數學探究：圓和橢圓性質的類比
【內容和內容解析】

1. 內容

圓和橢圓性質的類比，回顧圓的性質，推廣到橢圓中，發現和證明橢圓的其他性質．
這個活動包含的內容比較多，除了數學探究活動所需的必要流程外，還需要完成以下內容：
（1） 研究范例：圓與橢圓性質類比之“垂徑定理”的范例．
（2）對于學生所選的方向，如何在一般觀念，一般研究套路的指導下展開研究，需要給出一些建議．
（3）學習GGB軟件的使用,包括手機版，網頁版．
（4）由于疫情期間，學生居家學習，部分成果匯報是在網上完成的，學生還要自學視頻錄制的一些操作.
基于以上原因，本單元內容建議課內分為3課時以及課下活動：
課下活動：（1）學生先自主探索，梳理圓和橢圓的性質，通過類比，發現有關聯的性質，并說明理由，小組合作探索，以組為單位書寫報告. (2)課代表統籌安排各組研究內容.
第一課時：分析圓錐曲線“垂徑定理”范例，介紹幾何對象研究的一般套路，在一般觀念的指導下，指出研究思路，明確研究任務，完成上述(1)（2）內容．
課下活動：學生先自主探索，小組合作探索，教師給予指導．發現、提出有價值問題，探究解決．
第二課時：中期匯報．分小組展示發現、提出問題的脈絡，分享探究過程，交流經驗開拓思路，完善論證過程，也可提出研究過程中新的猜想以及探究的瓶頸．
課下活動：學生進一步探索，互幫互助，完善修正探究成果．
第三課時，結題交流．全面展示探究成果，完成研究報告，并撰寫論文．
上述內容（3）（4），學生上網查找操作方式，自己解決，沒有統一安排時間.
（由于疫情影響，學校兩次放假，第一，三課時在網上交流完成）

2. 內容解析

圓錐曲線的發現和研究起始于古希臘，人們非常喜歡這種簡樸而完美的曲線，像歐幾里得（Euclid，前325-前265）、阿基米德、阿波羅尼奧斯等幾何學大師都醉心于圓錐曲線的研究。當時人們是以純粹的幾何學觀點來研究這種與圓密切相關的曲線的。是一種純理念的探索，取得了非常輝煌的研究成果，其中以阿波羅尼奧斯的（圓錐曲線論）為代表。直到十六、十七世紀之交，開普勒（J．Kepler，1571-1630）發現行星運動三大定律，才知道行星是繞著以太陽為一個焦點的橢圓軌道運行的。開普勒三大定律是近代科學開天辟地的重大突破，它不僅開創了天文學的新紀元，而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。所以，圓錐曲線不僅是幾何學中的完美對象，而且“也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一”，讓我們感慨于數學與大自然居然有這樣的“心靈相通”，由衷地贊嘆數學與大自然的和諧之美。所以，圓錐曲線的學習，不僅僅是讓學生又多掌握了一些非常重要的數學知識，同樣重要的是可以讓學生從中充分認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，把理性思維、科學精神的培養落在實處，
橢圓是圓錐曲線的代表性內容，雙曲線、拋物線的內容與它同構。“橢圓”的內容架構、研究過程和思想方法與“圓的方程”基本一致，首先是從具體情境中抽象橢圓的幾何特征，再根據幾何特征建立標準方程，然后利用方程、通過代數方法進一步研究它的性質以及與直線的位置關系。自然的，對橢圓的研究，坐標法是根本大法，數形結合是根本思想，這里充分體現出“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”的特征。
橢圓是高中階段學習的第一種全新曲線，可以為學生利用圓的方程中積累的經驗進行探索性學習，獨立發現和提出數學問題，自主歸納和概括數學結論，并學會有效地用于解決數學內外的問題等提供理思載體。與圓的定義一樣，橢圓的定義是基于運動軌跡的，其要點是“平面內到兩個定點的距離之和為常數的點的軌跡”；表現出高度的簡潔、和諧之美。再把拋物線定義的要點“平面內到一個定點與到一條定直線的距離相等的點的軌跡”放到一起，可以發現它們是幾何學本質的直接體現-“幾何的本質在于度量，度量的本質在于長度”。通過基本運算給出距離（長度）間的確定關系，進而得到圓錐曲線的定義，讓學生體驗這些定義所蘊含的完美的數形結合思想，可以全面提升學生對數學的認識水平，形成新的數學學科視角，提高數學表達的條理性和嚴謹性。
數學探究是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論．圓與橢圓都是封閉二次曲線，有很多相似的性質，這樣的問題探究有助于培養學生發現問題，提出問題，分析解決問題、解決問題的能力。探究過程中鼓勵學生在獨立思考的基礎上，合作探究學習，解決問題。
此次探究活動，因為學生已經對圓的性質比較熟悉，在類比遷移中容易展開。采用各組選方向，分組探究，制作PPT匯報，寫論文實施數學探究活動，能夠使學生在做中學、在學中做，從中體會數學研究的樂趣，并且展現個性，嘗試創新。
本單元例要求學生完整經歷數學探究的過程，掌握數學探究的基本方法與步驟，提高“四能”，培養學生數學研究興趣，提升數學抽象，數學建模，數據分析，直觀想象等素養.
3. 教學重點
經歷完整的數學探究過程，掌握數學探究的一般方法與步驟，體會每一個環節的必要性和完整性，經歷發現問題，提出問題，分析問題，解決問題的全過程。
【目標和目標解析】

