視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《用信息技術探究函數的圖象與性質》山東—姜
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山東—姜尚鵬—設計—用信息技術探究函數的圖象與性質
用信息技術探究函數
的圖象與性質
山東省平度市第九中學 姜尚鵬
本節課主要內容是用信息技術探究函數
的圖象與性質以及明確研究一般函數的圖象與性質的多種路徑。本節課是在研究函數
的圖象與性質的基礎上，進一步研究一個更一般化的含有參數的函數
的圖象與性質。它的探究過程意在告訴學生研究一個一般函數圖象與性質的多種路徑，體現了數形結合、分類討論、類比和特殊到一般等思想,對于學生數學思維的訓練、核心素養的提升有著極大的幫助.因此,在學生學習完基本初等函數之后,作為單元學習的提升,安排一節課讓學生探究函數
的圖象與性質是必要的.
本節課安排在冪函數、指數函數、對數函數和三角函數等基本初等函數的學習之后,是一節探究課,一方面通過對教材的挖掘,讓學生了解函數
的圖象與性質,增進學生對“對號函數”和“飄帶函數”更深層次的理解。另一方面,引導學生通過類比與對比得到研究一般函數的圖象與性質的多種路徑,讓學生經歷從特殊到一般的提煉過程,有助于加深學生對函數的圖象與性質的理解,更為重要的是培養他們自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,積累基本活動經驗，提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養,這種以知識為載體,培養創新意識正是我們目前高中數學課堂教學所追求的目標.
基于以上分析，確定本節課的
教學重點為：探究函數
的圖象與性質的多種路徑。
二、教學目標設置
1.通過創設生活情境讓學生抽象出需要研究的函數模型
，發展學生數學建模、數學抽象的核心素養；
2.通過微課讓學生回憶起函數
的圖象與性質的研究過程，為本節課類比研究新的函數做參考；
3.通過信息技術和小組合作讓學生學會研究參數對函數的圖象與性質的影響，并嘗試給出研究一般函數圖象與性質的多種路徑，滲透數形結合、從特殊到一般的學習方法，培養學生自主探究的能力；
4.通過探究函數
的圖象與性質，培養學生自主，合作，探究的思維品質，培養學生利用數學思想方法分析和解決問題的意識，提高學生的實踐能力，積累基本活動經驗，提升學生發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力。
三、學生學情分析
從學生的知識儲備來看,上課的學生是本市學習靠前的學生,整體素質較好,且學生已經學完基本初等函數,對于函數的圖象與性質的研究方法相對較為熟悉,為本節課的探究學習提供了基礎.
從學生的能力儲備來看,學生已經具備了一定的抽象概括、數學建模和類比推理等能力,因此在探究函數
的圖象與性質過程中,可以讓學生在老師的引導下,自主進行探究。
從學生的智力水平來看,他們的智力發展已經到了形式運演階段，具備了較強的探究能力，但要上升到對一個函數通過分解的角度來研究原函數的圖象與性質還是比較困難的。
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：從對新函數的構造角度分析函數
的圖象與性質。
鑒于以上分析，我采用啟發、討論、講練結合及問題引導等教學方法，使學生形成自主學習、獨立思考、合作交流、積極探究的學習方法，從而達到以教師為主導，以學生為主體，師生共同發展的課堂教學效果.
