視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《弧度制》新疆—張
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新疆—張世武—設(shè)計(jì)—弧度制
《弧度制》教學(xué)設(shè)計(jì)
克州二中 張世武
一、教學(xué)內(nèi)容解析.
1、內(nèi)容解析.
本節(jié)課是人教 A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修一第五章“三角函數(shù)”第一節(jié)“任意角與弧度制”第2課時(shí)的內(nèi)容.弧度制的本質(zhì)是用線段（實(shí)數(shù)）度量角的大小，而角度制下三角函數(shù)的研究會(huì)因單位制不統(tǒng)一引發(fā)研究困難，同時(shí)函數(shù)概念中要求，函數(shù)必須是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只有實(shí)數(shù)表達(dá)的三角函數(shù)才能在同一坐標(biāo)系下進(jìn)行函數(shù)間的相關(guān)運(yùn)算.另外，生活中的很多周期現(xiàn)象的變量并非都是角度，比如歷法、潮汐現(xiàn)象等的自變量是時(shí)間，角度制在研究這類問題中出現(xiàn)了比較大的局限性，將角度與實(shí)數(shù)建立關(guān)系是解決這一問題的重要途徑.
本節(jié)課的核心學(xué)習(xí)任務(wù)是體會(huì)弧度制引入的必要性以及經(jīng)歷弧度概念的生成過程.
2、蘊(yùn)含的思想方法.
在思考角度與實(shí)數(shù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí),通過具體的實(shí)踐操作，讓學(xué)生感受用長度度量角度的整個(gè)過程，感受特殊到一般的推理思想方法，通過1rad角的定義探究以及通過實(shí)物模型直觀感受1rad角的大小，體會(huì)以直代曲的思想方法.
3、知識(shí)上下位的關(guān)系.
義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的角度制，是生活中比較廣泛的角度的度量制，弧度制作為角的另外一種度量制度，在任意角的基礎(chǔ)上將角和實(shí)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)前學(xué)習(xí)的主要目的是為解決三角函數(shù)中單位進(jìn)制不同產(chǎn)生的困難，學(xué)習(xí)弧度制將為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)打好基礎(chǔ).
4、育人價(jià)值.
從已有認(rèn)知出發(fā)，從研究問題的便利與合理性出發(fā)創(chuàng)造新知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)新的單位制的研究路徑及其價(jià)值，落實(shí)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的素養(yǎng)理念.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1、理解1rad角的定義，建立弧度制的概念，知道弧度制的本質(zhì)是線段度量角度大小.掌握弧度與角度的互化，知道一些特殊角的弧度數(shù)，能通過弧度定義推導(dǎo)扇形弧長及面積公式.
2、經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題--現(xiàn)實(shí)情境--動(dòng)手實(shí)踐--產(chǎn)生不便--創(chuàng)造新知--感受創(chuàng)造發(fā)明的美好”的過程啟發(fā)思考，提高數(shù)學(xué)思維.
3、經(jīng)歷“度量需要--尋找關(guān)系--制定單位--定量表示--單位換算”豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).
重點(diǎn)：1rad角的定義，角度與弧度的互化.
難點(diǎn)：弧度制的產(chǎn)生過程和蘊(yùn)含的思想方法.
-
學(xué)習(xí)條件.
有了任意角的基礎(chǔ)，利于弧度制概念生成過程中與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)。
學(xué)習(xí)了函數(shù)定義以及角度制下扇形的面積公式、弧長公式等。
觀察、抽象、歸納、概括等學(xué)習(xí)策略和學(xué)習(xí)能力方面有了一定的基礎(chǔ)。
2、認(rèn)知疑惑.
義務(wù)教育階段，角度制的度量方式深入人心，加上生活中廣泛的應(yīng)用背景，引入弧度制的必要性如果不清楚，將很難引發(fā)學(xué)生共鳴，難以產(chǎn)生研究弧度制的興趣.
