視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《正方體截面的探究》山東—劉
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山東—劉曉曉—設(shè)計—正方體截面的探究
“正方體截面的探究”教學(xué)設(shè)計
劉曉曉
（山東省日照第一中學(xué)）
一．教學(xué)內(nèi)容解析
數(shù)學(xué)探究活動是《標準》特別安排和提倡的一種學(xué)習(xí)形式.數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的教學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.
作幾何體的截面是立體幾何教學(xué)中的一個難點,需要學(xué)生具備較強的空間想象能力和動手操作能力．正確判斷幾何體被一個平面所截的截面形狀,關(guān)鍵在于弄清這個平面與幾何體的面的相交線的形狀和位置．此類問題對于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力,深入理解直線和平面的有關(guān)性質(zhì),有效地形成空間概念具有很重要的作用.
“正方體截面的探究”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》附錄中的數(shù)學(xué)探究活動案例11.此案例讓學(xué)生在熟悉的正方體中，綜合利用基本圖形的結(jié)構(gòu)特征、基本圖形位置關(guān)系中的結(jié)論、定理，進一步全面準確地認識一個空間幾何體.通過教師精心設(shè)計問題串，引導(dǎo)學(xué)生有目的地分組開展探究活動，提高學(xué)生參與度.讓學(xué)生經(jīng)歷選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗。
二．教學(xué)目標設(shè)置
1.通過自主實驗探究，借助實物模型的直觀和信息技術(shù)的運用，掌握正方體截面的形狀、大小等的變化規(guī)律，理解分類原理，提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；
2.融合實驗探究和數(shù)學(xué)理性思維，理解并證明正方體截面的性質(zhì)，通過作截面加深對其性質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，增強學(xué)生的知識融合能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的提高；
3.引導(dǎo)學(xué)生從模仿到自主，從局部到整體，讓學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)與提出、分析和解決的過程，體會數(shù)學(xué)探究的一般流程，積累獨立思考和合作交流的經(jīng)驗，形成解決數(shù)學(xué)實際問題的科學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)融合的水平.
三．學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對象為山東省日照第一中學(xué)東校區(qū)的學(xué)生，他們思維活躍，能熟練應(yīng)用信息技術(shù)工具輔助學(xué)習(xí)，并且有豐富的探究活動經(jīng)驗.
1.學(xué)生已有認知基礎(chǔ)
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“立體幾何初步”，了解了簡單幾何體的基本特性；對空間的點、線、面的位置關(guān)系有了一定的理解，并掌握了一些相關(guān)性質(zhì)和定理，具備一定的空間想象能力和推理論證和運用圖形語言進行交流的能力.
2.達成教學(xué)目標所具備的認知基礎(chǔ)
數(shù)學(xué)探究是從數(shù)學(xué)視角對事物進行觀察、思考，發(fā)現(xiàn)結(jié)論與規(guī)律的創(chuàng)新認知過程，需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探究、合作探究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.
3.已有的基礎(chǔ)和需要的基礎(chǔ)之間的差距
正方體截面的探究是一個典型的結(jié)構(gòu)不良問題，對學(xué)生提出了更高得要求，但是學(xué)生沒有形成將所學(xué)知識融合起來分析問題的思路，學(xué)生分析和解決復(fù)雜實際問題的能力有待提高，需要教師的設(shè)計、指導(dǎo)和幫助.
4.教學(xué)難點及其突破策略
教學(xué)難點：正方體截面的性質(zhì)及研究方法.
突破策略：教師提供教學(xué)資源，組織教學(xué)活動，以問題為引領(lǐng)，信息技術(shù)為輔，讓學(xué)生以小組合作的方式完成數(shù)學(xué)探究活動.
1.鼓勵主動參與探究活動，加強學(xué)生的操作活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力。讓學(xué)生都能夠分享在探究活動中的收獲，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題有真知灼見。鼓勵學(xué)生通過語言表達或是圖文表達進行交流，表達自己對探究問題的理解，從而提高自身的數(shù)學(xué)探究能力.
2.深入挖掘案例中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，設(shè)計切實可行的學(xué)習(xí)目標，以問題為引領(lǐng)，開發(fā)教學(xué)案例.通過問題分析來展開思路，啟發(fā)學(xué)生進一步地思考，尋找出自己的思路和解決方法.
3.將從“現(xiàn)象到理性”的“做中學(xué)”的思想貫穿于整個探究活動中，應(yīng)用和發(fā)展學(xué)生的分類與討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.
