視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《空間中點、直線和平面的向量表示》天津—路
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天津—路景明—設計—空間中點、直線和平面的向量表示
第一章 空間向量與立體幾何
第4單元 空間向量的應用
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
1.空間中點、直線和平面的向量表示
（人民教育出版社 普通高中教科書A版 選擇性必修第一冊）
教 學 設 計
授課教師：天津市小站第一中學 路景明
2022年10月
《空間中點、直線和平面的向量表示》教學設計
一、內容及內容解析
1.內容：用向量表示空間幾何中的點、直線和平面.
2.內容解析：本節課是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊第一章第四節第一課時的內容，主要研究空間向量的應用.從本章知識的內部結構看,空間向量是空間中既有大小又有方向的量，直線的方向與空間向量的方向具有一致性，平面的方向能由與之垂直的向量確定，點的位置可由觀察基點與此點所構成的空間向量表示，這樣空間向量可表示空間中點的位置，直線和平面的方向.根據其方向的特點，空間中的直線與平面，平面與平面的位置關系轉化為向量的相關問題.對于“平行”與“垂直”兩種特殊的位置關系，以向量的運算為工具，可證明空間中線面間的平行與垂直的關系，并能解決直線與平面、平面與平面和異面直線的夾角問題.本單元的核心內容是探求利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法：即先用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，從而將立體圖形“向量化”；然后進行空間向量的運算,求得相應結果；最后把空間向量的運算結果“翻譯”成幾何結論.顯然，本課時的教學內容用空間向量表示點、直線和平面等基本要素是問題解決的“基礎”，也是溝通向量方法與空間圖形的“橋梁”，空間向量的運算是問題解決的“核心”，用運算結果解釋幾何結論是問題解決的“歸宿”.
基于以上分析，確定本節課的教學重點：用向量表示空間幾何中的點、直線和平面；利用向量共線定理、平面向量基本定理推導直線和平面的向量表達式以及求平面法向量的方法.
二、目標及目標解析
1.目標
（1）能用向量語言描述點、直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.
（2）初步了解立體幾何中的向量方法，通過建立立體圖形與空間向量之間的聯系，從幾何圖形到空間向量的轉換中進一步體會轉化與化歸的思想.
2.目標解析
達成上述目標的標志是:
（1）能通過選取基點，確定點的位置向量；能通過向量知識和立體幾何初步知識推導出空間直線、平面的向量表示式；能根據給定的點及方向用向量表示直線；能根據給定的兩個不共線的方向向量，用向量表示平面；知道法向量能表示平面的原理，并能求一個平面的法向量.
（2）通過用空間向量表示點、直線和平面等基本要素的過程，讓學生體會用向量語言描述立體幾何問題是利用空間向量解決立體幾何問題的第一步，結合利用法向量表示平面的的推導過程，提升直觀想象、邏輯推理等素養.
三、教學問題診斷分析
1.已具備的認知基礎:學生在“立體幾何初步”的學習中，已經能夠解決立體幾何中的點線面的位置關系和度量問題,學生經歷過運用平面向量解決平面幾何的問題，自然能提出運用空間向量解決立體幾何的問題.
2.可能存在的認知困難：本課學生屬于區級普通中學的高二學生，學生整體的邏輯推理能力和直觀想象的素養還處于發展階段,學生主動應用向量法解決問題的意識還不強，沒有充分認識到向量運算的思想和方法蘊含著現代數學的許多特征，對于用空間向量解決立體幾何問題時，對“三部曲”的第一步“建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化成向量問題”缺少經驗和體會.
基于以上分析，確定本節課的教學難點：用向量表示平面的推導過程.
突破難點的關鍵：教學中，采用圖形語言——自然語言——向量語言過渡的表達形式，通過問題引導，逐步建立用向量表示圖形中的點線面的方法。在推導過程中遇到的問題，通過選擇教師搭建腳手架、小組合作探究解決.
四、教學策略分析
1.教法分析
結合本課時的內容特點和學情分析，本節課主要采用任務驅動、問題啟發、和“基于問題鏈”的教學模式.本課時以提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養為根本出發點，啟發學生從數學角度發現和提出問題.類比平面向量學生已有的經驗方法，探究空間中點、直線和平面的向量表示，獲得向量研究新的數學對象的一般路徑,落實“四基”發展“四能”.