1. 單元目標

（1）運用所學知識，通過類比圓與橢圓的性質，提高邏輯推理能力，提升數學抽象素養.
（2）通過數學探究活動，歸納與掌握數學探究的一般方法與步驟，理解數學探究的多樣性，進一步提升數學抽象，數學建模，數據分析，直觀想象等素養.
2. 目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生通過分組、合作等形式， 總結圓的性質，類比橢圓的性質，制作出PPT.
(2)學生能回答“你怎么發現的這個問題，提出了怎么樣的問題，怎么分析得，如何解決得”；歸納與掌握數探究的一般步驟，能提出或理解數學探究的多樣性.
【學生學情分析】

1. 學生學情

在這個部分我從兩個方面分析：
一.學生方面
學生現在學段是高三的一輪復習階段，他們已掌握了圓錐曲線的基本性質，也曾對自己感興趣的問題深入研究過，但還未經歷過數學探究活動的全過程。數學教學中，我們總是習慣于讓學生做現成的，條件封閉的題目，對于這樣相對開放的探究活動孩子們是興奮的，但也是迷茫的，不知該探究什么.
基于以上分析，我對學生的初步探究作了一些預設：學生可能會把一些常見的圓和橢圓性質點狀得羅列，畢竟學生對做題方面還是熟悉的，寫出的是一些離散的、不連貫的碎片化知識（事實上正是如此）。
二.教師方面
高三復習階段數學教學中，教師備課更多考慮的是，知識點是否復習到位，學生訓練的題型全不全，我們為學生設計好了一切。 教師利用數學探究的教學方式復習，是比較陌生的，雖然我們經常學習這方面的理論知識，但缺乏實際經驗，尤其是如何引導學生展開探究還需要學習相關的理論知識。
2. 教學難點
在一般觀念指導下，用研究幾何圖像的一般套路探究所選內容.
【教學策略分析】
我們知道，新教材的不同章節中，研究對象、研究內容和具體方法都會發生變化，但整體框架和研究路徑是基本相同的。以此作為每一章教材“謀篇布局”的指導思想，不僅可以使教材體現數學的整體性，而且能使學生通過一個個具體對象的學習，逐步明了研究一個數學對象的基本框架和路徑，這對發展學生的理性思維也有至關重要的作用。在此過程中，可以使學生更深入地體驗“數學的方式”，明確學習方向和學習重點，更加有的放矢地展開學習，從而有力地提高學習質量和效益。
所以我決定從研究一個數學對象的基本套路為主線，引導學生用有效的研究思路和方法，展開獨立思考，合作探究。最后希望學生將他們所研究的碎片化的問題串在一起，建構所研究內容體系，體現數學的整體性；加強一般觀念的指導，提升教學的思想性，發展學生的理性思維。
在研究過程中，還要注意充分利用“運算”的紐帶作用形成學習進程，引導學生先用幾何的眼光觀察與思考，再用坐標法解決，通過“運算”發現規律，有效借助運算方法解決問題，通過運算促進學生數學思維的發展，進而形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。在此過程中，學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象等素養也就得到了提升。
【教學方式設計】
在教師的帶領下，以課題研究的方式進行．
【數學探究規劃】
教師先以引導的方式，設計“問題串”，將圓錐曲線的“垂徑定理”的研究過程，完整地呈現出來，先給學生以完整的數學探究過程。這一環節，是學生思維從“做數學題”到“ 數學探究 ”的一個過渡，幫助學生在思想上從“做數學題”轉變到“數學探究”。
之后，教師以引導和啟發為主，設計“問題串”，幫助學生通過類比的方式， 接下來，再讓學生按照要求開展小組合作的方式自行選擇研究內容。學生的學習活動包括課內活動和課下活動兩部分。課下活動以學生的組內合作研究為主，教師指導為輔。課內活動包括課題示范、中期交流和成果展示，以各組學生展示交流為主，教師點評和指導為輔。這一環節是本單元教學的主要內容，能夠充分發揮學生的主觀能動性，真正讓學生“在做中學”，體會“做數學”的味道。