目前為止弧度制的介入仍然是純數(shù)學(xué)的角度，而且弧度制的應(yīng)用前景主要將在后續(xù)學(xué)習(xí)中逐步滲透，特別是函數(shù)定義角度的變量統(tǒng)一，微積分創(chuàng)立之后公式的簡化，目前學(xué)生都是感受不到的.
從學(xué)生角度看，弧度制與現(xiàn)實(shí)生活匹配度較弱，因此弧度制的引入環(huán)境必須結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，從最簡單的實(shí)例入手來引發(fā)共鳴.本節(jié)課采用首尾呼應(yīng)的方式，在學(xué)生的自我探索中逐步感受弧度制引入的合理與方便之處，從而產(chǎn)生學(xué)而有用的直觀感受.
高一年級(jí)的學(xué)生對(duì)于“定義”一詞的理解還比較淺，對(duì)數(shù)學(xué)作為認(rèn)清世界的工具，對(duì)于新定義的創(chuàng)造和探索的目的，對(duì)于創(chuàng)造單位制的便捷性認(rèn)識(shí)不足，因此感受弧度制引入的必要性，新定義創(chuàng)造發(fā)明的目的至關(guān)重要.
四、教學(xué)策略分析.
結(jié)合以上分析以及概念課的特點(diǎn)，本節(jié)課采用啟發(fā)式、探索發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)策略.
學(xué)法上主要是合作式、參與式、觀察分析、類比總結(jié)等.
課堂設(shè)計(jì)經(jīng)歷四個(gè)場域“生活場--生命場--思維場--情感場”，以數(shù)學(xué)是認(rèn)清世界的工具開頭，映射創(chuàng)造發(fā)明的根本意義，打開探索角的新度量方式的突破口.
以最貼近生活的現(xiàn)實(shí)情境引入，幫助學(xué)生感受弧度制產(chǎn)生的合理性、必要性.
通過親自動(dòng)手測量，操作更加真實(shí)，過程更加豐富，印象更加深刻，注重學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)歷，注重教學(xué)的有效性和數(shù)學(xué)的本質(zhì).
發(fā)揮“先行組織者”的作用從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)滲透學(xué)科核心素養(yǎng),在動(dòng)手實(shí)踐、直觀感知的前提下，從正比例函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的角度體會(huì)實(shí)數(shù)度量角的合理性；通過實(shí)物，切實(shí)感受1rad角的概念生成過程，加深概念理解突破難點(diǎn)。
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì).
引導(dǎo)語：學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容之前先問大家一個(gè)問題：“我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？人類為什么要?jiǎng)?chuàng)造數(shù)學(xué)？”.
問題預(yù)設(shè)：解決問題、計(jì)算、考試、生活需要、經(jīng)商、買菜……
師：有這樣一句話“人類發(fā)展的歷史，就是人類認(rèn)識(shí)世界的歷史.為了認(rèn)清世界的本質(zhì)，人類創(chuàng)造了很多工具，數(shù)學(xué)就是其中之一，為解決問題的方便，便創(chuàng)造了各種各樣的單位制.”例如：長度單位有哪些？（千米、米……）
師：生活中還有其它的度量單位嗎？
師生交流：（質(zhì)量、面積、時(shí)間、溫度……）
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)的是角，角的單位有哪些？并簡單介紹角度制的創(chuàng)造.
角度制在生活當(dāng)中應(yīng)用非常廣泛，也非常好用，但科學(xué)家們?cè)谘芯恳恍┤穷悊栴}的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了一些困難，比如：“公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在創(chuàng)新制作正弦表時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不好解釋的問題.如：
左右單位不統(tǒng)一，進(jìn)制不統(tǒng)一.再如：
不能進(jìn)行運(yùn)算，怎么解決這個(gè)問題呢？角除了角度制的度量方式還能有其它的度量方式嗎？歷史上的科學(xué)家們開始研究這個(gè)問題，大家的想法是最好角度能和實(shí)數(shù)統(tǒng)一就好了.引入課題弧度制--
板書課題.