五、教學過程
（一）創設情境，抽象函數
我校科技館要制作一個占地
的圍欄保護孔子像。如圖1所示，設圍欄的邊長
為
，因場地限制要求
不超過
，圍欄總長為
。你能幫忙設計圍欄的長和寬，使圍欄用料最省嗎？
【師生活動】學生自主構建函數模型，尋找求解最值的方法，教師引導學生思考，需要進一步研究函數的單調性。
【設計意圖】借助學生身邊的實際生活情境，讓學生構建相應函數模型，由于基本不等式解決不了，產生矛盾沖突，激發學生思考需要進一步研究一個新函數的圖象與性質。之后教師引導學生將函數一般化，擴充研究范圍，拋出研究函數
的圖象與性質。
（二）復習舊知，回憶經驗
（微課）回憶函數
的圖象與性質的研究過程。
微課內容：通過描點作圖的方式引導學生畫出函數
的圖象，之后從圖象觀察函數的性質。但對于部分性質，如值域和漸近線等,無法從圖象直接觀察得出，所以通過從“數”的角度，即解析式入手先研究函數的性質再完善函數的圖象。或者，從“形”的角度，即將函數分解成兩個熟悉函數的角度看成橫坐標相同時，縱坐標相加構成函數圖象的角度進行分析，這樣得到的函數圖象更加精確，也更容易從圖象觀察出性質。
【師生活動】教師引導學生回憶之前研究過類似函數的特例，即函數
的圖象與性質。之后教師播放函數
的圖象與性質的探究過程，學生仔細觀看并回憶。
【設計意圖】通過回憶特例：函數
的圖象與性質的研究路徑，為后續研究一般函數
的圖象與性質的研究路徑做鋪墊，并在之前研究路徑的基礎上，通過探究對研究路徑進行再擴充和再梳理。
（三）研制策略，優化方案
問題1：類比以往研究函數的經驗，你認為應該按照怎樣的思路研究函數
的圖象與性質？
【師生活動】教師提出問題，學生獨立思考，給出研究函數
的圖象與性質的思路：需要先對
進行討論，可以分成
，
，
，
四類函數。
追問：分成四類函數后，需要對這四類函數一一進行討論嗎？
【師生活動】學生經過思考后發現第三類和第四類函數的圖象實際上就是將第一類和第二類函數的圖象關于
軸對稱，所以只需要研究第一類和第二類函數的圖象與性質即可。
【設計意圖】教師通過讓學生分析研究函數
的圖象與性質的研究思路，體現了先整體架構，再逐個擊破的研究含有參數函數的一般方法。
（四）小組合作，感悟方法
問題2：每個小組選擇一類函數，你們能給出幾種研究函數的圖象與性質的路徑？
（小組合作）
【師生活動】教師把所有小組分成兩隊，兩隊的小組分別研究函數
和函數
的圖象與性質，先獨立思考，之后小組代表展示研究成果，教師引導學生梳理多種研究路徑。
【設計意圖】通過讓學生分成兩隊借助GeoGebra軟件研究兩類不同函數的圖象與性質，避免了讓學生兩類函數的圖象與性質同時研究而造成的時間浪費，通過小組合作還培養了學生的交流合作能力。之后，教師再收集每個小組的研究路徑，進行匯總和結構化梳理。最后，教師通過追問梳理出這樣的多種研究路徑：一是可以整體分析函數，把函數看成一個整體，既可以從“形”出發，由圖象研究性質，也可以從“數”出發，由性質研究圖象。二是可以分解分析函數，把函數看成兩個函數經過運算得到的，既可以從“形”出發，由兩個函數的圖象合成研究一個函數的圖象，進而通過圖象研究性質，也可以從“數”出發，由兩個函數的性質合成研究一個函數的性質，進而通過性質研究圖象。梳理完畢后，教師引導學生分析每種研究路徑的“優勢”和“不足”，讓學生進行對比，便于以后根據函數解析式的特征挑選合適的研究路徑研究一般函數的圖象與性質。
（五）思考鞏固，深化新知
問題3：通過今天的學習，你認為還能研究哪些函數的圖象與性質？給出函數并嘗試研究它的圖象與性質。
（開放題）
【師生活動】學生先獨立思考，構造研究的函數，之后通過小組合作，討論交流選擇小組共同研究的函數并借助GeoGebra軟件研究它的圖象與性質。收集學生研究的函數類型有
，
，
等。對于函數
的圖象與性質，教師通過追問讓學生產生從復合函數的角度研究函數的路徑；對于函數
的圖象與性質，教師引導學生可以研究含有一個參數的函數的圖象與性質；對于函數
的圖象與性質，教師引導學生不僅僅可以研究由基本初等函數加減得到的函數，也可以是乘除得到的函數。當然，還有很多其他的函數類型，由于時間關系，課堂沒有全部一一展示。
【設計意圖】通過開放式問題激發學生的思維，借助小組代表展示，了解學生構造的函數以及研究它的圖象與性質的路徑，既鞏固了新知，又在新知學習的基礎上拓寬了學生的思維與視野。
（六）提煉升華，課堂小結
1.本節課學習的主要知識是什么?
