視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《測量學校內外建筑物的高度》陜西—盧
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陜西—盧龍—設計—測量學校內外建筑物的高度
“數學建模活動—測量學校內、外建筑物的高度”教學設計
陜西師范大學附屬中學 盧龍
《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中指出，數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.同時，數學建模活動與數學探究活動又是課程內容突出的四條主線之一.依托該內容，結合學生實際知識儲備和現狀，開展了“測量學校內、外建筑物的高度”的數學建模活動.下面是此次建模活動的教學設計.
一．教學內容解析
實際問題的函數建模是培養學生高層次思維、應用數學的意識、分析和解決問題能力的重要載體.本節課的內容來源于《標準》中的案例15，測量學校內、外建筑物的高度.運用所學知識解決實際測量高度的問題，從初中開始學生就有所接觸，通過測量操場上旗桿的高度，學生掌握了相似與全等的實際應用.高中對三角函數以及立體幾何有了近一步學習之后，再一次進行實際建筑物高度的測量，讓學生體驗數學建模活動的完整過程.學校內的建筑物一般是底部可以到達的，學生可以通過構造直角三角形，計算樓層數和層高，數磚塊層數等簡單方式來獲取建筑物的近似高度.學校外部的建筑物往往是底部不可到達的，測量時需要制定完整的測量方案并選擇合適的模型進行計算，從而得到建筑物的近似高度.
根據《標準》中對數學建模活動與數學探究活動的教學提示，將“測量學校內、外建筑物的高度”課題研究分為三個課時進行.第1課時，教師在課堂上組織開題交流，讓每一個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他同學可以提出質疑，在討論的基礎上，項目小組最終形成各自的測量方案.學生需要撰寫開題報告，開題報告應該包括選題的意義、文獻綜述、解決問題的思路、研究計劃、預期結果等；第2課時，帶領學生實地測量，以小組為單位，先測量校內一個建筑物的高度，再測量校外一個建筑物的高度，做好數據記錄和過程性資料的留存；第3課時，研究結果呈現，教師組織學生開展結題匯報.本節課進行的是第3課時的內容.
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：讓學生學會從實際問題中抽象出數學模型解決測量建筑物高度的問題，體驗數學建模的完整過程，體會數學在實際生活中的應用.
本節課教學目標設置如下：
-
經歷數學建模活動的基本過程，體會數學建模思想.
-
能對現實問題進行數學抽象，制定合理的測量方案，準確收集數據，正確分析數據，建立適當的函數模型，利用信息技術工具求解模型、檢驗模型、優化模型，最終達到解決實際問題的目的.
-
感受數學來源于生活并能應用于生活，用數學知識和方法可以解決實際生活中的問題，體驗數學在生活中的價值，激發學生學習數學、應用數學的興趣.小組在討論方案，實地測量，探索建模的過程中提升創新能力，體驗成功的喜悅，同時培養團隊協作的意識.
測量高度是傳統的數學應用問題，與生活密切相關，學生在初中學習完平面幾何中的勾股定理及三角形全等與相似知識以后就可以解決此類問題.本次數學建模活動的對象為高二年級的學生，學生思維活躍，具有一定的自主探究與合作學習的能力，能運用信息技術解決簡單的數據運算問題.從數學知識上看，學習了任意角的三角函數以及三角函數的圖像與性質，掌握了解三角形的不同方法；學習了空間幾何體以及相關性質與運算，會將實際生活中的問題抽象成數學問題，并用數學的語言來表達.從物理知識上看，學習了自由落體運動，知道光沿直線傳播等基本原理.但是將理論知識轉化成實踐的能力還不足，解決實際問題的經驗還不夠豐富，如何準確用已有工具測量仰角，如何優化模型得到最優解等，還需要教師給與指導.
因此，確定本節課的教學難點是：選擇合適的測量方案和測量工具測量相關數據.
-
依據數學建模活動的內容和要求組織教學材料.通過精心設計的開題問題，引導學生利用已有的知識儲備思考實際問題，在解決實際問題的過程中構建函數模型開展數學建模活動，歸納出數學建模活動的一般方法，幫助學生形成完整的認知結構.
-
依據學情組織教學活動.根據學生的思維特點和認知基礎，對重、難點內容—模型的建立、檢驗與優化等采用核心任務探究的教學方式，在每個核心任務下設置子任務，通過獨立思考、小組合作、展示交流、互評反思等師生活動來強化重點、突破難點，學生在嘗試和探索中掌握數學建模活動的數學思想和一般方法.