環(huán)節(jié)1：情境引入.
某地區(qū)為宣揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，需要生產(chǎn)一個(gè)和圖中一樣的扇形廣告宣傳牌，技術(shù)人員需要計(jì)算一下扇形的面積，用來測算需要原材料的量，若他手中只有一把鋼卷尺，能用現(xiàn)有的工具測算出扇形的大致面積嗎？
預(yù)設(shè)：初中學(xué)過的扇形面積公式是
,我們需要知道半徑和圓心角.
追問1:鋼卷尺可以量半徑,能測量圓心角嗎？ (不能)
追問2:鋼卷尺除了可以測量半徑還能測量什么? (弧長、半徑)
追問3：扇形弧長、半徑有了可以得出圓心角嗎？能想到什么關(guān)系？（弧長公式
）
設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考在只有鋼卷尺的條件下，如何測量圓心角，這當(dāng)中蘊(yùn)含著弧度制的本質(zhì)，也就是用長度來測量角度的方式，為下一步的實(shí)驗(yàn)探究打好基礎(chǔ)，同時(shí)作為扇形的面積公式，因?yàn)檗D(zhuǎn)換因子的存在，角度制下是相對(duì)復(fù)雜的，在這個(gè)具體的情景問題中，計(jì)算扇形面積需要的過程相對(duì)復(fù)雜，為后續(xù)建立弧度制后，扇形面積簡單的計(jì)算方式做好對(duì)照基礎(chǔ).
環(huán)節(jié)2：合作探究、動(dòng)手實(shí)踐.
器材：扇形教具、繩子、直尺.
要求：請(qǐng)各組同學(xué)相互協(xié)作，用手中現(xiàn)有的工具測量扇形的圓心角.
要求1：請(qǐng)各組同學(xué)測量手中扇形的弧長和半徑，并將測得的數(shù)據(jù)填入下表：
(圖1)
預(yù)設(shè)：每個(gè)小組測得的扇形弧長和半徑相等，或者幾乎相等.如有差距較大的情況，一定是測量有問題.在將扇形弧長和半徑的測量長度代入弧長公式后會(huì)發(fā)現(xiàn)圓心角的表示會(huì)因?yàn)檗D(zhuǎn)換因子的存在顯得比較復(fù)雜.
設(shè)計(jì)意圖：合作探究的目的有三：1是增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)，雖然活動(dòng)內(nèi)容簡單，但不互相幫助，結(jié)果可能誤差較大.2是課前制作的扇形雖大小不一，但圓心角都是1弧度，通過親自測量發(fā)現(xiàn)弧長與半徑幾乎相等的特點(diǎn)，為后續(xù)1rad角的大小認(rèn)識(shí)做好鋪墊.3是感受測量后如果代入計(jì)算，圓心角的結(jié)果會(huì)因?yàn)?img height="41" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif" width="29" />這個(gè)轉(zhuǎn)換因子的存在而比較麻煩.
環(huán)節(jié)3：概念形成.
引導(dǎo)學(xué)生觀察弧長公式的變形，提出以下問題：
問題1：公式中的
是什么？
問題2：公式中的
又是什么？
預(yù)設(shè)：問題1（圓心角的角度值，單位是度）；問題2（弧長與半徑的比值，是個(gè)實(shí)數(shù)）
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角度值
和
之間是一種正比例的關(guān)系，從而將實(shí)數(shù)和角度建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生用實(shí)數(shù)來表示角度.
問題3：在弧長公式的對(duì)應(yīng)法則之下，角度值
構(gòu)成的集合與
比值構(gòu)成的集合之間有了一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們可以用這個(gè)實(shí)數(shù)來表示這個(gè)角度嗎？
預(yù)設(shè)：能，這樣我們就找到了另外一種可以表示角的量.
在找到量以后順其自然，我們需要一個(gè)單位.