4.注重培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)處理能力，讓學(xué)生更加熟練應(yīng)用當(dāng)前的信息處理手段，提高數(shù)學(xué)探究的有效性.
此探究活動分為選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)，安排了6個課時。學(xué)生選題開題各1課時，做題環(huán)節(jié)設(shè)計為3課時，最后1個課時是學(xué)生撰寫研究報告，總結(jié)探究過程的收獲與感悟.
此探究活動的做題階段的第一課時，借助導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的問題引領(lǐng)，讓學(xué)生回顧相關(guān)知識，通過數(shù)學(xué)實驗、模型操作或借助信息技術(shù)的直觀呈現(xiàn)，自主探究截面的類型，形成猜想并推理驗證.第二課時整理匯總實驗結(jié)果，完善求證結(jié)論，繼續(xù)深入探究截面形狀的類型和性質(zhì).第三課時設(shè)置了正方體截面的周長和面積的最值的探究活動.讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)思維方式探究正方體截面的探究過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.
本節(jié)課是做題階段的第二課時，是數(shù)學(xué)探究活動做題部分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，旨在讓學(xué)生獲得一個數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗，并在下一課時應(yīng)用.本節(jié)課首先匯報開題報告中的現(xiàn)實背景及在教材中的探尋，讓學(xué)生正確理解截面，體會從空間到平面的降維轉(zhuǎn)化思想。然后從學(xué)生展示的探究成果出發(fā)，讓學(xué)生了解正方體不同截面的變化情況、啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.
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選題開題
在實施此探究活動前，學(xué)生并不了解數(shù)學(xué)探究活動的基本信息，所以教師精選中學(xué)數(shù)學(xué)建模論文，組織學(xué)生研讀，培訓(xùn)基本的信息技術(shù)操作方法.
在選題開題環(huán)節(jié)，分小組討論本小組的開題報告，討論截面問題的現(xiàn)實意義、解決問題的思路、研究計劃、預(yù)期結(jié)果.在此過程中教師需要精心設(shè)計方案，提出所要研究的主要問題及其要求，提高數(shù)學(xué)探究活動的效率.
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做題之實驗探究
教師設(shè)計導(dǎo)學(xué)案，指導(dǎo)學(xué)生首先回顧截面相關(guān)的基本知識，然后通過切土豆、正方體容器注水、信息技術(shù)模擬這三個方案分組來實施，最后通過觀察實驗現(xiàn)象，初步探究正方體截面的性質(zhì).
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做題之課堂探究
【發(fā)現(xiàn)截面】
研究正方體截面的相關(guān)問題，首先要解決問題是如何理解截面。在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會用合適的截面來研究幾何體.下面請同學(xué)們展示你們小組收集的截面實例及在課本中尋找到的截面的蹤跡.
學(xué)生活動1：播放視頻醫(yī)學(xué)中的CT技術(shù)，把X射線掃描到的人體結(jié)構(gòu)信息，經(jīng)過一層層的電子計算，最終生成醫(yī)生們一下子就看得懂的橫斷層面影像.
三維打印的設(shè)計過程是：先通過計算機建模軟件建模，再將建成的三維模型“分區(qū)”成逐層的截面，即切片，打印機通過讀取文件中的橫截面信息，用液體狀、粉狀或片狀的材料將這些截面逐層地打印出來，再將各層截面以各種方式粘合起來從而制造出一個實體.
建筑物的框架都是鋼結(jié)構(gòu)，鋼結(jié)構(gòu)的設(shè)計直接影響工程的質(zhì)量.鋼結(jié)構(gòu)的設(shè)計要考慮四類截面，根據(jù)不同截面的特性，應(yīng)用到鋼結(jié)構(gòu)工程中.
斷面是反映汽車關(guān)鍵部位結(jié)構(gòu)狀態(tài)的截面，它是用來約束造型與工程化設(shè)計的重要工程語言。斷面設(shè)計是轎車設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)，是工程化設(shè)計前對車身只要結(jié)構(gòu)零件的可行性進行布置和分析的重要手段.
農(nóng)學(xué)中的土壤學(xué)通過研究土壤剖面，是指從地面向下挖掘所裸露的一段垂直切面，深度一般在兩米以內(nèi).土壤垂直斷面中土層(可包括母巖)序列的總和.通常由人工挖掘而成，供觀察和研究土壤形態(tài)特征用.