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突出數學思想方法的提煉和滲透.在引導學生主動建構數學知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養學生的批判性思維、開放性視野，提升學生分析問題和解決問題的能力、交流合作能力、數學語言表達能力，發展學生的數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀想象素養.
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運用“互聯網+”提高教學效率.學生借助數學軟件以及圖形計算器求解模型，體會信息技術在科學研究的過程中起到的重要作用.
本次數學建模活動是指定課題，學生不需要經歷選題的過程，因此分為3個課時來完成，分別為開題，做題和結題三個部分.前期已經完成前兩部分，本節課為本次活動的第3課時，結題匯報環節.
（一）開題
開題部分用1個課時來完成，課前提供了研究課題，設置了開題任務單，讓學生通過復習回顧、調查研究、查閱資料等方式思考以下問題并在課堂上解決：
1.測量什么建筑物？
2.怎么測？理論依據是什么？設計至少兩套方案.
3.需要的測量以及計算工具有哪些？可能會遇到的實際困難是什么？怎么解決？
【設計意圖】培養學生通過查閱資料、請教師長、自主思考、小組探討等途徑獲取信息與分析問題的能力.
（二）做題
做題部分用1個課時來完成，學生按照小組進行實地測量并記錄數據，隨后求解模型，修改模型，進行誤差分析等.
【設計意圖】讓每位學生親身經歷通過實驗收集數據的過程，感受如何建立數學模型解決實際問題.通過對結果的分析，認識到實際測量會產生誤差，分析誤差產生的原因以及減小誤差的方法.
（三）結題
1.前情回顧
教師帶領學生簡要回顧本次數學建模活動前期經歷的過程，包含開題和做題兩個重要環節，開題部分，學生通過小組討論，查閱資料，詢問老師等多種不同的方式探討了測量建筑物高度的方案.每個小組根據實際情況撰寫了開題報告，并設計了至少兩種測量方案.做題部分，校內建筑物的測量由小組自行選擇時間開展活動，校外建筑物在校外的測量活動由教師帶領全班同學在同一時間內進行測量.
【設計意圖】通過對前邊活動的回顧，讓學生體會數學建模的過程，為今天的活動做好鋪墊.同時展示學生課下測量的照片等，提高學生對本節課的探究興趣.
校內建筑物由于其底部可達，測量較為容易，各小組上交方案后，由教師進行匯總分析，共展示7種不同的測量方式.
校內建筑物測量的方法與模型：
方案一：單點位測仰角法（如圖1）； 方案二：單點位測仰角與俯角法（如圖2）；
![81O]Y9]ST9HWA$KU`G4THT2](file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png)
圖1 圖2
記建筑物的高為
，方案一中，
；
方案二中，
.
方案三：同時刻物高與影長等比例法（如圖3）；
![A628MO]U}9LI]A9_P8L4PA1](file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.png)
圖3
方案三中，
.
方案四：臺階總數*每級臺階的高度（假設每級臺階高度相同）；
方案五：樓層數*每層樓的高度（假設每層樓高度相同）；
方案六：自由落體運動實驗；
方案七：在樓頂直接測量高度（建筑物樓頂可達且高度有限）.
【設計意圖】校內建筑物的測量較為容易，學生設計的方案簡單易操作，由教師進行成果匯總展示，留下更多的時間與空間讓學生來匯報校外建筑物的測量及其結果.
各小組經過討論，校外建筑物都選擇了測量在學校操場可以看到的西安市地標性建筑物—大雁塔，測量地點選擇了三處，分別為學校操場，大慈恩寺外和大慈恩寺內.
2.交流展示
分析比對學生提交的數學建模成果，選擇具有代表性的成果進行課堂交流展示.但提前不告訴學生，以免影響課堂的積極性.
-
小組1展示交流
①選擇測量的建筑物及選擇原因
選擇測量大雁塔，因為大雁塔聞名中外，如何能用所學的知識解決對它的高度測量問題，對我們來說是一個很好的實踐活動.