問題4：在長度單位等其它單位制中的一個(gè)單位是什么？比如米的1個(gè)單位？
問題5：在這個(gè)
的比值中1個(gè)單位如何定義？什么時(shí)候它會(huì)等于1？
預(yù)設(shè)：當(dāng)弧長和半徑相等的時(shí)候?yàn)?.
板書1rad角的定義，并簡單說明單位的來歷，同時(shí)引出1rad角大小的直觀認(rèn)識(shí).
問題6:1rad的角到底有多大呢？
將各小組的扇形教具合到一起，觀察發(fā)現(xiàn)所有扇形的圓心角都是一樣大的，而且從數(shù)據(jù)上來看，各組剛剛測得的弧長和半徑都相等或者幾乎相等.按照1rad角的定義，這個(gè)扇形的圓心角應(yīng)該就是1rad.
問題7：觀察圖形，是不是半徑越大，圓心角就越大？是不是弧長越長圓心角就越大？
回歸探究過程，實(shí)物展示，加深對(duì)1rad角定義的直觀認(rèn)識(shí)，按照1rad角的定義，各小組剛剛所測的角就是1rad的角，并對(duì)學(xué)生所測數(shù)據(jù)進(jìn)行點(diǎn)評(píng).
問題8:直觀感受一下，1rad的角大概是多少度呢？
預(yù)設(shè)：比60度小一點(diǎn).同時(shí)如果將弧長近似的看作一條直線，扇形就可以類比為一個(gè)等邊三角形，當(dāng)中體現(xiàn)以直代曲的思想，幫助學(xué)生直觀上預(yù)測1rad角在角度制中的大小.
以上述1rad角的定義為基礎(chǔ)，進(jìn)行快速練習(xí)，通過歸納總結(jié)得出弧度制的定量表示：
，體現(xiàn)從特殊到一般的思想.同時(shí)以弧長為
倍半徑的圓心角對(duì)應(yīng)弧度數(shù)為
得到
rad這個(gè)轉(zhuǎn)換橋梁，為下一步單位換算做好鋪墊.
問題9：弧度制是否可以度量任意角？
引導(dǎo)學(xué)生從任意角的定義出發(fā)，在師生交流中得出正角、零角、負(fù)角與正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的一一對(duì)應(yīng).
環(huán)節(jié)4：弧度制的發(fā)展.
在弧度制的定義探討結(jié)束后，對(duì)弧度制的發(fā)展史進(jìn)行簡單交流，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)弧度制發(fā)展史的了解，感受弧度制的發(fā)展歷程，體會(huì)弧度制建立的必要性，滲透數(shù)學(xué)文化.
環(huán)節(jié)5：概念深化.
我們常常需要在兩種單位制之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，像1m=10dm就是長度單位轉(zhuǎn)換中的其中一個(gè)橋梁，那弧度和角度的轉(zhuǎn)化能找到橋梁嗎？
師生活動(dòng)：在定量表示時(shí)為單位換算埋下伏筆，
rad化簡后的結(jié)果
rad即為角度與弧度的轉(zhuǎn)換橋梁，進(jìn)一步單位化可以得到轉(zhuǎn)換公式：
設(shè)計(jì)意圖：同一研究對(duì)象關(guān)于換算公式的探究，關(guān)鍵是要找到轉(zhuǎn)換的橋梁，在前面弧度的定量表示中，已經(jīng)從圓的周長和半徑的比值得到圓心角角度與其弧度數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象研究的思考.
環(huán)節(jié)6：學(xué)以致用.
例4：（1）按照下列要求，把
化成弧度：
①精確值; ②精確到0.001的近似值.
（2）將3.14rad換算成角度（用度數(shù)表示，精確到0.001）
師生活動(dòng)：提醒學(xué)生單位換算的關(guān)鍵是利用
，轉(zhuǎn)換中教師板書提供示范，第二問教師用計(jì)算器演示求近似值，如下圖所示：
設(shè)計(jì)意圖：熟悉角度與弧度的互化，熟悉互化轉(zhuǎn)換因子，學(xué)習(xí)正確的書寫方法.
小試牛刀：特殊角角度與弧度的互化.