師： 感謝同學(xué)們的分享.截面研究是現(xiàn)實生活中空間問題平面化的一個重要方法.將現(xiàn)實生活中的物體抽象，得到了空間幾何體.在立體幾何的學(xué)習(xí)中，也需要對一些空間幾何體進行截面研究，下面請同學(xué)展示，本小組在教材中尋覓到的截面的蹤跡.
學(xué)生活動2：展示小組的研究成果.
1.必修四在多面體與棱柱中，給出了截面的定義；
2.必修四第十一章棱錐與棱臺中，利用截面定義棱臺；
3.必修四旋轉(zhuǎn)體中，用截面研究圓錐和圓柱；
4.必修四祖暅原理與幾何體的體積中，利用截面面積研究體積；
5.必修四的一節(jié)課的結(jié)尾和課后題，多處建議用Geogebra軟件觀察幾何體的截面。
設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，截面是很多現(xiàn)實問題的載體. 在日常的生產(chǎn)和生活中尋找截面，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.讓學(xué)生在教材中尋找截面，既能回顧相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，又能認識到截面問題不是陌生的，加強學(xué)生的直觀感知能力.從現(xiàn)實生活和高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，認識到研究截面問題的必要性，同時讓學(xué)生體會用一個平面去截空間幾何體，形成截面問題，是空間問題平面化的一個比較常用的方法.
【理解截面】
師： 感謝田鴻雅同學(xué)的分享。原來截面并不陌生，你能回憶起截面的準確定義了嗎？
生：截面的定義是一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形（包含它的內(nèi)部）.
師：我們一起來看下面三張圖，這些圖中的陰影部分能作為相應(yīng)幾何體的截面嗎？
生：圖1-圖3均不能作為空間幾何體的截面，圖1中的陰影部分是三棱錐的表面，不是截面；圖2中的陰影部分的線段
AC不在正方體的表面上，不是截面；圖3中陰影部分的線段
AB，
AC都不在圓柱的表面上，不是截面.
師：結(jié)合上面的例子，你能總結(jié)一下什么樣的圖形才能作為幾何體的截面呢？
生：找出截面與幾何體表面的交線，交線圍成的圖形就是截面.
師：你能在圖2中找出正確的截面嗎？
設(shè)計意圖：通過三個圖形和老師的不斷追問，讓學(xué)生準確理解截面的定義，強化概念，研究截面問題轉(zhuǎn)化為研究交線問題，用線研究面，為后面的探究活動打下堅實的基礎(chǔ).
【研究截面】
師：秦岐同學(xué)給我們一個啟發(fā)，研究截面問題，可以轉(zhuǎn)化為研究交線問題.
帶著對截面新的認識和理解，我們來重新審視上一節(jié)課的實驗探究，思考交線在探究正方體這個特殊的幾何體的截面時，起到了哪些作用.
上一節(jié)課大家做了正方體截面實驗探究，現(xiàn)在請不同小組來展示探究成果.
學(xué)生活動3：課前同學(xué)們以小組為單位，將有顏色的液體注入透明正方體容器，觀察不同擺放位置，不同液體量時，平靜的液體表面的形狀；從不同角度切割土豆正方體塊，觀察截面形狀；利用信息技術(shù)，模擬不同角度、不同位置的截面，觀察截面形狀。課堂上學(xué)生分組展示探究成果.
師：在切土豆的過程中，哪些截面圖形比較難切.
生：三角形和四邊形較為容易，五邊形和六邊形比較難切.
師：你是如何解決的?
生：通過多次橫切，豎切，斜切，很容易得到三角形截面和四邊形截面，多次嘗試也沒有得到五邊形和六邊形.我們小組成員通過討論，證明了可以有五邊形和六邊形的.我們就先在草稿紙上畫出正方體的五邊形和六邊形截面，然后按照圖紙切出來的.
師：你們小組完整的經(jīng)歷了一個觀察——猜想——操作——論證——檢驗的過程.感謝你的分享.
剛才前兩位同學(xué)的展示中，都提到了具體操作中一些困難，說明教具實驗確實有客觀局限性.為了更清晰地模擬出正方體截面的形狀,下面請利用信息技術(shù)展示.
設(shè)計意圖：通過多種探究形式，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、創(chuàng)新能力；通過觀察和匯總探究結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力.
