視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課大賽《古典概型》重慶—稅
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重慶—稅長江—設(shè)計—古典概型
古典概型教學設(shè)計
教材：普通高中數(shù)學教科書數(shù)學必修第二冊（人民教育出版社A版）
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本節(jié)課時是高中數(shù)學必修第二冊第十章10.1.3古典概型的第一課時，是在有限樣本空間與隨機事件，事件的關(guān)系與運算之后，又在概率的基本性質(zhì)，事件的獨立性和計數(shù)原理之前，起著承上啟下的作用，通過古典概型的學習，學生進一步理解隨機事件和樣本點的關(guān)系、事件和樣本空間的關(guān)系，概率的意義，為研究概率的基本性質(zhì)提供具體的案例支撐．
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古典概型的學習中對等可能性的重點剖析、實驗驗證有利于進一步理解概率的有關(guān)概念，深化對古典概型這一數(shù)學模型的認識．
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通過適當?shù)谋磉_形式和分類方法例舉出隨機試驗的樣本點和樣本空間，體驗從具體事件到數(shù)學抽象的過程，也為后面概率的基本性質(zhì)，計數(shù)原理的學習做好了鋪墊．
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用隨機數(shù)表進行隨機試驗的模擬，培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想的同時，也實現(xiàn)了借助數(shù)學的抽象思維擺脫了客觀物質(zhì)條件的限制．利用計算機軟件產(chǎn)生的隨機整數(shù)，可以模擬某些隨機試驗，達到快速進行大量重復試驗的目的，也展示了計算機技術(shù)在數(shù)學上的廣泛運用．
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古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，其與生活聯(lián)系密切，便于解釋生活中的一些問題，增加學生學習數(shù)學的興趣．
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理解古典概型的兩個特征；
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能用適當?shù)谋磉_形式和分類方法通過列舉獲得古典概型的樣本空間；
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掌握古典概型的概率計算公式；
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能對樣本點的等可能性進行判斷；
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體驗用隨機數(shù)表模擬隨機試驗的過程，理解數(shù)學建模的思想，建立數(shù)學應(yīng)用的意識；
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通過動手實踐，培養(yǎng)學生的自主探究和協(xié)作互助的能力，獲得數(shù)學探究活動的體驗．
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我校為重慶市國家級重點中學，學生學習基礎(chǔ)較好，學生在初中對古典概型有了初步的學習，熟悉古典概型的計算公式，但對古典概型的兩個特征的認識和理解還有不足，需要通過具體案例，進一步提煉和辨析兩個特征，使學生深刻領(lǐng)會”有限”和”等可能”的含義．
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學生對古典概型中等可能性的要求認識尤為不足，常因未關(guān)注等可能性得出錯誤結(jié)論，如“同時投擲兩枚相同的硬幣出現(xiàn)一正一反的概率為1/3”等，需要通過辨析和實驗驗證，理解面對多個相同的物體時如何選取樣本點才能保證等可能性.
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以投擲兩個硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率問題作為實驗探究，幫助學生體會“等可能性”在實際問題中如何呈現(xiàn)，并通過對“兩個相同的硬幣”與“一大一小兩個硬幣”兩種情景的辨析，使學生掌握在面對實際問題時，如何保證等可能性．讓學生自己動手，體會在試驗、合作中得到的新知，獲得更為深刻的理解和認識．
