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視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《基本不等式（第1課時）》新疆—羅
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新疆—羅凱—設計—基本不等式（第1課時）
《基本不等式》（第1課時）教學設計
一、【教學內容解析】
本節課是高中數學人教A版必修第一冊第二章2.2節第一課時。
從全章看，相等關系、不等關系是數學中最基本的數量關系，是構建方程
不等式的基礎。本節課是在學習了不等式基本性質基礎上研究的一種重要且基本的不等式類型。它在解決其它不等式問題中具有重要作用
這種“基本”主要體現在以下三個方面：
（1）它與很多重要的數學概念和性質相關，從數與運算的角度，它體現了兩個正數的算數平均數與幾何平均數之間的不等關系，不等式中涉及的是代數中的“基本量”和最基本的運算。從幾何圖形的角度，“等圓中，弦長不大于直徑”“周長相等的矩形中，正方形的面積最大”等，都是基本不等式的直觀理解。
（2）基本不等式的證明方法或推導方法很多，從數量關系的角度，利用不等式的性質來推導基本不等式；從幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過數形結合來探究基本不等式的幾何解釋；從函數的角度，通過構造函數，利用函數性質來證明基本不等式。
（3）基本不等式的代數結構也是數學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值。
因此，基本不等式的學習可以培養學生的邏輯推理、數學運算和數學建模等學科素養。
基于以上分析，本節課有這樣四個教學重點：基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋和用基本不等式解決簡單的最值問題。
二、【教學目標設置】
課程目標的制定要突出數學學科核心素養，思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點。同時要符合新課標提出的評價要求
具體目標包括：
（1）能在具體情景中抽象出重要不等式，通過從一般到特殊的邏輯推理得到基本不等式
（2）能利用不等式的性質證明基本不等式
（3）能通過幾何直觀和合作交流說明基本不等式的幾何解釋
（4）能在對基本不等式深刻理解的基礎上，利用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題
其中（1）的達成考察了學生的抽象概括能力 （2）的達成考察了學生推理論證的能力（3）的達成考察了學生的直觀想象能力，培養了學生數形結合的思想方法（4）的達成考察了學生抽象概括、推理論證的能力同時，還考察了運算求解、數學建模的能力。
三、【學生學情分析】
從學生已經掌握的內容來看，他們在上節課中已經學習了不等式的基本性質，會用作差比較法證明不等式并且在初中多次經歷了建立方程（組）模型解決實際問題的過程。但是，由于學生缺少代數證明的經驗，對于正確地運用不等式的性質對不等式進行恰當的等價變形會感到困難；其次，基本不等式的幾何解釋也是學生不容易想到的，需要數形結合地去理解。最后，在利用基本不等式解決兩類最值問題時需要理解和識別問題中的數量關系，這與學生熟悉的建立方程模型刻畫問題中的等量關系不盡相同。同時，學生在利用基本不等式研究最值問題時，容易出現忽視使用條件等問題。
因此，本節課的教學難點主要是以下兩個方面：基本不等式的幾何解釋、用基本不等式解決簡單的最值問題。
四、【教學策略分析】
（1）從全章教學內容出發，我們不僅要關注本節課的教學目標，還要關注整個單元教學目標。教學中以基本不等式的獲得與證明及簡單應用為明線，以數學思想方法的滲透和體會為暗線。按照“觀察——感知——抽象——歸納——探究”的路徑展開教學。