在整個的探究學習的過程中，需要對學生的各探究階段進行階段性評價。在成果展示后，需要對各組進行評價。以達到對學生學習情況進行反饋的目的。
另外，考慮到學生對GeoGebra軟件不夠熟悉，需要給學生提供以下資料，讓學生學習GeoGebra軟件，幫助學生的研究過程。
1. 《GeoGebra與數學實驗》，包括R軟件的下載、安裝.
2. 探究活動各階段所需的文檔模板，包括：《課題準備工作》（附件1）、《課題準備工作評價》（附件2）、《課題中期報告》（附件3）、《課題中期報告評價》（附件4）、《課題成果公報》（附件5）、《課題評分表》（附件6）．
建議課上使用3課時．課下給學生充足的探究時間．
【教學過程設計】
課下活動
1、情境與問題
高中解析幾何包括四種二次曲線，分別是圓、橢圓、雙曲線和拋物線。有的教材將這四種曲線統稱為圓錐曲線，也有的教材定義后三種才是圓錐曲線，還有的教材“折中”地將圓作為橢圓的一個特例看待。但無論怎么規定，它們同為二次曲線的“血緣關系”都無法否認，也就是說這四種曲線的性質應該存在著某些共同點。
那么，它們的共同點是什么呢？
這個問題好像一時回答不清楚，究其原因，主要是我們對橢圓、雙曲線和拋物線的性質了解得不全面、不透徹，無法從全局直接看出這四者的共同點。我們不妨換個角度來考慮，學生在初中階段比較系統地學習過圓的知識，對圓的性質了解得比較透徹，如果我們對圓的性質逐一嘗試，并且發現其中某些性質能推廣到其他三種曲線，那么我們就找到了四種曲線性質的共同點。本著這個想法，考慮到橢圓和圓的相似度較高，對于圓的每個性質，可以先考察它在橢圓中是否成立，本次探究先讓學生研究圓與橢圓兩種比較相似的圖形。下面我們就依照這個思路來探究圓與橢圓性質的共同點.
2、試著做一做
請列出圓的性質，然后檢驗這些性質在概圓中是否仍然適用。
3、教師對學生的探究流程提出如下要求：
完成任務：(1) 學生先自主探索，梳理圓和橢圓的性質，通過類比，發現有關聯的性質，并說明理由，再小組合作探索，以組為單位上交.（一周時間）
(2)姜焱（數學課代表）匯總各組研究內容，與各組組長協商初步確定各組感興趣的研究方向.
設計意圖：由于學生已經是高三的一輪復習階段，給出個人和小組任務，引導學生自主復習圓和橢圓性質，為后續探究做好準備.
第1課時  了解研究方法 確定探究任務
【教學內容】
回復習圓中垂徑定理，類比到圓錐曲線中，探究圓錐曲線的“垂徑定理”.
【教學目標】
（1）通過復習圓的垂徑定理，積累橢圓一個性質研究的活動經驗；
（2）通過經歷圓與橢圓“垂徑定理”的類比過程，明確研究思路，體會“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理，論證和求解”的基本思路.
【教學重點與難點】
（1）教學重點
體會“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理，論證和求解”的基本思路.
（2）教學難點
用幾何的眼光觀察，即對“幾何要素”的分析。.
【教學過程設計】
引導語 
環節一 復習性質，按幾何元素關系分類
問題1:你能說出圓和橢圓的類似性質，他們的共性是什么？涉及哪些幾何要素？
追問1：你能說出圓和橢圓的類似性質，他們的共性是什么？
追問2：涉及哪些幾何要素？
師生活動：復習圓與橢圓幾何性質，并引導學生按幾何要素關系歸類，如定義涉及長度度量，垂徑定理涉及角度.
環節二  圓中垂徑定理
問題1  回憶圓中垂徑定理，你能說出它的內容嗎？
追問：圓中還有那些類似的性質？
預設回答：垂徑定理及其推論.
垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。
 