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學生沒有隨機模擬的經(jīng)驗，通過隨機數(shù)表，引導學生探究用隨機數(shù)模擬隨機實驗的方法，培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想，并利用計算機軟件產(chǎn)生的隨機整數(shù)，模擬隨機試驗，深化對隨機模擬這一建模過程的體驗．
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古典概型是一類與生活緊密聯(lián)系，廣泛運用的數(shù)學模型，可以充分的通過生活實例讓學生體驗、感知其中的數(shù)學原理，所以選擇了一條以“體驗、思考、表達”為主線的課程設(shè)計思路．通過丟硬幣與投籃的對比，提煉古典概型的兩個特征，通過動手實驗，理解樣本點的選擇方式和等可能性，使學生在學習過程中，獲得數(shù)學探究活動的基本體驗，并運用獲得的數(shù)學知識，思考，表達藏在猜拳游戲，及抽樣情景中的數(shù)學原理．
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引入采用了生活中常見的“十五二十”猜拳游戲，其背后的數(shù)學原理與教材在P235例8一致，以貼近生活的方式將其展開．在課堂的初始階段，通過生活中常見現(xiàn)象背后的數(shù)學原理引發(fā)學生關(guān)注，展開思考和探究．
-
拋硬幣實驗前，設(shè)計了回顧“歷史上的拋硬幣實驗，實驗結(jié)果與理論吻合”這個環(huán)節(jié)，復習了可以通過大量重復實驗，用頻率估計概率這初中介紹過的知識點，即是對古典概型理論正確的驗證，也說明可以用頻率的分布來研究概率，為后面的拋硬幣實驗做好鋪墊．
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對于樣本點等可能性的認識是古典概型問題的分析重點．拋擲兩枚硬幣這個案例，在教材P227例3 也出現(xiàn)過，但這里強調(diào)了“兩個相同硬幣”這個干擾項，以及對樣本點是否等可能的探究，很多學生認為，將相同的物品進行編號，會破壞“相同物品”這一前提條件，故課程中設(shè)計了“同時拋兩枚相同的硬幣”與“同時拋兩枚不同的硬幣”的對比實驗，用所得數(shù)據(jù)驗證在“恰好出現(xiàn)一正一反的概率”這個問題上兩者的等效性，進一步說明編號才能保證樣本點的等可能性．而這一結(jié)論的獲得源于學生實際的動手操作，帶來良好的活動探究體驗．
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學生以往并沒有隨機模擬的經(jīng)驗，故在實驗環(huán)節(jié)設(shè)計了讓其中一個大組通過隨機數(shù)表，進行模擬投硬幣實驗，引導學生探究用隨機數(shù)模擬隨機實驗的方法．
-
通過實驗數(shù)據(jù)的反饋，訓練學生數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)處理的能力．
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由于本課在計數(shù)原理之前，學生目前只能通過例舉出所有的樣本點的方式計算概率，如何做到不重不漏，清晰明了就是問題的關(guān)鍵．通過在黑板上展示學生用例舉法獲得樣本空間的過程，引導學生思考列舉時怎樣創(chuàng)建合理的分類標準，怎樣選用適當?shù)姆枴⑿问健D表來清晰簡潔的表示實驗結(jié)果．
5
.1
介紹猜拳游戲，引出古典概型
引入：介紹“十五二十”猜拳游戲的規(guī)則，指出不同于其它猜拳游戲，“十五二十”存在著數(shù)學上的制勝策略，即：喊出哪一個點數(shù)獲勝概率最大？引起學生的思考，展開古典概型的教學．
【設(shè)計意圖】“十五二十”猜拳游戲，是對教材P235例8投擲兩枚骰子點數(shù)之和模型的等價轉(zhuǎn)換，通過貼近生活的方式將其展開．在課堂的初始階段，通過生活中的常見現(xiàn)象背后的數(shù)學原理引發(fā)學生關(guān)注，展開思考和探究．
5
.2
兩類概率情景的分析，引發(fā)認知沖突
提出三個問題：
-
丟一枚質(zhì)量均勻的骰子，丟出奇數(shù)的概率是多少？
-
丟一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是多少？
-
老師到操場上去投籃，結(jié)果有兩種，投進和投不進，請問老師投進的概率是多少？
分析：投骰子時，一共6個結(jié)果，奇數(shù)占其中3個,所以是
.丟硬幣一共有正面反面兩個結(jié)果，正面是其中的一個，概率也是
，但老師投籃投中的概率卻不能用
計算。
提問：老師投籃的概率該怎么算呢？
【設(shè)計意圖】對比兩類情景的概率計算方式，創(chuàng)造認知沖突，雖然都是兩個樣本點，但是概率的算法卻不同，引導學生發(fā)現(xiàn)這是兩類不同的情景，通過比較，感知古典概型的特點，并引出用頻率估計概率的方法．
