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視頻標簽：三角形內角和,定理的證明
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八年級數學下冊《6.5 三角形內角和定理的證明》河北省優課
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北師大版八年級數學下冊《6.5 三角形內角和定理的證明》河北省優課
八年級數學下冊《6.5 三角形內角和定理的證明》
教學設計 北師大版
一、學生知識狀況分析
學生技能基礎：學生在以前的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性質定理以及它們的嚴格證明，也熟悉三角形內角和定理的內容，而本節課是建立在學生掌握了平行線的性質及嚴格的證明等知識的基礎上展開的，因此，學生具有良好的基礎。
活動經驗基礎：本節課主要采取的活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗．
二、教學任務分析
上一節課的學習中，學生對于平行線的判定定理和性質定理以及與平行線相關的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節課安排《三角形內角和定理的證明》旨在利用平行線的相關知識來推導出新的定理以及靈活運用新的定理解決相關問題。為此，本節課的教學目標是： 知識與技能：（1）掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。 （2）靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。 數學能力：用多種方法證明三角形定理，培養一題多解的能力。
情感與態度：對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用．
三、教學過程分析
本節課的設計分為四個環節：情境引入——探索新知——反饋練習——課堂小結
第一環節：情境引入
活動內容：（1）用折紙的方法驗證三角形內角和定理．
實驗1：我們在七年級曾經把一個三角形的三個內角撕下來拼在一起得到一個平角，由此得到三角形的內角和是180°。
教師指出：這只是實驗得出的命題，不能當做定理，只有經過嚴格的幾何證明，證明命題的正確性，才能作為幾何定理，今后，在幾何里，常采用這種方法得到新知識。
那么如何證明此命題是真命題呢？能否用學過的舊知識作平行線，利用平行線的性質來證明呢？
用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，還有其它折法嗎？ （2）實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。
試用自己的語言說明這一結論的證明思路。想一想，如果只剪下一個角呢？ 活動目的：
對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。將自己的操作轉化為符號語言對于學生來說還存在一定困難，因此需要一個臺階，使學生逐步過渡到嚴格的證明． 教學效果：
說理過程是學生所熟悉的，因此，學生能比較熟練地說出用撕紙的方法可以驗證三角形內角和定理的原因。
第二環節：探索新知 活動內容：
① 用嚴謹的證明來論證三角形內角和定理． ② 看哪個同學想的方法最多？
③ 畫圖
④ 分析命題的題設和結論，寫出已知求證，把文字語言轉化為幾何語言。 ⑤ 分析、探究證明方法
⑥ 教師引導：要證三角形三個內角和是180°，觀察圖形，三個角間沒什么關系，能不能
象前面那樣，把這三個角拼在一起呢？拼成什么樣的角呢？
⑦ 學生思考與180°有關的角后回答，可拼成：①平角，②兩平行線間的同旁內角。教師
引導，要把三角形三個內角轉化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角呢？下面同學們利用準備好的三角形紙片拼一拼，畫一畫。
學生通過自主探究，可以得出以下幾種輔助線的作法：
① 如圖1，延長BC得到一平角∠BCD，然后以CA為一邊，在△ABC的外部畫∠1=
∠A。 ② 如圖1，延長BC，過C作CE∥AB
③ 如圖2，過A作DE∥AB ④ 如圖3，過C作CD∥AB。
A
B C 圖2
D E A B C D E
1 圖1
⑤如圖4，在BC邊上任取一點P，作PD∥AB，PE∥AC。 學生可能還有其它畫法。
學生通過觀察分析、歸納，使思維達到高潮，由感受性認識上升到理性認識。 請不同畫法的學生板演，并口述畫圖方法，敘述不恰當時，同學可改正， 畫法4，部分學生可能想到。
方法一：過A點作DE∥BC ∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內錯角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)
方法二：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA． ∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（兩直線平行，內錯角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)
活動目的：
用平行線的判定定理及性質定理來推導出新的定理，讓學生再次體會幾何證明的嚴密性和數學的嚴謹，培養學生的邏輯推理能力。 教學效果：
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
A
B
C 圖3
D A B
C 圖4
E F
P
添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結論，需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創造條件，以達到證明的目的．
第三環節：反饋練習 活動內容：
1、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，則∠A= ,∠B= ,∠C= 。 2、直角三角形的兩個銳角之和是 有兩角互余的三角形是
3、已知等腰三角形的一個角是50°，則其余的兩個角分別是 。 已知等腰三角形的一個角是100°，則其余的兩個角分別是 。 4、（1）一個三角形中最多有 個直角？ （2）一個三角形中最多有 個鈍角？ （3）一個三角形中至少有 個銳角？
（4）任意 一個三角形中，最大的一個角的度數至少為 . 5、已知:如圖，在△ABC中，DE∥BC,∠A=600
, ∠C=700
.
求證： ∠ADE=500.
活動目的：
通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對三角形內角和定理的概念是否清楚，能否靈活運用三角形內角和定理，以便教師能及時地進行查缺補漏． 教學效果：
學生對于三角形內角和定理的掌握是非常熟練，因此，學生能較好地解決與三角形內角和定理相關的問題。
第四環節：課堂小結 活動內容：
① 證明三角形內角和定理有哪幾種方法？
② 輔助線的作法技巧.
③ 三角形內角和定理的簡單應用. 活動目的：
復習鞏固本課知識，提高學生的掌握程度． 教學效果：
學生對于三角形內角和定理的幾種不同的證明方法的理解比較深刻，并能熟練運用三角形內角和定理進行相關證明.
課后練習：課本第239頁隨堂練習；第241頁習題6.6第1，2，3題
四、教學反思
三角形的有關知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且幾乎是研究所有其它圖形的工具和基礎.而三角形內角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也是學生最為熟悉且能與小學、中學知識相關聯的知識，看似簡單，但如果處理不好，會導致學生有厭煩心理，為此，本節課的設計力圖實現以下特點： （1） 通過折紙與剪紙等操作讓學生獲得直接經驗，然后從學生的直接經驗出發，逐步轉
到符號化處理，最后達到推理論證的要求。
（2） 充分展示學生的個性，體現“學生是學習的主人”這一主題。
（3） 添加輔助線是教學中的一個難點，如何添加輔助線則應允許學生展開思考并爭論，
展示學生的思維過程，然后在老師的引導下達成共識。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
