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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質課大賽《冪函數(shù)》云南—莫
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云南—莫弘—設計—冪函數(shù)
3.3 冪函數(shù)
(人教A版 數(shù)學 必修第一冊 第三章)
昆明市第一中學西山學校 莫弘
一、教學內容及解析
（一）本節(jié)知識結構
本節(jié)主要內容為冪函數(shù)的概念、圖象及性質，知識結構圖如下：
（二）教學內容解析
在學習冪函數(shù)之前，學生在初中已經學習過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)四種初等函數(shù)，現(xiàn)在要從具體的實例中，結合 這三個學生熟悉的函數(shù)，對五個具體冪函數(shù)（ ）的共性進行歸納，得出冪函數(shù)的概念．本節(jié)課還需要通過這五個冪函數(shù)的圖象歸納出它們的一些性質．
本課內容是人教A版高中數(shù)學教科書必修一第三章第三節(jié)的內容，是在學生學習了函數(shù)的一般概念和性質之后，在高中階段研究的第一類具體函數(shù)．
通過學習冪函數(shù)，學生要能夠明確研究一類具體函數(shù)的基本思路：實際背景→數(shù)學問題→基本概念→函數(shù)圖象→基本性質，并且能體會到如何在一般概念及性質的指導下對一類函數(shù)展開深入研究．這不僅僅是對前面所學函數(shù)知識的鞏固與延伸，也是為后續(xù)學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)打下基礎．
因此，本節(jié)課的教學重點確定為：
（1）冪函數(shù)的概念；
（2） 這五個冪函數(shù)的圖象及性質．
二、教學目標
（1）結合具體的生活實例，讓學生從自變量、函數(shù)值、解析式等方面概括抽象出冪函數(shù)的共同特征，認識冪函數(shù)的定義，并能夠判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)；
（2）會畫出 這五個冪函數(shù)的圖象，并能通過圖象得到它們的單調性、奇偶性、值域及圖象過點 等性質；
（3）在探究冪函數(shù)性質的過程中，學會用函數(shù)的基本性質研究和解決新函數(shù)問題，體會由特殊到一般及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．
三、學情分析
在學習本課內容之前，學生已經學習過 這三個冪函數(shù)，但是沒有經歷過用一般函數(shù)的概念和性質來分析、研究冪函數(shù)．冪函數(shù)與其他學習過的函數(shù)相比，它的圖象的位置和形狀變化復雜，因為指數(shù)稍有變化，圖象的位置與形狀就有可能發(fā)生很大的變化，畫冪函數(shù)圖象時，重點考慮定義域、奇偶性、單調性及曲線的類型，搞清楚這些，對作冪函數(shù)的圖象大有好處．這里，教師要引導學生思考，結合之前研究函數(shù)性質時涉及的內容，為這五個冪函數(shù)的性質研究作出鋪墊．
另一方面學生在用描點法畫 圖象時，學生完全不了解這兩個函數(shù)的特征，畫圖會遇到困難．
冪函數(shù)在第一象限內的圖象按如下分類：
當 時，以 為代表；
當 時，以 為代表；
當 時，以 為代表；
當 時，以 和 為代表．
所以研究冪函數(shù)時，要先準確把握冪函數(shù)在第一象限的特征（與冪指數(shù)有關），再通過研究冪函數(shù)的定義域，利用對稱性即可作出冪函數(shù)的圖象，進而研究性質，即落實函數(shù)定義域和奇偶性．
因此，本節(jié)課的教學難點確定為：
（1）觀察五個具體冪函數(shù)的解析式的共性，歸納抽象冪函數(shù)概念；
（2）畫出 的圖象；
（3）冪函數(shù)在第一象限的共同特征和共同性質．
四、教學策略
《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》強調落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教師在教學活動中應把握好數(shù)學的本質，通過創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題去引發(fā)學生思考與交流．作為教學內容的生長點，教學中的各個問題并不是獨立存在的，而應具有遞進性與聯(lián)系性，利于引導學生進行層次化、遞進化和高效化的數(shù)學學習，引發(fā)深度數(shù)學思考，更深刻、透徹和準確地把握新知．