分析：初中知識告訴我們，反復投，用成功的次數(shù)除以總次數(shù)獲得頻率，大量重復實驗，用頻率估計概率．
但是大量重復的試驗費時費力，我們對于一些特殊的隨機試驗能否通過建立適當?shù)臄?shù)學模型，直接計算隨機事件的概率呢？
丟硬幣一共兩個樣本點，正面占其中一個，我們計算出的概率為
，與歷史上的實驗結(jié)果高度吻合（展示歷史上的實驗）．
【設(shè)計意圖】回憶初中的知識，可通過大量重復實驗，用頻率估計概率．一方面歷史上的丟硬幣實驗證明了古典概型的正確性，也說明了我們可以借助頻率的分布來研究概率的分布，為后面“拋擲兩枚相同的硬幣”實驗，通過樣本點的頻數(shù)來驗證等可能性，獲得概率的分布特點，打下理論基礎(chǔ)．
5
.3
討論交流，通過比較，提煉古典概型的特點和計算公式
提問：投籃投中的概率就不能用
來算，投籃和丟硬幣，都是兩個樣本點，它們有什么不同？請學生相互交流討論．
分析：丟硬幣，每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的，投籃受到技術(shù)的影響，兩個結(jié)果發(fā)生的可能性不同．
提問：擲骰子的六個樣本點發(fā)生的可能性是否相同？
生：發(fā)生的可能性是相同的．
分析：丟硬幣，丟骰子都一個共同的特征，即樣本點發(fā)生的可能性相同，概括出古典概型的第一個特征：等可能性．
【設(shè)計意圖】對比兩類不同的情景的樣本點特點，獲得古典概型對等可能性的要求．
例舉另外一類隨機事件：比如在[0,1]之間任取一個實數(shù)
，有多少種結(jié)果？對比丟硬幣，丟骰子的樣本點個數(shù)，概括出有限性：樣本空間的樣本點只有有限個．
【設(shè)計意圖】有限性的直接獲得較為困難，通過對比“在[0,1]之間取任取一個實數(shù)，有多少種可能”這個問題，引導學生反向注意到古典概型樣本點有限這個特點．
概括得到古典概型的定義及計算式：如果隨機試驗E的樣本點和樣本空間同時具有等可能性和有限性，我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
一般地，設(shè)試驗
是古典概型，樣本空間
包含
個樣本點，事件
包含其中的
個樣本點，則定義事件
的概率
，其中
和
分別表示事件
和樣本空間
包含的樣本點個數(shù).
投籃的概率不能用1/2來算，就是因為我們選取的樣本點不具有等可能性，用了古典概型的公式，卻不符合古典概型的定義．所以遇見一個隨機事件，應(yīng)該先判斷它是否為古典概型．
【設(shè)計意圖】概括古典概型的定義，介于學生對古典概型的計算公式也在初中學習過，而且非常熟悉，所以不對公式的獲得進行展開．
5
.4
反例辨析，深化理解概念
提問：（1）向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么？
(2)某同學隨機地在一個圓環(huán)靶子上取一點，這一試驗的結(jié)果從點所在的環(huán)數(shù)來看只有有限個：點在10環(huán)、點在9環(huán)……點在5環(huán)．你認為這是古典概型嗎？為什么？
分析：都不是古典概型．（1）不符合有限性，（2）由于各環(huán)數(shù)所代表的面積大小不一，不符合等可能性．兩個要求，缺一不可．但是隨機實驗是不是有限個樣本點很容易判斷，等可能性這一要求卻沒有那么明顯．
【設(shè)計意圖】反例辨析，深化對等可能的性和有限性的理解．
5.5
實驗探究，理解等可能性
問題：同時擲兩枚一模一樣的硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率是多少？
分析：學生往往認為有
和
兩個不同的結(jié)果，這是由于樣本點的選擇不同導致的．樣本點的選擇有兩類：“全是反面，恰好一個正面，恰好兩個正面”和“全是反面，A硬幣正面，B硬幣反面，A硬幣反面，B硬幣正面，全是正面四種”，提出問題：
認為有4個樣本點的同學將硬幣編為A，B，為什么要編號？編號丟出的數(shù)據(jù)和不編號丟出的數(shù)據(jù)是否一致？
另外得出的兩個不同的結(jié)論，根本原因是選取的樣本點不同，但是哪一種選法才是等可能的？
展開課堂實驗：
第一組：拋兩個完全相同的硬幣，一個同學拋，另一個同學記錄一正一反，兩正，兩反分別出現(xiàn)了多少次；
第二組：拋兩個不同的硬幣，記錄數(shù)據(jù)；
第三組：提出問題：硬幣不夠了，每兩人只能分到一個硬幣，能不能用一個硬幣模擬兩個硬幣的效果呢？分析出將一個硬幣拋兩次，第一次記為A硬幣，第二次記為B硬幣即可．
第四組：提出實在沒有硬幣了，在生活中我們也常受到客觀條件的限制，無法實際操作隨機試驗，那有沒有數(shù)學的方法，幫助我們進行思想實驗？介紹隨機數(shù)表的構(gòu)成原理，引導學生運用隨機數(shù)表，設(shè)計方案模擬丟硬幣的實驗．分析出可以選取相鄰兩個隨機數(shù)，用隨機數(shù)的奇偶模擬硬幣出現(xiàn)的正反．
四組同學分別通過實驗采集數(shù)據(jù)，一四組完成第一個表格，二三組完成第二個表格．