②測量方案及模型選擇
經查閱資料及詢問相關工作人員，得知大雁塔周圍樹木掩映，遮擋物較多，塔底不具備單點位測量的條件.小組在《海島算經》相關高考題的啟發下，建立了雙點位測量的模型（如圖4）
圖4
在該模型中，需要知道兩次測量點處的仰角及兩點間距離，從而利用三角函數相關知識計算出塔的高度
.
在探討的過程中，考慮到對于仰角的正切值，可以利用三角形邊之間的比值來獲得，圖4中的
為比人略高的標桿，借助標桿高度，目高及人桿距可得兩次仰角的正切值，此方案不用測量仰角的大小.計算公式為：
.
注意到在圖4中有一個
與兩次測量的仰角以及距離均有關系，于是考慮在該三角形中用所學的正弦定理來計算
的長，從而計算
，加上目高即可得塔高
.
我們采用的測仰角的工具是自測傾器，自制測傾器用到的工具有大量角器（度盤），三腳架和鉛錘.
③測量數據
測量大雁塔的數據如表1所示.
桿高 ，眼高 ，人桿高度差為 （距離單位為 ，角度單位為 ） |
|
測量次數 |
 |
 |
塔高 |
 |
 |
塔高 |
|
1 |
29 |
25.5 |
69.3987 |
0.656 |
0.709 |
67.224 |
|
2 |
26.5 |
25.5 |
68.7607 |
0.667 |
0.735 |
69.796 |
|
3 |
30 |
27 |
70.4091 |
0.679 |
0.763 |
70.608 |
|
大雁塔高度的平均值：69.37 |
表1
④結果及誤差分析
經測量，校內建筑物的高度為
，與實際高度相差
；校外建筑物大雁塔的高度為
，與實際高度
相差較大.于是我們進行了誤差分析及模型應用，由于校內建筑物底部可達，便于測量，因此測量結果較為精確.大雁塔測量結果誤差較大，考慮到是因為大慈恩寺內地面不平整，測量數據較多，測量的仰角精度不高等.隨后為了驗證模型的可行性并且對模型進行應用，小組測量了位于學校操場西邊校園外的一座底部不可達的建筑物，結果為
，與實際高度
相差不大，說明模型的可行性較大.
解決老師提出的問題：如何用一張A4紙測量大雁塔的高度？根據小組建立的測量模型，在實際測量時需要測量仰角以計算其正切值，而A4紙的長度和寬度為定值，沿對角線折疊以后會有兩個正切值已知的銳角，可以作為天然的側傾器來使用，從而可以根據測量數據計算出大雁塔的高度.如圖5
圖5
模型計算公式：
，計算結果為
.
⑤活動感受
測量底部不可達建筑物高度的核心是測量長度和角度，靈活利用手邊可用的工具開展測量活動.
“凡事預則立，不預則廢”，在進行實踐活動之前應該做好充分的準備，提前制定好方案，并且要做好詳細的計劃，提前想好可能會遇到的實際問題并準備好解決方案.
-
小組2展示交流.
①模型展示
考慮到實際測量時，雙點位測量過程中兩次測量點與塔心共線這一要求較難達到，于是對模型進行了改進，如圖6
圖6 圖7 圖8
圖中
兩點為測量點，測出這兩點與塔心的夾角及兩點間的距離，再測出某個測量點處的仰角，即可計算出塔高，考慮到大雁塔底部不可達，因此角
無法準確測量，于是優化模型，如圖7，為便于觀察，圖中略去了眼高，利用指南針，將兩次觀測點分別放在塔的正南方和正西方，這樣，塔心與兩次觀測點之間的的夾角為直角，只需要測量兩次觀測點處的仰角，距離以及眼高，即可用公式
計算出塔的高度.但這個模型依然面臨一個實際測量的困難，即兩次觀測點之間的距離由于有遮擋物而無法測量，于是對模型又進行了優化.如圖8，將底面三角形的直角頂點作為一個測量點，選取合適的距離作為另一個測量點，分別測量兩次觀測點處的仰角，兩點間距離以及眼高，即可用公式
計算出塔的高度.
小組的另一個方案為給待測量建筑物拍照，利用比例尺的原理通過已知參照物的高度來計算建筑物的高度.在實際測量時發現該方法測量出來的大雁塔的高度為
，還不到實際高度的一半.改變拍攝位置，拍攝角度以及拍攝參照物，依然有非常大的誤差，該方法并不適合于測量大雁塔.經過小組分析，原因在于由于拍攝的位置與大雁塔距離較近，塔身有一定的高度，拍攝時就會存在仰角，導致塔的上半部分比例失調.考慮到此方法的理論可行性，小組認為，找到合適的拍攝位置，參照物與塔身距離足夠近時，誤差相對較小.此方案在本次測量活動中以失敗告終.