2.學法分析
學生主要采取自主探究、合作交流的學習模式。在課堂教學中始終以學生為核心，鼓勵學生獨立思考、敢于質疑，通過小組合作、交流分享，突破難點.有效地提升學生的課堂參與度，提升學生的合作探究意識，提高分析問題、解決問題的能力.
五、教學過程設計
課前準備
引導語：
我們已經把向量從平面推廣到了空間，在平面向量中，我們已經掌握了用向量解決平面幾何問題的“三部曲”.通過空間向量運算解決立體幾何問題，首先就是要將空間中的位置和方向表示清楚，即用向量語言來描述立體幾何問題.即建立空間向量與幾何要素的對應關系是利用空間向量解決幾何問題的關鍵.
【設計意圖】向量從平面推廣到空間，既做了數學知識和工具上的準備，也做了學習方法上的準備.這里有一個提示作用：本節課就要是學會用向量語言來描述立體幾何問題，即如何用向量表示空間的基本圖形.
1.明確內容，聚焦問題
問題1：組成空間幾何圖形的基本元素是什么？
師生活動：（1）點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.
（2）教師總結：用空間向量解決立體幾何問題，首先就要學會用向量表示空間中的點、直線和平面，將幾何問題轉化為向量問題.這是向量法的第一步，也是本節課的研究任務.
【
設計意圖】明確本節課的教學內容.明確基本對象是點、直線和平面，研究的任務是對象的表示.
2.明晰任務，新知探究
問題2：如何用向量表示空間中的一個點
？
師生活動：（1）學生獨立思考，回答問題.點的表示，是相對位置，比如，教室中的一個物體，從教師視角，學生視角有不同的表示，然后抽象出數學問題。
（2）師生辨析學生結果，在幾何學中，通常用點來標記位置，所以點就是位置的抽象化，引導學生確定點
的位置是相對某一參照物來說.參照物不同，空間點的相對位置也不同，代數表達也不同.
（3）教師總結：首先，在空間中取一定點
為“基”點；其次，空間中任意一點
的位置由向量
來表示,即點
的位置確定.因此，我們把向量
稱為點
的位置向量，如圖（1）.
【
設計意圖】點是位置的抽象，給定起點
,那么空間一個向量的終點
就和空間的一個位置
對應，即確定了基點，向量與點就實現了一一對應.用向量表示點，是用向量表示直線和平面的基礎.另外，圖中的平面用于襯托立體感，這是用圖形語言表述數學對象的需要.
小結：空間中點的向量表示
問題3：如何用向量表示空間中的直線？也就是如何用向量表示出直線上的任意一點？
教師追問1：為了解決這個問題，我們先來回憶一下如何確定一條直線？
學生思考，得出結論：兩點確定一條直線，取定直線上兩點
，
可以確定直線的方向向量
.
教師追問2：如果只給定方向向量
，能不能確定唯一的直線？
【
設計意圖】引導學生達成共識，確定直線的要素：點與方向.即直線
可以由直線上一點
與方向向量唯一確定.
教師追問3：如何用向量表示經過點
且以
為方向向量的直線
?
（1）引導學生得出結論：用向量表示直線，就是表示直線上的任意一點.
（2）學生獨立思考，如有困難，鼓勵學生相互討論，教師巡視、點撥；明
確方法：利用直線
上一定點
和它的方向向量來表示直線上的任意一點
，如圖（2）.
教師總結：設點
為直線
上的一個定點，向量
是直線
的方向向量，如果直線
上取向量
等于向量
，此時對于直線
上的任意一點
，由向量共線的條件可知：
點
在直線
上的充要條件是存在實數
，使得
，即
.
教師追問4：類比點的向量表示，直線的向量表示與所選基點有關，其表達方式固然有變化，如果我們選取空間中的任意一點
為基點，應該如何表達這條直線？
師生活動：（1）通過點的位置向量表示方法，引導學生理解基點的重要性；
鼓勵學生先獨立思考，解決問題.
證明過程如下：進一步地，取定空間中的任意一點
,如圖（3），
利用點的位置向量
來刻畫直線，將
分解成以
為起點的向量，
,即
，
點
在直線
上的充要條件是存在實數
,使
①
注意到,可得
②，由①可得②.
教師總結，取定空間中的任意一點
,點
在直線
上的充要條件是：
存在實數
,使
①，
②；
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.
