(shè)計(jì)意圖】正方體是一個(gè)直觀的模型，可以此為載體幫助學(xué)生掌握二面角的表示方法、學(xué)會(huì)構(gòu)造簡單的二面角的平面角并求解大小.利用正方體可以使學(xué)生更直觀地認(rèn)識(shí)和理解空間對(duì)象的位置關(guān)系，培養(yǎng)“空間感”和洞察力.同時(shí)在具體問題中更自然地引出下節(jié)課的主題——平面與平面垂直.
（五）聯(lián)系與綜合
活動(dòng)4 在學(xué)校北邊的天臺(tái)上，布置了若干巨大的太陽能光伏板，它的支架可以帶動(dòng)光伏板轉(zhuǎn)動(dòng)，使光伏板正對(duì)太陽光發(fā)電，為校園提供了清潔電能，使綠色低碳科技變得觸手可及.
鄧?yán)蠋煱l(fā)現(xiàn)，秋分這天正午，上海的太陽高度角是 ，此時(shí)光伏板與水平面所成的二面角的大小是多少？（*太陽高度角指太陽光線與水平面所成角）
圖5-1 圖5-2
【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生身邊的實(shí)例出發(fā)，經(jīng)歷從實(shí)際情境到幾何模型的構(gòu)建，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊的事物、培養(yǎng)善于用數(shù)學(xué)思維思考生活的習(xí)慣. 題目情境與課堂引入相呼應(yīng)，使本節(jié)課更具整體性.
（六）小結(jié)與作業(yè)
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課堂小結(jié)與學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
1.研究問題：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.
2.研究過程：
（1）類比平面內(nèi)的角，得到二面角的概念；
（2）將二面角的度量問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平面內(nèi)的角的問題；
（3）在折紙活動(dòng)中感受二面角的平面角構(gòu)造的合理性，經(jīng)歷從直觀感知、操作確認(rèn)到簡單推理論證的過程.
3.思想方法：
（1）聯(lián)系新舊知識(shí)的類比思想；
（2）將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的降維轉(zhuǎn)化思想.
【設(shè)計(jì)意圖】從研究問題、研究過程、思想方法等方面梳理本節(jié)課內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.
課堂學(xué)習(xí)情況自評(píng)表
任務(wù)1：結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境
，通過問題1-4，認(rèn)識(shí)二面角的圖形，理解二面角的定義及相關(guān)概念，能在活動(dòng)3的正方體中正確找到對(duì)應(yīng)的二面角.
任務(wù)2：通過問題5、6與活動(dòng)1（折紙活動(dòng)），能認(rèn)識(shí)二面角的平面角構(gòu)造的合理性，經(jīng)歷活動(dòng)2（閱讀活動(dòng)），知道如何作出二面角的平面角，并會(huì)在簡單情形中求二面角的大小，完成活動(dòng)3中平面角的構(gòu)造與求解.
任務(wù)3：在活動(dòng)4中，能將實(shí)際情境抽象成二面角的幾何模型，即畫出二面角的圖形、將情境條件抽象為幾何元素之間的關(guān)系、正確作出該二面角的平面角、求解二面角的平面角.
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評(píng)價(jià)任務(wù) |
順利完成 |
基本完成 |
未能完成 |
未完成的具體活動(dòng)或問題 |
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任務(wù)1 |
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任務(wù)2 |
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任務(wù)3 |
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課后作業(yè)
【基礎(chǔ)練習(xí)】
教材P44 習(xí)題10.4 A組6、7、8，補(bǔ)充題.
教材 習(xí)題10.4 A組
6.在正方體 中，平面 與正方體的各個(gè)面所成的二面角的大小分別是多少？
7.在 二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是 .求這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離.
8. 如圖，在四面體 中，已知 ， ，且 .試作出二面角 的平面角，并求它的度數(shù).
（第8題） （補(bǔ)充題）
補(bǔ)充題：埃及是歐氏幾何的誕生之地，歐幾里得在此編撰的著作《幾何原本》，奠定了理論幾何的基礎(chǔ).同樣聞名于世的，還有埃及的金字塔，早在《幾何原本》誕生前的2300年，金字塔就已建造而成，它的出現(xiàn)展現(xiàn)了古埃及人的才能與智慧.
胡夫金字塔是最古老、最宏偉的金字塔之一.它是由一個(gè)正方形底面、四個(gè)全等的等腰三角形側(cè)面構(gòu)成的幾何體.其底部邊長為230米，側(cè)壁三角形的腰（側(cè)棱）長214米（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
（1）求胡夫金字塔的側(cè)壁與地面所成的二面角大小；
（2）若一只羚羊在金字塔側(cè)壁，沿著與底邊成 角的直線向上攀行了100米，此時(shí)羚羊所在海拔高度上升了多少米？
答案：習(xí)題10.4 6. ；7. ；8. . 補(bǔ)充：（1） ；（2） 米.
評(píng)價(jià)建議：（1）完成習(xí)題10.4的6、7、8題，并能畫出金字塔的直觀圖，可評(píng)價(jià)為合格；（2）完成習(xí)題10.4的6、7、8題和補(bǔ)充題第一問，可評(píng)價(jià)為良好；（3）能夠全部完成正確，可評(píng)價(jià)為優(yōu)秀.
【拓展探究】（選做）
本節(jié)課我們用半平面內(nèi)垂直于棱的兩條射線構(gòu)造了二面角的平面角，由等角定理，平面角的大小與頂點(diǎn)的取法無關(guān).某同學(xué)受到啟發(fā)，提出了另一種構(gòu)造平面角的方法：取一個(gè)垂直于棱的平面，與二面角的兩個(gè)半平面相交的射線所構(gòu)成的角，它與我們今天所學(xué)的平面角是一致的.
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證明該方法構(gòu)造的平面角的大小與平面的位置無關(guān)；
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如果所作的平面與棱成 角，所截得的角的大小是否依然與平面位置無關(guān)？請(qǐng)說明理由.
評(píng)價(jià)建議：（1）能用等角定理證明第一問，并在第二問中回答出所截得的角與平面位置有關(guān)，可評(píng)價(jià)為合格；（2）能用等角定理證明第一問，在第二問中能舉出兩個(gè)不同位置的截面，使截得的角大小不同，可評(píng)價(jià)為良好；（3）能用等角定理證明第一問，并能通過幾何軟件、模型等演示出當(dāng)平面圍繞二面角的棱旋轉(zhuǎn)時(shí)所截得的角的變化，可評(píng)價(jià)為優(yōu)秀.
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