（2）創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，引導學生主動探索獲得基本不等式并給予證明。引領學生多角度、多方位地認識基本不等式，并了解它的幾何意義，充分滲透數形結合的思想。
（3）針對教學中重難點，主要采用啟發誘導，合作探究的教學方法實施教學。在落實幾何解釋環節，組織學生以小組為單位進行合作探究，給不同基礎的學生提供交流的平臺，并輔以信息化技術手段，賦予學生直觀感受，便于觀察。從而把一個生疏的、內在的知識，變成一個可認知的、可交流的對象，提高了課堂效率。在落實應用基本不等式解決最值問題的環節，通過啟發、引導、點撥增強學生思考問題的邏輯性和嚴謹性.及時對于學生出現的錯誤給予糾正指導，使學生感悟思想、提升能力。
五、【教學過程設計】
環節一 基本不等式的定義，包含兩個活動
活動1：欣賞數學家大會會標，提煉出里面蘊含的不等關系并通過微課探究重要不等式等號成立的條件；在實數范圍內證明重要不等式。
思考1.1.1：從會標中可以抽象出哪些幾何圖形？
思考1.1.2：如果從正方形 的面積和直角三角形的面積這個角度出發，你能找到什么樣的不等關系呢？
思考1.1.3：對于任意的直角三角形，上述不等關系恒成立嗎？
思考1.1.4：對于任意實數 不等式 依然成立嗎？
【設計意圖】融入數學史，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷史，滲透數學的文化價值，有利于學生進一步理解數學，開拓學生的視野，提升數學學科核心素養。通過適度點撥，引導學生利用圖形中的面積之間存在的數量關系，抽象出重要不等式。增強學生用圖“形”表現“數”、用“數”解釋圖“形”的意識。利用信息技術，制作微課，讓學生更加直觀地確認重要不等式中等號成立的條件，最后讓學生在實數范圍內給出重要不等式的證明，復習鞏固作差法。
活動2：借助重要不等式得推導基本不等式、給出基本不等式的定義并探究基本不等式與重要不等式的聯系和區別。
思考1.2.1：你能否借助重要不等式探尋 和 之間的不等關系？
思考1.2.2：重要不等式與基本不等式的聯系和區別
【設計意圖】在實際教學中，為了讓學生能自然聯想到用替代法，從重要不等式推導出基本不等式，我先帶領學生分析重要不等式的結構，讓學生認識到重要不等式體現的是兩個實數平方和與乘積之間的不等關系，然后提出問題“那我們如何從重要不等式中得到兩個數和與積的不等關系呢？”通過這樣的設問引導，讓學生經歷從一般到特殊的邏輯推理過程。在得到基本不等式的過程中，體會重要不等式和基本不等式實際上是一脈相承的。通過探究它們二者之間的聯系和區別，能夠更加深刻地認識基本不等式的適用范圍、等號成立條件以及其代數結構特征（即兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數）。
環節二 基本不等式的證明
思考2.1：你能直接給出基本不等式 的證明嗎？
思考2.2：還有其它證明方法嗎？
【設計意圖】基本不等式有許多證明方法，引導學生從不同角度，使用不同方法證明基本不等式。學生可能最先想到“作差法”，當然也有學生還是從重要不等式出發，利用不等式的基本性質，用綜合法給出相關證明。教科書上為我們介紹了第三種方法“分析法”，這也是一種利用不等式的性質進行證明的方法，鑒于學生可能對分析法證明的格式和為什么可以這樣證明難以理解，教學中我會特意對分析法的原理和過程進行充分的剖析，讓學生體會能用分析法證明的命題，其證明過程必須具有推理的可逆性和推理結果的唯一性，基本不等式的證明就具有這個特點。這也為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略。
環節三 基本不等式的幾何解釋
在老師的引領示范下，學生以小組討論的形式探究并展示基本不等式的幾何解釋