由此可知,空間任意直線，由直線上一點
及直線的方向向量
唯一確定.
教師追問5：當字母
發生變化時會有什么變化？
得出結論：
表示與
共線的所有向量，
表示以
為起點，直線
上任意一點為終點的向量.再次驗證，點
及直線的方向向量
不僅能確定直線的位置，還可以表示直線上的任意一點.同時說明直線的方向向量不唯一，直線上的任意兩點都可以確定直線的方向向量.
【
設計意圖】類比平面向量的研究方法研究空間向量，引導學生關注其中維數帶來的變化。引導學生利用共線定理尋找向量表示直線方法，讓學生體會利用空間向量解決立體幾何問題，是平面向量解決平面幾何問題的發展.學生在探究問題的過程中體悟數形結合數學思想，提升學生的直觀想象等核心素養.
小結：空間中直線的向量表示
3.類比探究，研究平面
問題4：如何用向量表示平面？
點和直線的向量表示我們并不陌生，在平面向量中已經研究過，我們只是通過基點
將結論推廣到空間.那么如何用向量表示平面呢？
教師追問：如何確定一個平面？
師生活動：學生各抒己見，教師歸納總結.類比空間中直線的向量表示的推導方法，請同學們自主探究平面的向量表示.
師生活動：學生獨立思考，然后分組開始討論交流；教師巡視、點撥；學生分享小組研究成果，多媒體展示，師生評價，梳理成果.
預設方案一：兩條相交直線確定一個平面.
教師追問1：我們把兩條相交直線向量化，那自然會得到兩個不共線的方向向量。我們能否利用平面上一點以及兩個不共線的向量來表示平面上的任意一點？
學生小組成果展示：兩條相交直線可以確定一個平面，因此設兩條相交直線的交點為
，它們的方向向量分別為向量
和向量
，如圖（4）.
那么，由平面向量基本定理可以得到這個平面的任意一點
，
存在唯一的有序實數對
使得向量
，
教師總結：兩條相交直線確定一個平面，其實就是平面向量基本定理的幾何表現.因此，點
與向量
和
，不僅可以表示平面
，還可以具體表示出
內的任意一點；即給定一個點和兩個定方向不僅可以定性的確定一個平面，而且可以定量地描述該平面.
【
設計意圖】類比直線的向量表示式的研究過程，鼓勵學生合作探究，通過平面向量基本定理，寫出平面內任意一點
的向量表達式；發展學生數學抽象等數學核心素養.
教師追問2：選擇
為基點，當點
在平面內時，平面內任意一點
的位置向量是
，
當
在平面外時，平面內任意一點
的位置向量如何表示？
教師歸納結論：平面內的任意一點
，存在實數
,使
，由平面向量運算法則得，任取空間任意一點
，如圖（5），
分解向量
,于是，空間一點
位于平面ABC內的充要條件是
存在實數
,使
③，
我們稱表達式③為空間平面ABC的向量表示式.
教師引導，從式子③可以發現，當實數
發生變化時，
表示平面ABC內任意向量,
表示以
為起點，平面ABC內任意一點
為終點的向量.所以，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
【
設計意圖】類比空間直線的向量表示方法確定研究思路，在學生最近知識發展區完成知識架構，整個過程都在圖形的輔助下進行的，使學生體悟數形結合、類比歸納、等價轉化等數學思想，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.
預設方案二：類比空間中點、直線的向量表示方法,提出猜想、驗證猜想.
觀察 |
點 |
位置向量 |
空間中一點 （1個條件） |
|
直線 |
|
直線上一定點加定方向（兩個條件） |
|
猜想 |
平面 |
 |
平面的向量表示是否需要三個條件？（平面上一個定點＋兩個不共線的方向來表示） |
驗證猜想：將直線的共線向量
利用平面向量基本定理拓展到平面上的任意一條直線的
從而明確確定平面的幾何要素為平面內一定點和兩個定方向，進一步反向驗證了思路一的解決方法.
預設方案三：能否用更少的條件，比如一個點和一個方向來確定一個平面？
師生活動：學生思考后，通過討論，得出結論：過定點且垂直于直線的平面是唯一確定的.即給定空間一點
和一條直線
，可以利用點
和直線
的方向向量來確定平面.