 
追問2：你還能想到哪些有關垂直的性質？
預設回答：直徑所對圓周角為直角，切線與圓心與切點相連的線垂直.
     
追問3：你能說一說他們的聯系嗎？它們的共性是什么？從統一的眼光看，那些是極端情形呢？
預設回答：（1）切線是弦的極限情形

（2）垂徑定理的垂直和直徑所對圓周角是直角的聯系：如上圖中 , 是中位線的關系.
師生活動：教師引導學生復習垂徑定理，以及有關垂直性質.
設計意圖：學生初中學過這些性質，但沒有從統一，動態的角度將其聯系起來，故需
從圓的垂徑定理，發散到所有與之相似的內容，引導學生用統一的角度歸類，體會運動變化的思維，有助于學生探究后續內容，也即從幾何圖形研究的一般套路出發，分析幾何圖像的幾何要素，學會用幾何的眼光觀察，應用運動變化的思維，抓住垂直這一幾何關系，厘清他們之間的關系，初步體會研究一個幾何圖形的性質的探究思路和方法.提升學生對數學的認識水平，形成新的數學學科視角，提高數學表達的條理性和嚴謹性。
環節三  類比到橢圓中
問題1：在橢圓中有類似的性質嗎？試類比橢圓，說出你的猜想.，用GeoGebra驗證.
追問1：你還能說出橢圓哪些性質？如何證明？
預設回答：


 