【設計意圖】與從“趙爽弦圖”中的相等關系和不等關系中抽象出基本不等式的變形形式這一從形到數的過程不同，這一次是已知基本不等式，尋求它的幾何解釋。使學生體會從數到形的轉化過程，讓學生從建立過程、證明方法和幾何解釋多個角度再次認識基本不等式，通過運用數學符號語言、自然語言和圖形語言三種方式刻畫基本不等式，將幾何意義和代數意義一起講解，最終達到加深對基本不等式深入理解的目的。教學中最主要的難點是讓學生將 與 與圖中的幾何元素建立起聯系，從而將基本不等式與幾何元素的大小聯系起來，因此在討論前，我先引領示范，利用兩個等腰三角形的拼接，從面積角度出發帶著同學們完成了幾何解釋，啟發它們展開討論。從實際課堂效果來看，學生的思維過程還是非�；钴S的，給出了很多意想不到的幾何解釋。有同學是從趙爽弦圖中得到啟發，從大正方形中四個全等的長方形的面積與大正方形面積的比較中得到結果，有些同學從二次函數的性質出發，利用二次函數圖象中點的坐標關系得到結果。有同學探究了等圓中半徑與弦長一半關系中得到結論。最后一組同學利用兩個圓的外切，從公切線角度出發，利用勾股定理完成證明。通過小組討論，利用信息技術進行成果展示，給學生足夠的課堂參與機會和自我領悟提升的空間.讓學生在自主探究、合作交流中獲取知識和過程性經驗.發展“四基”“四能”。
環節四 基本不等式的應用
思考4： 成立嗎？0是 的最小值嗎？
追問： 成立嗎？1是 的最小值嗎？
例1 已知 都是正數，
（1）若積 等于定值 ，你能求出和 的最小值嗎？
（2）若和 等于定值 ，你能求出積 的最大值嗎？
練習 已知 ，當 取什么值時， 的值最��？最小值是多少？
【設計意圖】課本中的例題的安排實際是給出了基本不等式解決最值問題的兩類模型。從以往的教學經驗中我發現，很多同學學習完利用基本不等式求最值后，就記住了“一正、二定、三相等”這個口訣，至于“為什么有這樣三個要求”，“怎么想到用基本不等式來解決最值問題”、“問題是否符合基本不等式應用條件”、“為什么最后需要取等”等問題根本沒有清晰認識。甚至有些同學在沒有確認和或積為定值就求最值。產生這些問題主要原因有兩個：其一、對于代數式最小值的含義不清。其二、忽視基本不等式的適用范圍。針對這些問題，我在講解例題前通過一個思考和一個追問，強調了代數式的最值必須是代數式能取到的值這一基本事實。同時講解例題的過程中再次給學生強調 “當一個問題是涉及兩個正數的積與和的最值問題時，我們就可以考慮使用基本不等式來解決”。最后，由學生展示解題過程，落實“一正、二定、三相等”這三個環節。
【歸納總結、布置作業】
1、課本46頁練習1 2 3 4 5
2、思考：還有哪些方法可以證明基本不等式
【設計意圖】課堂小結環節，回顧了重要不等式和基本不等式的探究過程、運用基本不等式求最值的條件，分析了本節課運用的思想方法。在作業布置環節，讓學生課后繼續探尋基本不等式其他的證明方法和幾何解釋。整節課貫徹了 “學生為主體，教師為主導”的教學思想。
六、【教學評價分析】
（1）核心知識評價要求
本章總共有7個核心知識，分別涉及三個認知層次，了解、理解、掌握，其中對于本節課的要求是掌握基本不等式及其應用。特別強調，對數學知識技能的評價，要關注學生能否把握知識之間的內在聯系。
（2）思想方法評價要求
本章涉及函數與方程、數形結合、化歸與轉化、特殊與一般這四個數學思想方法。與本節課相關聯的有2個，其中數形結合的思想方法的落實，要求學生能說明基本不等式的幾何解釋，特殊與一般要求學生能利用一般結論求最大值或最小值問題。教學中要特別關注學生能否掌握應用基本不等式求最值問題。
（3）關鍵能力評價要求
本章的關鍵能力主要包括抽象概括、推理論證、運算求解、直觀想象等。這些關鍵能力在本節課都有涉及。在教學中要特別關注學生能否形成利用類比、特殊與一般的關系來研究新問題的意識。要特別關注學生能否理解基本不等式這個重要的數學模型，在具體問題中，能否識別這個模型。
【板書設計】
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