2.我們如何研究函數
的圖象和性質？
3.本節課涉及到了哪些數學思想？
【師生活動】學生自主總結，學生代表發言，其他同學補充。
【設計意圖】對本節課的知識進行梳理，研究路徑進行提煉，涉及的數學思想方法進行總結。
（七）文化傳承，史話數學
搜集函數的圖象與性質研究路徑的中外發展歷史，撰寫一篇相關的數學論文。
【師生活動】學生課下自主搜索材料，閱讀文獻并撰寫數學論文。
【設計意圖】通過搜集函數的圖象與性質研究路徑的中外發展歷史的相關數學史知識，拓寬學生的視野，深入挖掘新教材“文獻閱讀與數學寫作”欄目的價值，延續學生繼續學習的熱情。
（八）課后作業，承上啟下
必做作業：設函數
的最大值為
，最小值為
，則
.
選做作業：嘗試編寫一道研究由基本初等函數構成新函數的圖象與性質的題目。
【師生活動】學生課下完成。
【設計意圖】作業設計分為必做與選做,體現差異性教學，以照顧不同層次的學生，必做題鞏固了前面學習的函數
的圖象和性質，選做題設計了一個開放性題目，將學習的內容繼續推廣到研究由一般的基本初等函數通過線性運算構成的函數的圖象和性質，使學生的思維向縱深化發展。
六、設計說明
（一）板書設計：
黑板板書與多媒體展示互相補充，各有側重，既保留了重點知識、思想、方法，又達成了課堂的高效。
（二）設計特色：
1.明線與暗線齊飛，知識與素養共生
本節課以從生活實例到抽象函數模型再到對函數
的圖象和性質研究路徑的教學為明線，以發展學生的數學建模、數學抽象和邏輯推理等核心素養為暗線，通過以生活背景為切入點，追溯模型的起源，讓學生會用數學的眼光觀察現實世界；以抽象概括為落腳點，揭示模型的內涵，讓學生會用數學的思維思考現實世界；以問題探究為生長點，發現模型的外延，讓學生會用數學的語言表達現實世界，從而實現數學課堂的育人價值。
2.信息技術搭支架，深度學習真發生
GeoGebra軟件的運用，引發了學生深度思考。描點作圖法適合學生剛學習某個函數時，對函數圖象有一個初步認識時采用。當學生有了一定的知識儲備后，要進行深度探究時，借助GeoGebra軟件還是非常方便的。一是GeoGebra軟件的作圖功能，可以迅速作出函數的圖象，方便學生根據圖象猜測性質，進而通過代數方法進行說明。二是GeoGebra軟件的動態軌跡功能。學生描點作出的函數圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra軟件調動參數的變化，跟蹤函數圖象軌跡讓學生看到若干函數圖象的變化趨勢，從而總結性質，加深了學生對知識的理解。三是GeoGebra軟件操作與數學知識的融合功能。學生在研究
的圖象與性質時，分解成
和
的圖象，之后借助GeoGebra軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到
的圖象，這樣的作圖需要學生在深刻理解數學知識的基礎上才能畫出函數的圖象，這樣得到的函數圖象比單純的輸入函數解析式得到圖象更加精確，也更能訓練學生的深度思考。
3.探究與應用全開放，自主與體驗真實現
通過微課讓學生回憶之前是如何學習函數
的圖象與性質，為本節課類比學習函數
的圖象和性質做鋪墊。有了鋪墊后，整個探究過程教師完全放手，讓學生自主構建研究思路，梳理研究路徑，最后教師再收集學生的各種研究路徑，與學生共同總結與提煉。同時，將總結之后的研究路徑進行應用時，也是充分放手給學生，讓學生自主選擇研究的函數，并自主選擇合適的路徑研究它的圖象與性質，最后教師收集學生研究的各種函數類型，與學生共同總結與提煉。放手讓學生自主研究的同時又及時收回研究內容，梳理相關內容并進行總結與提煉，真正實現了“收放有度”。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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