追問2：你能證明這些性質嗎？
師生活動：用坐標法證明性質，讓學生領會坐標法和數形結合思想。
設計意圖：由于學生已經是高三復習階段，橢圓這些性質并不陌生，只是沒有系統的歸納過，用圓作類比，能將知識融合，同時也感受到圓與橢圓性質類比非常有必要的，通過類比能很好理解代數關系的幾何意義.
環節三  確定研究思路
探究任務 以上我們梳理了圓與橢圓的一些性質，知道了用運動變化的思維將其歸納，合理類比，信息技術驗證，再用坐標法證明，這一研究思路．那么以圓與橢圓為研究對象，按其幾何元素關系分類，用向坐標法對性質進行再研究，你還能發現什么結論？證明你的發現，并闡述你的發現過程．
實施要求與建議：
（1）組建小組，每組成員原則上不超過六人．
（2）在獨立思考的基礎上，小組集體討論探究方案，確定研究思路．之后小組成員各自展開獨立探究，并以專題作業的形式撰寫研究報告．小組內進行交流討論，完善研究成果，并形成一份小組研究報告，在全班進行成果交流、評價．
（3）充分利用信息技術手段（如：GeoGebra軟件等），可能會有更加豐富的成果．
（4）注意留存過程性記錄，重要活動與討論都要有文字與圖片記錄．
師生活動   學生課下完成．
設計意圖  以終為始，用明確的任務和要求指導學生開展數學探究活動.
課下  自主開展探究，小組合作推進
該環節是利用課余時間進行的，建議給學生1周時間，學生只有在課下進行了充分探究，才能確保課上深入的思維交流互動．
在教師的鼓勵與指導下，學生先進行獨立思考，完成探究作業．教師或學生可根據學生的研究方向，然后開展小組內合作探究．教師及時掌握并督促小組活動，批閱小組探究作業，收集學生在活動中產生的問題，并及時給予指導．在活動過程中鼓勵和引導學生借助信息技術開展探究．
學生可能遇到的問題及教師指導建議：
1.大多學生容易把數學探究活動誤認為習題課，實際操作中可能會將以往在解題中發現的結論，或直接查閱資料獲得的結論，逐一羅列，再加以證明．教師應及時追問這些結論是如何被發現的（習題是如何被設計出來的），引導學生探究其背后的原因，用“ 坐標法”展開探究．
2.部分學生在探究過程中會利用查閱資料得到的一些結論，“執果索因”探索來源，這樣容易造成各個結論之間彼此孤立，探究成果雜亂無章．教師應引導學生繪制思維導圖，借助邏輯鏈條有序串聯，進一步理清探究發現的路徑，雙向遞進．
3.部分學生在探究過程中喜歡查閱網上的傳統幾何方法推理論證，不愿利用坐標法，不會自覺地優化算法（如齊次聯立，換元技巧等）， 應用坐標法發現新的數量關系（如2022年全國乙卷21題的數量關系）。對傳統幾何法感興趣的同學，教師可以引導學生體驗     傳統幾何和坐標法兩種探究方式，再數形結合，融會貫通，并在運算的過程中提取有價值的數量表達式（如定值問題）．同時進一步指出坐標法具備運算與推理兩兼的雙刃優勢，結合GeoGebra軟件驗證，強化樹立“運算”工具的優越性．
4.教師指導學生按照不同的探究路徑梳理自己的探究成果，不斷強化學生對數學探究活動的認知，針對學生在探究過程遇到的問題與障礙，篩選收集示范展示案例，按照一定的邏輯關系，對學生探究獲得的結論進行排序，指導學生為第2課時展示交流做好準備．具體內容見第2課時的展示．
第2課時  交流初探成果，指導探究方法
【教學內容】
展示與交流問題發現、提出的過程，進一步明確探究活動的發現路徑．
【教學目標】
（1）通過展示與交流學生小組探究成果，分享體會問題發現、提出的過程，相互借鑒和學習，積累“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理，論證和求解”的經驗．
（2）能通過質疑、辯論、評價，梳理發現和提出問題的脈絡，為進一步的探究奠基．
【教學重點與難點】
1．教學重點：展示本組探究問題的發現與提出過程．
2．教學難點：梳理發現、提出問題的脈絡，形成以一貫之的探究發現路徑．
【教學過程設計】
環節一  總結探究活動本質
引導語  通過近一周內多次課下活動，我們對數學探究活動又有了更深入的認識，數學探究活動不同于傳統的數學習題課，它是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論．數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容．
數學探究的基本程序及對應的行為是：

數學問題→數學猜想→解決思路和方案→     數學結論 發現提出→  猜測  →     提出     →自主探索與合作研究

 
 
 