完成表格，匯總數(shù)據(jù)，讓學生進行數(shù)據(jù)分析，表達觀點．
可以相互討論的問題包括：如果一正一反的概率為
，則數(shù)據(jù)比例大約是多少？數(shù)據(jù)是否能看出樣本點的等可能性？第一組的數(shù)據(jù)和第二組的數(shù)據(jù)比例是否一致？如果數(shù)據(jù)差異較大，產(chǎn)生的原因是什么？
最后在計算機上展示模擬實驗，通過表格軟件中的RANDBETWEEN函數(shù)可以返還兩個整數(shù)間的隨機數(shù)，為了模擬拋硬幣，可以設(shè)定在（0,1），分別代表正面，反面，這樣就可以輕松模擬出多次丟硬幣的實驗．展示模擬了丟一萬次的結(jié)果，分析得到編號后，四個樣本點是等可能的．
分析數(shù)據(jù)知：兩反，A正B反，A反B正，兩正，是等可能事件，而一正一反是它們的和．而兩個相同的硬幣，在思想上編號以后，與兩個不同的硬幣原理一致．
小結(jié)：同時拋擲兩個相同的硬幣/同時拋兩個不同的硬幣/先后拋同一個硬幣兩次，在原理上是等效的．
計算古典概型時，需要對物品進行編號，方能保證等可能性．
【設(shè)計意圖】以投硬幣實驗作為切入點，設(shè)計了四組不同的實驗，在學生動手實踐、動腦思考、數(shù)據(jù)分析的學習活動中，驗證怎樣選擇樣本點才能做到等可能．
通過四組不同的實驗，一是幫助學生理解“同時拋擲兩個相同的硬幣/同時拋兩個不同的硬幣/先后拋同一個硬幣兩次”三種情景的一致原理；二是用實驗驗證相同的物體編號后樣本點才具有等可能性；三是引導學生設(shè)計、體驗用隨機數(shù)模擬隨機實驗．在實驗過程中，突出了本節(jié)課的重點，培養(yǎng)了學生合作探究的能力，并進一步加深了學生對古典概型的理解．
5.6
古典概型的實際運用
例1：考慮下面兩個隨機實驗，求事件A和B發(fā)生的概率．
（1）一個班級中有18名男生，22名女生，采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學生，事件A=“抽到男生”；
分析：（1）共40個樣本點，它們是等可能的，抽到男生占18個樣本點，故事件A發(fā)生的概率為
；
提問：第一問若改為袋子里有18個一模一樣的藍色小球，22只一模一樣的紅色小球，從中任取一只，抽到藍色的概率是多少？
分析：仍然為
．樣本點一共40個，抽到每一個小球就是一個樣本點，需要對每一個小球編號才能保證等可能性，所以樣本點共有40個．
【設(shè)計意圖】簡單運用古典概型概率計算公式，再次體會對物品進行編號以保證樣本點的等可能性．
例1（2）：一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．
請學生到黑板上例舉出所有樣本點。
對學生的例舉過程進行點評，提醒學生例舉時是否建立了良好的分類標準，能否用樹狀圖和有序數(shù)對的形式表達樣本點．
【設(shè)計意圖】練習用例舉法得到樣本空間，引起學生對分類標準的關(guān)注，并練習通過樹狀圖和有序數(shù)對等形式對樣本點進行清晰的表達．
回到開頭提出的問題：
例2.甲乙兩人在進行“十五二十”游戲，假設(shè)雙方出拳時都等可能的在“0”“5”“10”中任選一種．
（1）請寫出樣本空間中所有的樣本點并判斷該試驗是否為古典概型；
（2）請問游戲時喊出哪一個數(shù)字獲勝概率最高？
（請同學上臺寫出樣本空間）
分析：（1）該試驗的樣本空間為
，
，
，
，
，
，
，
，
共9個樣本點，因為是出拳是等可能的，所以是古典概型；
（2）喊出10獲勝的概率最大．
對學生的書寫進行點評，展示也可以通過表格來例舉出樣本空間．分別得到了喊各個數(shù)字獲勝的概率，從而得到“十五二十”猜拳游戲的制勝策略，提出即使是生活中的一件小事，處處都藏著數(shù)學，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣．
【設(shè)計意圖】回答引入時提出的問題，進一步訓練樣本點的表達，也可以看出喊5和10，0和20獲勝的概率，從而制定“十五二十”猜拳游戲的制勝策略，體現(xiàn)數(shù)學原理在生活實際中的運用，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣．
例3.從兩名男生（記為
和
），兩名女生（記為
和
）中任意抽取兩人，估算四人的平均身高．
（1）分別寫出依次有放回的簡單隨機抽樣，不放回的簡單隨機抽樣，和“先抽一男生，再抽一女生”三種抽樣方法的樣本空間；
（2）分別求三種抽樣下，抽到兩人都是男生的概率．
分析：依次有放回簡單隨機抽樣的樣本空間為
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,共16個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為
.依次無放回簡單隨機抽樣的樣本空間為
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,共12個樣本點，抽到兩人都是男生有兩個樣本點，概率為
.