②數據運算
小組的數據運算采用了惠普圖形計算器，它的優勢是對于同一模型可以在編輯好公式后，輸入不同的數據反復運算，提高了運算速度.如圖9，圖10
圖9 圖10
最終通過方案一雙點位共線測量的方法得到的塔高為
，通過方案二雙點位不共線測量的方法得到的塔高為
.兩次測量結果非常接近，與實際值相差不大，說明在減小誤差方面的舉措是成功的.
③活動感受
小組在探討方案時還提到了利用放風箏的方法，通過計算風箏線與地面夾角的正切值來測算塔高，出于對文物的保護以及風箏線自身的重力無法忽略不計等原因，沒有通過.另外還想通過氣壓計測量氣壓差來測算高度，此方案受限于塔頂不可達以及空氣密度不均勻等困難，仍然沒有通過.拍照利用比例尺的方法提醒我們，現實和理想是有差距的，有些時候理論上很完美的事情，在實際執行時會遇到各種各樣的困難.
-
小組3展示交流
①校內建筑物測量
校內建筑物采用了一款手機軟件Phyphox來測量，該軟件可實現一些生活中基本物理量的測量，可以根據電梯的運行速度及時間來計算運行高度，通過此軟件，測量出崇是樓的高度為
，與真實值
相差不大.
②校外建筑物測量
校外建筑物采用平面鏡兩次觀測塔頂的方式來測量，如圖11，
圖11
其中
兩點為平面鏡放置位置，為了盡可能減小誤差，在平面鏡上找一個標記點為眼睛看到塔頂的位置，同時測量了三組數據取其平均值.計算公式為：
，數據如表2
單位：米
|
測量次數 |
 |
 |
 |
 |
|
1 |
 |
 |
1.95 |
64.8 |
|
2 |
83 |
2.1 |
64 |
|
3 |
70 |
1.72 |
65.9 |
表2
經過計算，大雁塔的平均高度約為
，與實際相差不大.
【設計意圖】小組展示交流活動是本節課非常重要的一個環節，是本節課實現教學目標、突出教學重點、突破教學難點的有力活動支撐，也是對課下學生做題活動的肯定，為接下來的模型評價環節奠定了基礎.
-
評價提升
模型評價環節通過對所建立的數學模型進行評價，讓學生更深入分析不同模型的優缺點及可行性等，從中體會數學與生活的聯系，感受數學建模活動的成果及其應用價值.
-
教師評價
從模型的可行性、誤差大小、探索問題的精神等方面進行評價.
第一小組的模型是各個小組都用到的模型，該組在測量和運算兩個方面都有亮點，測量時利用了測量標桿等數據來計算正切值的思路，并且測量仰角采用了自制的側傾器，具備了很強的動手能力，計算時用到了正弦定理，體現了對于所學知識的靈活運用以及轉化與化歸的思想.最后，通過測量另外一座建筑物，對模型進行可行性驗證.但是測量結果誤差較大，還需要繼續探討減少誤差的做法.
第二小組建立的模型為立體幾何模型，并且進行了多次模型優化，在計算時還考慮到了三垂線定理，知識運用很全面.計算采用了惠普圖形計算器，借助工具，使得運算便捷.測量結果誤差較小，可嘗試推廣.
第三小組的模型運算簡單，數據易測，使用的工具也簡單便捷，測量校內建筑物時還有效利用了手機軟件，方法獨特.此方法由于人為觀測的原因，易產生較大誤差，可以思考怎樣做減小誤差.
【設計意圖】通過教師引導告訴學生如何對模型進行評價，體現了教師“教”的主導地位，同時教師通過自己的評價，讓學生感受評價的方式，也是實現本節課教學目標、突出重點、突破難點的重要載體.
-
小組自評與互評
開展課堂小組討論活動，通過小組內部討論，結合自己小組的模型選定課堂上的一個模型進行評價，每個小組選派一名代表發言.