教師結論：法向量定義：直線
⊥
,取直線
的方向向量
,我們稱向量
為平面
的法向量.如圖（6）
教師追問1：如何用向量表示過點
且以
為法向量的平面？
師生活動：（1）教師引導，學生分析，表示平面就是表示平面上的任意一點
.由線面垂直的性質定理可知，直線
垂直平面上的所有直線，我們在向量中利用數量積為零來刻畫垂直.
（2）教師給出結論：給定一個點
和一個向量
,那么過點
，且以向量
為法向量的平面,可以表示為集合
.
【
設計意圖】前面表示平面時需要三個條件:一點和兩個方向；引入法向量只需兩個條件：一點和一個方向，體現了求簡求精的思想.
教師追問2：平面的法向量是唯一的嗎？
學生回答預設1：法向量就是平面垂線所在的方向向量。因此法向量與平面內的任一向量都垂直.我們知道直線的方向向量并不唯一，因此平面的法向量不唯一，他們都是互相平行的.
學生回答預設2：由直線和平面垂直的性質定理可知，垂直于同一平面的兩直線平行，“由
得
”，和直線
和直線
的方向向量
。
【
設計意圖】培養學生關注空間向量與立體幾何間的聯系.空間向量體系的建立需要立體幾何的基本知識，反過來，立體幾何中的問題可以用向量方法來解決.通過追問，學生能夠對一個平面的向量表示有更深刻的理解，當一個平面確定后，其法向量有無限多個，為后續向量法解決立體幾何問題奠定基礎.
小結：空間中平面的向量表示
教師追問3：請你來評價一下以上三種平面的向量表示方法.
師生活動：學生闡述觀點；教師引導學生體會利用法向量表示平面的方便之處.
【
設計意圖】這幾種表示平面的方法的目的都是建立平面與向量的聯系，用向量表示平面，為通過向量運算研究圖形的性質奠定基礎，表示方法各有特點：前兩個是充分運用平面向量基本定理，通過向量的線性運算表示平面；第三種是借助平面的法向量，通過向量的數量積運算表示平面，對于平面而言，法向量是反映垂直方向最為直觀的表達形式，他既體現了幾何圖形直觀，又提供了代數定量刻畫.
以上教學環節圍繞空間中點、直線和平面的向量表示，通過空間向量的運算，構建了一條問題鏈.體現了“問題引導學習”的理念，把學生的思維活動引向深處.
4.典例分析，實踐應用
例1：如圖（7），在長方體
中，
,
,
是
的中點
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求直線
的方向向量
(2)求平面
的法向量
(3)求平面
的法向量.
分析：本題實際上是求解兩類問題：一類是求直線的方向向量，另一類是求平面的法向量.求直線的方向向量，就是找到一個向量，滿足它所在的直線與已知直線平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一個向量，滿足它所在的直線與已知平面垂直.
師生活動：（1）教師根據學生需要及時引導，尋找求得直線方向向量和平面法向量的方法，學生給與解答，教師點評.
（2）教師進行總結，結合本題引導學生歸納求解平面法向量一般步驟.
【
設計意圖】通過問題驅動，學生能夠積極思考，向量法解決立體幾何問題的步驟，給了學生解決問題的一般套路，為后續向量的應用奠定了基礎；發展了直觀想象、數學運算等數學核心素養.
解析：（1）由題意可知
，
所以直線
的方向向量是
.
師生活動：教師追問1：直線
還有其他的方向向量嗎？
學生思考后，得出結論：與
共線的向量
、
都可以作為直線
的方向向量,并且它們都是共線向量.
（2）因為
軸垂直于平面
，所以
是平面
的一個法向量.
教師追問2：平面
還有其他的法向量嗎？
學生思考后，得出結論：因為長方體的特點，所以
，這樣，平面
的一個法向量是
、
、
、
都可以作為
的法向量，且這些法向量都是共線向量.
教師追問3：從直觀上我們不能找到平面
的垂線，那么就不能直接寫出平面的法向量.那么此時我們如何求平面的法向量？
學生思考，教師引導，利用線面垂直的判定定理以及向量的運算性質求法向量.
（3）因為
,
,
是
的中點，所以,
，
，
，所以
,
設
是
的法向量，則
所以，則
所以
取
,得
∴
于是
是平面
的一個法向量.
師生活動：總結求平面的法向量的步驟
①設平面的法向量
②找出（求出）平面內兩個不共線的向量的坐標
，
；
③根據法向量的定義建立關于
的方程組
④解方程組，取其中一組解，即得平面法向量.
