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視頻標簽：三角形內角和定理
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八上第七章第五節三角形內角和定理（第2課時）江西省優課
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北師大版八上第七章第五節三角形內角和定理（第2課時）江西省優課
第七章 平行線的證明
5．三角形內角和定理（第2課時）
一、學生知識狀況分析
學生技能基礎：學生在前面的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，學習了三角形內角和定理的證明以及相關應用，有相關知識的基礎，并具有一定的邏輯思維能力和嚴謹推理習慣，為本節的學習奠定了良好的基礎．
活動經驗基礎：本節課主要采取的活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流相結合、實踐和理性證明相結合的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗．
二、教學任務分析
在前面的學習中，學生對于平行線相關知識以及三角形內角和定理的靈活運用已經有了深入的了解，為今天的學習奠定了知識基礎，并且他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課安排《關注三角形的外角》旨在利用已經學習過的知識來推導出新的定理以及運用新的定理解決相關問題。為此，本節課的教學目標是：
1.掌握三角形外角的兩條性質；
2.進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧． 3.靈活運用三角形的外角和兩條性質解決相關問題。
4.進一步培養學生的邏輯思維能力和推理能力，培養學生的幾何意識。
5.通過在數學活動中進行教學，使學生能自主地“做數學”，特別是培養有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎，激發學習興趣．
三、教學過程分析
本節課的設計分為四個環節：復習引入——自主學習——探索新知——課堂練習——鞏固拓展——課堂小結
第一環節：復習引入 活動內容：
昨天我們學習了三角形內角和定理，請學生敘述三角形內角和定理的內容。
在證明三角形內角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質． 活動目的：
復習舊知，引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發學生學習興趣。
第二環節：自主學習 活動內容：
學生閱讀教材，自學本節內容． 活動目的：
培養學生自主學習能力，激發學生學習興趣。
第三環節：探索新知 活動內容：
① 三角形的外角定義
觀察下面一組圖形中∠1在各個圖形中的位置，你能發現它們的共同特征嗎？
結合圖形指明外角的特征有三：
(1)頂點在三角形的一個頂點上． (2)一條邊是三角形的一邊．
(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線．
三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角，
B
C A
1 D A C B
1 D A C
B
1 D
②畫一個三角形，再畫出它所有的外角. 想一想:
1、每一個三角形有幾個外角？ 2、每一個頂點處相對應的外角有幾個？ 3、每一個頂點處的外角有什么關系？
③兩個推論及其應用
由學生探討三角形外角的性質：
問題1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角，能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關系？
問題2：任意一個△ABC的一個外角∠ACD與∠A、∠B的大小會有什么關系呢？
由學生歸納得出：
推論1： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和． 推論 2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角． 活動目的：
通過三角形內角和定理直接推導三角形外角的兩個推論，引導學生從內和外、相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考． 注意事項：
教師應在學生充分展示自己的意見之后，有意識地引導學生從三角形的外角的角度進行思考。
新的定理的推導過程應建立在學生的充分思考和論證的基礎之上，教師切勿越俎代
35°
120°
1
1
60°
50°
45°
1
1
60°
55°
100 o
60 o
1
庖。
第四環節：課堂練習 1、 求下列各圖中∠1的度數
2、判斷題
1、三角形的一個外角等于兩個內角的和.
2、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 3、三角形的一個外角大于任何一個內角.
4、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角. 5、三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.
例2、已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求證：AD∥BC
分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”,即需證明∠DAE=∠B.
證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和） ∠B=∠C（已知）
∴∠B=2
1∠EAC（等式的性質）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=21∠EAC（角平分線的定義）
B
A
C
D
E
2
P A B
C
D
1 ∴∠DAE=∠B（等量代換）
∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行） 想一想，還有沒有其他的證明方法呢？
這個題還可以用“內錯角相等，兩直線平行”來證.
證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和） ∠B=∠C（已知）
∴∠C=2
1∠EAC（等式的性質） ∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=21∠EAC（角平分線的定義） ∴∠DAC=∠C（等量代換）
∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行） 還可以用“同旁內角互補，兩直線平行”來證.
證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和） ∠B=∠C（已知）
∴∠C=21∠EAC（等式的性質） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=21∠EAC ∴∠DAC=∠C（等量代換） ∵∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）
第五環節：鞏固拓展 活動內容：
你能比較∠2 、 ∠A的關系么？試試看。
例3:已知:如圖,P是△ABC內一點,連接PB，PC.
A
B
D P
C
求證:∠BPC ＞∠A. 證明：延長BP，交AC于點D.
∵∠BPC是△PCD的一個外角（外角的定義）
∴ ∠BPC ＞∠PDC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）
∵∠ PDC是△ABD的一個外角（外角的定義）
∴ ∠PDC ＞ ∠A .（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角） ∴ ∠BPC ＞∠A.
［分析］通過學生的探索活動，使學生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內角和定理及推論.
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角．
求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每個外角表示為與之不相鄰的兩個內角之和即得證．
證明：(略)．
結論：三角形的外角和等于360°
活動目的：
讓學生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養學生的證明思路，特別是不等關系的證明題，因為學生接觸較少，因此更需要加強練習． 注意事項：
學生對于幾何圖形中的不等關系的證明比較陌生，要引導學生找到一個過渡角，由再由不等關系的傳遞性得出結論。
第六環節：課堂小結 活動內容：
由學生自行歸納本節課所學知識：
推論1： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和． 推論 2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角． 活動目的：
復習鞏固所學知識，理清思路，培養學生的歸納概括能力． 注意事項：
學生對于三角形外角的兩個推論以及它們的應用有一定的了解。
課后作業：課本隨堂練習和習題
四、教學反思
教學中，幫助學生找三角形的外角是難點，特別是當一個角是某個三角形的內角，同時又是另一個三角形的外角時，困難就更大，解決這個難點的關鍵是講清定義，分析圖形，變換位置，理清思路。
本節課的教學設計力圖具有以下幾個特色： （1）
充分挖掘學生的潛能，展示學生的思維過程，體現“學生是學習的主人”這一主題；
（2） 從特殊到一般，從不完全歸納到合情推理，展示了一個完整的思維過程； （3）
在整個教學中盡可能的避免教學的單調性，因此編排了一題多解的訓練，為發散性思維創設情境，調動學生學習的極大熱情。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