本節(jié)課教學策略以探究式學習為主，以問題疊加和遞進為原則，精心設計“問題串”（10個問題）將整節(jié)課的教學環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，將問題解決與學生的學習相融合，激發(fā)學生在解決問題過程中主動探索的欲望和積極性，使學生在6個分組活動和2個探究活動問題解決中引發(fā)主動探索的欲望和積極性，使學生活動的過程中進行連貫、系統(tǒng)的思維活動，從而習得知識，獲得能力，發(fā)展思維，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升．
本節(jié)課有3個教學難點，都是通過學生小組合作、充分探究后得出結論，教師再進行總結的方式進行突破，學生能在合作探究的過程中，體驗冪函數(shù)的圖象、性質的歸納總結過程，加深對數(shù)學知識的理解，落實核心素養(yǎng)的養(yǎng)成．
五、教學過程設計
（一）創(chuàng)設問題情景 歸納抽象概念
全國每10朵鮮花，就有7朵來自斗南．昆明斗南國際花卉中心是全國唯一的國家級花卉交易中心，也是亞洲第一、世界第二的花卉拍賣中心，實現(xiàn)連續(xù)24年交易量、交易額現(xiàn)金量、交易人次和出口額居全國第一．某游客慕名而來，準備購買一些玫瑰花．
（1）斗南花市今天某種玫瑰花價格為1元/支，游客買了 支，需要支付金額（元） （元），這里 是 的函數(shù)；
（2）游客購買完玫瑰花，需要對玫瑰花進行包裝，包裝所用紙箱是一個邊長為 的正方體，則紙箱占地面積 ，紙箱體積 ，這里 和 都是 的函數(shù)；
（3）該游客購買玫瑰花的攤位剛好是一個面積為 的正方形，那么攤位的邊長 ，這里 是 的函數(shù)；
（4）購買好玫瑰花后，游客租用了一張三輪車把打包好的花運送到1 外的停車場，用時 ，那么運送的速度 ，這里 是 的函數(shù)；
問題1：在這幾個實際問題中，有哪些我們已經學過的函數(shù)，有哪些我們不熟悉的函數(shù)？
答案： 分別是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)， 是兩個不熟悉的函數(shù)．（教師直接給出 ）
【設計意圖】通過一段關于斗南花市的視頻，引出學生熟悉的生活情境，精心設置問題串，讓學生應用所學知識抽象出函數(shù)解析式，獲得冪函數(shù)的感性知識，體會數(shù)學與人們日常生活密切相關，為下一步抽象冪函數(shù)的定義作鋪墊．
問題2：從自變量、函數(shù)值及解析式的結構觀察 這5個函數(shù)，都有什么共同特征？
通過總結學生的回答，得出結論：它們分別是 這五個函數(shù)，這些函數(shù)的解析式都具有如下特征：
（1） 的系數(shù)為 ；
（2） 的底數(shù)是自變量；
（3） 的指數(shù)為常數(shù)，分別是 ；
它們都是形如 的函數(shù)．
教師給出定義：一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中 是自變量， 是常數(shù)．
追問：你能舉出一些冪函數(shù)的例子嗎？
學生活動1：學生通過小組活動，學生舉出冪函數(shù)的例子，相互判斷舉的例子是否為冪函數(shù)．由一個小組提出5個冪函數(shù)的例子，另外一個小組進行判斷是否為冪函數(shù)．
【設計意圖】通過舉例和相互判斷，可以評價學生是否正確理解冪函數(shù)的定義，促進學生正確理解冪函數(shù)的結構特征．
（二）探究圖象性質，體驗研究方法
問題3：現(xiàn)在我們已經學習了冪函數(shù)的定義，我們應該怎么研究冪函數(shù)的圖象和性質呢？
根據(jù)以往的經驗，我們是從具體函數(shù)的圖象和性質中，尋找共同點和不同點，從而歸納出一類函數(shù)的圖象特征和性質．（由特殊到一般）
問題4：在高中階段，我們只研究 這5個冪函數(shù)的圖象和性質，結合我們在第二章所學的知識，我們應該研究它們的圖象和哪些性質呢？
通過學生的回答，總結如下：我們應該討論函數(shù)的定義域、單調性、奇偶性、值域等性質．
【設計意圖】學生在初中學過的第一個函數(shù)為正比例函數(shù)，是通過觀察圖象，總結得到正比例函數(shù)性質，這里通過回顧研究函數(shù)的一般方法，明確研究冪函數(shù)的一般思路．
學生活動2：五個函數(shù)中， 是我們非常熟悉的函數(shù)，各位同學在同一個坐標系（圖1）中畫出它們的圖象．（邀請一名學生上黑板畫圖．）
圖1
問題5：你能結合圖象說說 的定義域、奇偶性、單調性、值域嗎？
| 定義域 | R | ||
| 值域 | R | ||
| 奇偶性 | 奇函數(shù) | 偶函數(shù) | 奇函數(shù) |
| 單調性 | 增函數(shù) |
上單調遞減 上單調遞增 |
上單調遞減 上單調遞減 |
| 定義域 | R | ||||
| 值域 | R | ||||
| 奇偶性 | 奇函數(shù) | 偶函數(shù) | 奇函數(shù) | 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) | 奇函數(shù) |
| 單調性 | 增函數(shù) |
上單調遞減 上單調遞增 |
上單調遞減 上單調遞減 |
增函數(shù) | 增函數(shù) |
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