按比例“先抽一男生，再抽一女生”的樣本空間為
，
，
，
,共4個樣本點，抽到兩人都是男生的概率為0.
提問：如果男女生身高存在較大差異，應(yīng)該選擇那種抽樣方式更加科學？
分析：應(yīng)該避免出現(xiàn)樣本中兩個均為男生或者兩個均為女生這樣的極端樣本，比例抽樣最佳，其次是無放回的抽樣．
如果時間充足，則進一步提問：再提供一種抽樣方法：如果一次性從4人中抽取兩人，不講順序，樣本空間是什么？抽到兩名男生的概率又是多少？留給學生思考．
【設(shè)計意圖】對比了三種不同的抽樣方法對樣本空間的影響，通過抽取出兩人都是男生的概率的比較，解釋了分層抽樣的科學性．
5.7
總結(jié)回顧，提煉要點
課堂小結(jié)：
求解古典概型問題的一般性思路：
（1）明確實驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當?shù)姆柋硎緦嶒灥目赡芙Y(jié)果；
（2）根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；
（3）計算樣本點個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率．
【設(shè)計意圖】學生總結(jié)反思，進一步強調(diào)本節(jié)課內(nèi)容的重點和難點和方法，培養(yǎng)學生提煉、總結(jié)、概括的能力．
5.8
課后拓展，自主探究
課后調(diào)查：買彩票結(jié)果無非中與不中，那中獎的概率是不是
？怎樣選擇樣本點才是等可能的？學校后門有個賣彩票的小店，請調(diào)查常見彩票的中獎規(guī)則，并嘗試算一算中獎率是多少？
【設(shè)計意圖】有意識地將數(shù)學與生活結(jié)合，借助常見的彩票中獎率的問題，激發(fā)學生探究的熱情，做到學以致用，鞏固基本知識的同時又提升了學生分析問題和解決問題的能力．
5.9
課后練習
1、課后練習
教科書238-239頁，第1題、第2題、第 3題．
2、思考提升
下面有三個游戲規(guī)則，袋子中分別裝有球，從袋中無放回的取球，分別計算甲獲勝的概率，則游
戲是公平的是（ ）
|
游戲1 |
游戲2 |
游戲3 |
|
1個紅球和1個白球 |
2個紅球和2個白球 |
3個紅球和1個白球 |
|
取1個球 |
取1個球，再取1個球 |
取1個球，再取1個球 |
|
取出的球是紅球，則甲勝 |
取出的兩個球同色，則甲勝 |
取出的兩個球同色，則甲勝 |
|
取出的球是白球，則乙勝 |
取出的兩個球不同色，則乙勝 |
取出的兩個球不同色，則乙勝 |
A．游戲1 B．游戲1和3 C．游戲2 D．游戲2和3
3、實踐應(yīng)用
課后調(diào)查：請調(diào)查常見彩票的中獎規(guī)則，并嘗試算一算中獎率是多少？
【設(shè)計意圖】在作業(yè)的布置中，注意將雙基訓練與能力發(fā)展相結(jié)合．創(chuàng)新性地設(shè)計探究問題，有意識地將數(shù)學與生活結(jié)合，使學生能夠?qū)W以致用，既鞏固了基本知識，同時又提升了學生運用知識分析問題和解決問題的能力．
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