師：大家分別用小組設(shè)計的實驗方案成功的完成了正方體截面形狀的類型探究，即從邊的數(shù)量上進行了簡單的分類.但是觀察不能代替證明，依然有很多性質(zhì)需要通過理性的推證，嚴格的證明.下面請不同小組展示已經(jīng)證明了的有關(guān)正方體截面的性質(zhì)，及證明中用到的數(shù)學(xué)原理.
學(xué)生活動4：
結(jié)論1：在正方體的截面中，不存在邊數(shù)超過6的多邊形截面.
在立體幾何中，截面是指用一個平面去接幾何體的得到的平面圖形.其中，截面的邊界線是幾何體與平面的交線，即截面的邊界線一定在幾何體的表面上.而正方體只有6個表面，所以截面與正方體最多6條交線，不可能出現(xiàn)超過6的多邊形截面.
結(jié)論2：我們小組發(fā)現(xiàn)截面是三角形時，都是銳角三角形.
證明過程如下：
設(shè)
，則
所以
為銳角，同理可證
也是銳角。所以
是銳角三角形.
師：還有別的證明方法嗎？（給其他同學(xué)更充分的展示機會）
師：當(dāng)截面圖形是三角形時，其他小組還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？
生：我們小組得到了等邊三角形和一般的等腰三角形.
師：怎樣截取能夠使得截面多邊形是等腰三角形和等邊三角形？只能截取一個等邊三角形嗎？
生：用信息技術(shù)展示等腰三角形和等邊三角形的確定方法.
結(jié)論3：我們小組發(fā)現(xiàn)四邊形截面可以是正方形、矩形、菱形、一般平行四邊形、等腰梯形、一般梯形。
證明過程如下：
由于截面為四邊形，截面與正方體的四個表面相交.由于正方體的六個平面有三組相互平行的平面，截面至少與一組平行平面相交.根據(jù)平行平面的性質(zhì)，兩平行平面被第三個平面相交，兩交線互相平行.所以截面為四邊形的平面至少有一組對邊互相平行.截面可以是梯形，平行四邊形，根據(jù)角與邊的關(guān)系，梯形只能是等腰梯形和一般梯形，平行四邊形可以是菱形、矩形和正方形.
師：當(dāng)截面圖形是四邊形時，其他小組還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？
生：截面不可能是直角梯形.證明如下：
截面不可能是直角梯形.不妨假設(shè)
CB⊥
AB，AB不垂直于
AD.
因為
EF⊥面
BCF,
,所以
EF⊥
BC.
又因為
AB∩
EF=
A,
AB,EF⊂面
ABF,所以
BC⊥面
ABF.
又因為
FG⊥面
ABF，所以
BC∥
FG;
因為
BC
面
ADGF,
FG⊂面
ADGF,所以
BC∥面
ADGF;
又因為
BC⊂面ABCD，面
ABCD∩面
ADGF=
AD,所以
AD∥BC .
這與截面是梯形相矛盾.所以截面不可能是直角梯形.
師：還有其他的證明方法，讓同學(xué)們充分展示.
結(jié)論3：截面五邊形不可能是正五邊形。
證明如下：
由于正方體的表面是三組相互平行的面，如果所截得的截面如果是五邊形，那么截面至少與兩組平形平面相交.根據(jù)平行平面的性質(zhì)，兩平行平面被第三個平面相交，兩交線互相平行。所以截面為五邊形的平面有兩組對邊互相平行.正五邊形中沒有相互平行的一對邊，與正五邊形的圖形特征不相符，所以可以截取一般的五邊形，但是不可能截取正五邊形.
結(jié)論4：截面六邊形三組對邊兩兩平行.
師：同學(xué)們的探究非常精彩!
【設(shè)計意圖】啟發(fā)學(xué)生從截面多邊形的邊數(shù)、邊界線的長度、邊界線的位置關(guān)系來研究截面的性質(zhì).讓學(xué)生經(jīng)歷“確定對象——探究性質(zhì)——論證判斷”的研究過程，學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和常規(guī)思路，加深對截面實質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證的能力，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗.
【小結(jié)收獲 繼續(xù)探究】
1.說一說本節(jié)課探究的收獲
知識：截面的準確含義，正方體截面的形狀特征與性質(zhì)；
文化：截面在生活中的廣泛應(yīng)用；
思想與方法：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論，特殊與一般；
探究思路：
2.作業(yè)：（1）把今天的實驗探究形成學(xué)習(xí)報告；
（2）下一步準備探究正方體截面的哪些問題.
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