設計意圖  讓學生了解數學探究活動的本質，形成主動探究意識，積累探究經驗，梳理出以一貫之的探究發現路徑．
環節二  展示成果，梳理探究路徑
展示任務  經過前期的小組探究，大家都收獲了一些成果，也遇到了一些困難，同時深切的感受到提出一個有價值的問題，要比論證一個已有的結論困難的多．因此我們把本次中期匯報的重點確定為展示并交流“發現、提出問題的脈絡”．下面有請各小組進行展示，其他小組的同學認真聆聽，作好記錄，稍后提出困惑，做出評價．
師生活動  學生梳理課下探究成果，重點展示本組探究問題的發現與提出過程，也可以展示部分探究成果，或提出困惑，小組間展開互評．教師可給予評價，也可以進行恰當引導．
成果展示
學生展示1  橢圓與圓基本性質的比較
1.定義
橢圓：上平面內到定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的動點P的軌跡曲線。
圓：到定點的距離等于定長的點的集合.
2方程
3.頂點  
4.有界性
    5.離心率  圓：認為離心率為0的橢圓
6.參數方程：
圓：               參數方程：
橢圓：      參數方程：
橢圓：      參數方程：
應用：
例1.M(x,y)是橢圓 上的點，求 的取值范圍
解：設點M(cosx,2sinx)
則   所以
教師點評：從最基本的性質出發，類比圓與橢圓,你們給后面的性質研究奠定了基礎.
    學生展示2   有關垂直的園與橢圓性質類比  
在圓x²+y²=r²中過圓心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ，則D的軌跡為x²+y²=r²/2

圓與橢圓本自同根生，那么這樣做在橢圓中是如何呢？
在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ

利用信息技術（GeoGebra）直觀了解

點D的軌跡仍是一個圓
由此猜測：在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ,連接PQ,過O作垂線OD⊥PQ，點D的軌跡是一個圓
下面來證明

 
證明：設

結論:
在橢圓x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)中過中心O引兩條互相垂直的線OP,OQ，連接PQ，
過O作垂線OD⊥PQ，點D的軌跡是一個半徑是a²b²/(a²+b²)的圓
應用：
例.(2007天津22)如圖所示， 為橢圓 上的兩個動點， ,過O作直線 的垂線OD。求點D的軌跡方程.
分析：點D的軌跡是一個圓，且半徑為2b²/3，上述研究其實也是此題的背景。
教師點評：能從幾何元素的關系歸類，研究問題背后的一般規律，很好，在證明時用得不是常規的坐標法，巧設Q點坐標，其實用了類似極坐標的方法來證明的，可以試著用常規坐標法再證明。
學生展示三：仿射變換在圓錐曲線中的起源，性質與應用
      眾所周知，圓具有很好的幾何性質，橢圓與圓可謂是同宗同源，于是我們猜想，有沒有一種方法可以實現這種圓與橢圓的互化？我們由此引出本文的重點：仿射變換
在平面幾何中，橢圓很像一個“擠壓”過的圓，那么我們可以適當對橢圓進行“拉升”，從而將橢圓變成圓。放到平面直角坐標系成為坐標系的伸縮變換。
  →
在橢圓轉化為圓后，可以通過研究圓的性質來研究橢圓的性質，此處可以適當結合平面幾何的知識。
一．仿射變換的具體操作：
在平面直角坐標系中，設橢圓 C :
令x`=  ,y`=   ,經變換后橢圓方程C`變為
此時我們發現，經變換后橢圓終于變成了一個單位圓，這意味著我們終于能用圓的性質來解決一些圓錐曲線的問題。（注意：經變換得出結果后仍需變換回原來的坐標單位）
二．仿射變換后的性質
接下來我們來探究一些仿射變換后的性質
1.直線與曲線的位置關系
在平面直角坐標系中，設橢圓 C :      直線 l :
聯立方程，消去y，得出 =
對原直角坐標系進行伸縮變換
（橢）圓C` :     直線l` :
聯立方程，消去y，得出 =
（很明顯 沒有發生變化，說明直線與曲線的位置關系（如相交，相切等）沒有改變）
由此我們得出，經過仿射變換后的直線與曲線位置關系不變
2.變換前后直線斜率的變化
設直線 l :     經仿射變換，得l`：
易得直線斜率變為原來的
3.變換后的圖形面積的變化
在平面直角坐標系中，設橢圓 C : ，顯然橢圓外接矩形面積為4ab
圓的外接矩形面積為4
→
仿射變換后，對應圖形面積變為原來的
推廣 標準變換后，對應圖形的面積變為原來的   。在平面直角坐標系中，圖形的面積可理解作是 kxy ，其中 k 為常量。
三．仿射變換的應用
有了仿射變換這一研究圓錐曲線的工具，接下來我們不妨對其進行應用，將圓的性質推廣到圓錐曲線的性質