小組1學生代表：評價小組2的模型.首先，小組2的模型與大家的都不同，考慮到實際情況，建立了立體幾何的模型.并且，有多次對模型進行優化的過程，計算數據時，也考慮到了幾何關系，應用到了三垂線定理.值得我們學習.
小組2學生代表：評價小組3的模型.小組3是我們一起測量時所帶的儀器最少的，測量時也非常便捷，他們化簡為繁，值得我們學習.但是他們測量的誤差較大，應該考慮多換幾個方向去測量.
小組3學生代表：評價本小組的模型.我們的模型測量數據為長度和高度，相比于其他模型，沒有測角的過程，測量簡單，運算簡潔，可行性較高.
小組4學生代表：評價小組2的模型.小組2的同學在建立模型的過程中，遇到困難及時解決困難，不放棄的精神值得我們學習.
小組5學生代表：評價小組1的模型.小組1解決了用
紙測量大雁塔高度的問題，非常不可思議，利用手邊最簡單的工具，結合所學知識，解決實際測量問題，是生活數學化的最好體現.
小組6學生代表：評價小組2的模型.小組2在模型求解時運用了惠普圖形計算器，使得運算過程簡單準確，在測量時所用的工具也獨樹一幟.
【設計意圖】通過自評與互評，讓學生感受相互學習、交流的重要性和必要性，發現他人優點的同時也關注建模活動過程中存在的問題，為后期改進、優化模型奠定基礎.同時，讓更多學生參與到課堂活動中來.
-
模型應用
小組設計的測量方案，建立的測量模型可行性如何呢？課后嘗試去測量西安“西部之光”電視塔的高度.
教師介紹從古至今測量高度用到的工具，現在常用的全站儀，激光測距儀，無人機等，讓學生感受精密的測量儀器使用的也是最基本的數學原理，中國人對于高度的探索從未停止，從而引發思考，如何測量一座山的高度？進而引出對于珠峰高程的測量以及我們國家連同尼泊爾對于珠峰新的高程的測定結果，
，這是世界新的高度！
【設計意圖】讓學生感受數學來源于生活、應用于生活，從而解決生活中的問題，激發學生的求知欲和探索欲，提升學生的民族自豪感，本環節是實現本節課育人目標的重要載體.
-
小結提升
學生回憶本節課的主要內容，教師引導學生從多方面來思考和表達,學生自述，教師補充總結，同時完善板書.
(1)底部可達與底部不可達的建筑物，從平面與空間，數學與物理等角度看有多種不同的測高方式.
(2)數學建模活動的基本步驟，如圖12
圖12
-
作業布置
基礎作業：
查閱資料，了解更多中國人關于測量的歷史與現狀
【設計意圖】學生課下獨立完成，通過查閱資料，對本次建模活動的研究意義和價值有更深入的認識.
拓展作業：
（1）總結本次數學建模活動經驗，小組嘗試測量電視塔高度
（2）修改完成本次數學建模活動的結題報告
【設計意圖】模型的推廣與應用也是數學建模活動的一部分，應用模型解決實際問題，為下一次的建模活動做好準備，課下小組合作完成.
六.課后反思
本節課的教學設計建立在“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的教育理念上，融入了《標準》的思想內涵.本節課從學生的展示活動出發，通過學生的展示，結合教師和學生的評價，實現本節課的教學目標，設計中突出體現了學生的主體地位.經歷了本次數學建模實踐活動后，對于數學建模活動的開展有以下幾點思考.
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數學建模活動的開展應該常態化、系列化
本次數學建模活動學生表現出了非常高的熱情，整個活動中學生的綜合能力得到了明顯的提升.數學建模活動的開展應該常態化、系列化.避免將主動探索，積極驗證的動手操作過程變成機械的搶時間“刷題”.
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數學建模活動中教師應該適當放手，給學生足夠的探索空間
建模活動的整個過程中，教師應該是一個導師的角色，不能用自己的知識儲備代替學生發現問題解決問題的過程.應該把握好指導的時機和內容，讓學生經歷數學抽象的過程得到模型,從而真正提升學生解決問題的能力和思維品質.
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嘗試讓學生親歷選題的過程
本次數學建模活動為指定課題，學生并未經歷選題的過程，教師在教學過程中滲透了從實際生活中發現問題提出問題的必要性，后期開展數學建模活動時可以嘗試讓學生自己發現問題，經歷經過討論選題的過程，這更有利于提高學生進行實踐活動的積極性.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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