【
設計意圖】通過對例題1的探究，總結求平面法向量的具體方法，加深學生對方向向量和法向量的理解，同時為后續研究直線、平面間的位置關系和度量等問題做準備，需要注意的是，平面的法向量并不唯一，與具體問題背景結合時，可以利用向量的“自由性”，根據問題的條件靈活確定表示法向量的有向線段；通過解方程組求法向量時，可以對參數適當取值，求出平面的一個法向量即可.
5.拓展練習、目標檢測
在例1的基礎上，求平面
的法向量.
師生活動 ：學生獨立完成，教師巡視，點撥。學生代表展示結果.
【
設計意圖】通過題目訓練，鞏固直線的方向向量及平面法向量的求解方法，加深對兩個概念的理解，培養學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養.
6.梳理歸納，感悟本質
問題1：本節課主要學習了哪些知識？
師生活動：學生思考后，對本節課的知識內容進行總結：
（1）用向量表示點：向量
叫做點
的位置向量
（2）直線的向量表示式：
或者
（3）用向量表示平面：
或者
,其中
是平面的法向量
（4）求直線的方向向量和平面法向量的方法；同一條直線的方向向量有無窮多個，他們互相平行；同一平面的法向量有無窮多個，他們互相平.
（5）求平面的法向量的步驟
①設平面的法向量
②找出（求出）平面內兩個不共線的向量的坐標
，
；
③根據法向量的定義建立關于
的方程組
④解方程組，取其中一組解，即得平面法向量
問題2：本節課主要學習了哪些解決問題的方法？
師生活動：學生思考后，對本節課的思想方法進行總結：
點、直線、平面的向量表示他們的研究方法是一樣的，例如平面的推導方法就是類比直線的推導過程，從幾何知識出發，需要借助空間中的一個基點來表示.通過選定基點
，更加方便我們從空間去表示點線面的位置和方向.
教師總結：本節課的地位和作用
通過本節課，我們學習了用向量表示空間中的點、直線和平面，并深入研究了直線的方向向量和平面的法向量的求法.理解參照系的作用，體會“位置”、“方向”作為三維歐幾里得空間基本概念的基礎地位.為我們利用空間向量的運算，研究空間直線、平面間的位置關系以及距離、夾角等度量問題提供了工具.
【
設計意圖】通過向量表示空間內點、直線、平面的研究方法，形成將確定空間直線、平面的條件“向量化”的一般觀念.通過此活動體驗，獲得向量研究新的數學對象的一般路徑,落實“四基”發展“四能”，提升學生數學抽象等數學核心素養.
7.布置作業，鞏固所學
教科書
，練習第1，2，3題
課堂目標檢測設計
A組（基礎達標）
1.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB( )
A.與坐標平面xOy平行 B.與坐標平面yOz平行
C.與坐標平面xOz平行 D.與坐標平面yOz相交
2.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是( )
A.
=(1,2,3),
=(-3,2,1) B.
=(1,2,2),
=(-2,2,1)
C.
=(1,1,1),
=(-2,2,1) D.
=(1,1,1),
=(-2,-2,-2)
【設計意圖】通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、數學建模的核心素養.
B組（能力提升）
1.如圖（8），在三棱錐A-BCD中，E是CD的中點，點F在AE上，且EF=2FA．
設
，
，
，求直線AE、BF的方向向量．
2如圖（9），在直三棱柱
中，
.以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系
①求平面
的法向量；②求平面
的法向量.
【設計意圖】考察求直線方向向量和平面法向量的能力.
C組（拓展探究）
思考題：空間向量由平面向量推廣而來，空間向量與平面向量有許多共同性質。如果我們把平面看成二維空間，把普通的空間看成三維空間，我們能不能把向量的概念推廣到四維“空間”呢？他們是否也與平面向量、空間向量有許多共同的性質？
【設計意圖】作業分層布置，力求讓不同基礎的學生都擁有成功學習的體驗.必做題主要考查學生對本節課重點知識的掌握情況，檢查學生運用所學知識解決問題的能力，實踐作業的設置是為了讓學生體驗如何檢索、搜集資料進行數學學習，這是本節課所學內容的提高與拓展，可以更好地培養學生分析問題和解決問題的能力.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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