1. 直徑所對圓周角為直角，設橢圓 C :

對原直角坐標系進行伸縮變換，（橢）圓C` :
  
變換后 ，所以變換前

2. 垂徑定理

→
變換后 ，所以變換前
3.仿射變換在一些題目中的應用
已知橢圓 ,記橢圓的左，右焦點分別為 ，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），A 的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求△ABC面積的最大值。

解：令x`=  , y`=y
橢圓方程C變為C`： ,
由圓的幾何性質可得 ABC恒為
ABC ，由基本不等式可得，當且僅當 時， 取得最大值
此時 =1
將坐標系變換為原坐標系后，得出 的最大值為
    
仿射的深入分析
一.深入分析

1. 橢圓垂徑定理的推導

2.橢圓垂徑定理的三種形式
(1)基本形式

2. 特殊形式

3.橢圓中的切線的性質

我們現在利用仿射進行證明：
設圓（x²+y²=1）的一個切點為M(m,n)，該點所對應的切線l為mx+ny=1，則該圓經過仿射變換后的橢圓（ + =1）的切點M'(am,bn)，切線l'為 + =1。
根據仿射后的點M'與切線l'可以分別得出直線O'M'的斜率為 ，直線l'的斜率為- 。
所以我們得出 × =- 。
二.典例示范
例.
   橢圓C： + =1的右焦點為F，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則三角形ABF的面積的最大值為？
法一：常規方法
當直線斜率存在時，設直線方程y=-kx，代入圓的方程得（1+2k²）x²=8，
∴x=± ，y=±    ∴A( ， )，B(- ，- )
< =4
 當直線斜率不存在時，直線方程為x=0， = ×2b×c=4
綜上， ABF的面積的最大值為4。
法二.仿射變換
建立新的坐標系使得x'= ，y'= ，則在新坐標系中，由于仿射變換的性質， ABF面積取到最大值的位置與原坐標系中對應。
在單位圓中， A'B'F'取到最大，即A'B'⊥O'F'時，即為過原點的直線的斜率不存在時。
則 的最大值為4。
教師點評：仿射變換，揭示了圓與橢圓的內在聯立，也搭建起了兩者之間互化的橋梁，此次探究也為我們第一課時的類比找到了內因，很有價值.
展示三：定點的發現與猜想
已知橢圓C的中心在坐標原點，叫電腦在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，

1. 求橢圓C的標準方程；
2. 若直線l:y=kx+m與橢圓C相交與A,B兩點（A,B不是左右頂點）,q且以A,B為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過頂點，并求該頂點的坐標.

分析：（1） （2）過頂點（ ，0）
類比圓中：直徑所對的圓周角為直角
觀察發現：直徑過圓心這個定點，且兩圖都有直角  ，以上與題目相似.

提出猜想：  一般的橢圓，直線與橢圓交于P,Q,點P,Q分別與右頂點A的兩條連線垂直,那么在橢圓中是不是有一定點過PQ的呢？
證明：（齊次聯立）
，
橢圓方程可變形為： ，即為
設直線PQ：
齊次聯立，得
即：
同除以 得
所以 ，得 帶入直線PQ方程得：
PQ： ，所以直線PQ過定點 .
根據橢圓的對稱性繼續猜想：A為左頂點,也應該過定點.用信息技術驗證，確實如此.

 
 
 
 
 
 
既然左右頂點都有定點，那么上下定點呢？
現在對上頂點證明：