（圖2）
師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察特殊角，找到特殊角之間的倍數(shù)關(guān)系，從而可以以較快的速度填好如上表格，同時(shí)強(qiáng)調(diào)在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，特殊角的轉(zhuǎn)化是需要記住的.
例題6：利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式.
(1)
; (2)
; (3)
.
其中
是圓的半徑，
為圓心角，
是扇形的弧長，
是扇形的面積.
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考并進(jìn)行板演.
情景再現(xiàn)：在前述情景問題中，角度制下的面積表達(dá)因?yàn)檗D(zhuǎn)換因子的存在顯得比較復(fù)雜，在應(yīng)用弧度制進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，面積的表達(dá)公式從形式上和內(nèi)容上都比較簡單，引導(dǎo)學(xué)生感受弧度制發(fā)明的其中一個(gè)意義—簡化公式.
環(huán)節(jié)7：目標(biāo)檢測評(píng)價(jià).
檢測：把下列角度化成弧度.
-
；
；
.
-
；
；
.
-
用弧度制表示終邊在x軸上的角的集合.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固角度與弧度的互化，對(duì)學(xué)習(xí)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行當(dāng)堂檢測，并以（3）
為例引導(dǎo)學(xué)生注意角度制與弧度制不能混合使用.
環(huán)節(jié)8：課堂小結(jié).
教師引導(dǎo)進(jìn)行學(xué)習(xí)過程回顧，問題導(dǎo)向進(jìn)行小結(jié)：
-
回顧本節(jié)課我們?cè)趺聪氲叫枰堑牧硪环N度量方式的？
-
怎么找到實(shí)數(shù)和角度對(duì)應(yīng)關(guān)系的？
-
你覺得弧度制度量角的本質(zhì)是什么？
-
你覺得學(xué)習(xí)弧度制的好處在哪里？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生自主回顧，點(diǎn)撥提煉觀點(diǎn). （圖3）
設(shè)計(jì)意圖：通過上述4個(gè)問題，以問題為導(dǎo)向促進(jìn)學(xué)生思考本節(jié)課學(xué)習(xí)弧度制的過程，從發(fā)現(xiàn)問題-現(xiàn)實(shí)情境-實(shí)驗(yàn)探究-產(chǎn)生不便-創(chuàng)造新知-感受創(chuàng)造發(fā)明的美好等角度展開總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生感受新的單位制的研究路徑：度量需要-尋找關(guān)系-制定單位-定量表示-單位換算，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).
課后作業(yè)設(shè)計(jì)：體現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，題目中涉及弧度角度互化以及扇形弧長面積公式的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的鞏固理解.
板書設(shè)計(jì)：
（圖4)
課后反思：
在準(zhǔn)備這節(jié)課的過程中，通過學(xué)習(xí)課標(biāo)和教材后，知道體會(huì)弧度制引入的必要性是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，新度量制的創(chuàng)造背景、路徑、價(jià)值是重中之中。
我認(rèn)為的教學(xué)亮點(diǎn)是通過1rad實(shí)物模型展示、親自動(dòng)手測量、操作真實(shí)、過程豐富、印象深刻、貫穿始終。情景問題貼合現(xiàn)實(shí)，內(nèi)涵本質(zhì)，首尾呼應(yīng)，體現(xiàn)弧度制意義。在查閱了相關(guān)文獻(xiàn)課例等內(nèi)容后，最終選擇了這樣的一種設(shè)計(jì)方式。從學(xué)生的課堂反映和作業(yè)反饋上來看，基本上完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)任務(wù)。
但在課堂實(shí)施過程中，確實(shí)留有諸多遺憾，特別是對(duì)于合作探究環(huán)節(jié)中的測量結(jié)果展示和分析不夠充分；整堂課還是存在學(xué)生展示不足，沒能很好的將群體互動(dòng)和個(gè)人展示相結(jié)合，對(duì)以學(xué)生為主體的課堂表達(dá)還不夠充分。
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