聯系本站客服加+微信號15139388181 或QQ：983228566 |
視頻標簽：雙曲線的,標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修2-1第二章《2.3.1雙曲線的標準方程》寧夏 - 吳忠
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服
《2.3.1 雙曲線的標準方程》教學設計
一、 教學內容解析
雙曲線與科研、生產以及人類生活有著密切的關系，因此，研究它的幾何特征及其性質有著極其現實的意義。學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步鞏固、深化和提高.如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章.所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質以及進一步學習拋物線，解決更復雜的解析幾何綜合問題奠定良好的基礎.
教學重點：理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程.
突出重點的手段：通過畫圖揭示出雙曲線上的點所滿足的條件，再通過討論歸納得出雙曲線的定義；對于雙曲線的方程，可類比橢圓方程的推導得出方程并加以比較，加深認識.
二、教學目標設置
依據教材的地位與作用，以及新課改對教學目標的要求，確定本節課的教學目標為： 1、通過教具和信息技術手段演示雙曲線的形成，由此得出雙曲線的定義并能獨立推導其標準方程；
2、通過定義及標準方程的挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力；
3、通過教師指導下的學生交流探索活動，讓學生體會數學的理性和嚴謹，培養學生實事求是和鍥而不舍的鉆研精神，形成學習數學知識的積極態度.
三、學生學情分析
授課班級為寧夏吳忠市吳忠中學高二年級學生。
從知識方面來說，學生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”，已經學習直線、圓和橢圓，較為系統地研究了他們的性質，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認識，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對含有兩個根式的方程進行化簡，并對數形結合、類比推理的思想方法有一定的體會.
從能力方面來說，作為高二年級的學生，其學習能力與理性思維都達到了一定的水
2
平.具備一定的計算、推理、知識遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力等能力，并對數形結合、類比等思想方法有了一定的感悟.
教學難點：雙曲線定義的得出和標準方程的建立.
突破難點的策略：始終以“類比”作為主線，引導學生動手實驗、觀察、交流、歸納定義；回顧坐標法求橢圓方程的步驟，親自體驗建立雙曲線標準方程的過程.
四、教學策略分析
著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發現.”雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗，所以本節課采用了“啟發探究”、“類比教學”的教學方式，重點突出以下兩點： 1、以類比思維作為教學的主線 2、以自主探究作為學生的學習方式
授之以“魚”不如授之以“漁”，教師只是課堂教學的引導者、啟發者，在新課程改革理念的指導下，要注重突出學生的主體作用.因此，在學習方法的制定上，將充分發揮學生在學習活動中的作用，通過學生主動探索、動手實踐調動學生學習的積極性，轉變學生的學習方式，形成理性、嚴謹的解決問題的態度.
五、教學媒體設計
充分發揮信息技術的作用，借助于多媒體手段來輔助教學.運用交互式電子白板結合PPT來展示教學內容，展現優美圖片、借助于幾何畫板軟件來演示動畫，讓學生產生直觀的認識，激發興趣.同時充分發揮交互式電子白板的作用，讓學生運用白板資源畫出曲線等，并借助于實物展示平臺來展示學生成果，既提高了課堂效率，也讓學生體會到信息技術的廣泛應用.
六、教學過程設計
（一）回顧舊知，實驗探索
師：前面我們學習了橢圓，回顧一下，橢圓是如何定義的？ （請一位同學回答.）
生：平面內與兩個定點F1 、F2. 的距離的和等于常數2a（2a >| F1 F2 | ）的點的軌跡叫做橢圓．
師：若將橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”.即平面內與兩個定點21,FF的距離的差等于非零常數的點的軌跡是什么?
3
學生表示不知道.
師：我們不妨通過畫圖來探究.
教師借助于拉鏈來說明作圖方法.（如圖）
師：取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉鏈拉開的兩邊上
各選擇一點，分別固定在紙板上的點F1 ，F2處，取拉頭處為M點，由于拉鏈兩段是等長的，則221FFMFMF，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，M點到F1 ，F2的距離的差為常數.這樣的動點M的軌跡是什么呢？
【學生活動】請一位同學上黑板演示(用兩段繩子來模擬拉鏈，進行作圖)，其他同學觀察、思考.
學生畫出一條曲線（如圖1）.
教師帶領學生分析：這條曲線就是滿足下面條件的點的集合：
12P={M||MF|-|MF|=}常數
師：如果使點M到F2的距離減去到點F1的距離所得的差等于同一個常數，就得到另一條曲線（圖2）.這條曲線是滿足什么條件的點的集合？
生：21P={M||MF|-|MF|=}常數
.
師：現在我們知道，平面內到兩定點距離的差為常數的點的軌跡是這樣的兩條曲線. 這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支.它是滿足這兩個條件 ①12MF-MF=常數②21MF-MF=常數的點的集合.能不能將這兩個條件統一起來呢？ 生：用絕對值.即12MFMF=常數.
師：很好.下面我們借助于幾何畫板來更直觀地感受一下雙曲線的形成.
圖1
圖2
4
【師生活動】 教師用多媒體演示雙曲線的形成,引導學生觀察，在點M運動的過程中， 12MFMF與的差有什么特征？學生不難發現，這個差是一組相反數，即動點M滿足條件12MF-MF=常數.再次驗證畫圖結果.
師：雙曲線在科研和日常生產生活中應用廣泛.(出示雙曲線相關圖片——冷卻塔、立交橋、廣州塔、埃菲爾鐵塔) 這是繼橢圓之后我們要學習的第二種圓錐曲線. （板書課題：2.3.1 雙曲線及其標準方程 指明本節課的學習內容.）
【設計意圖】通過復習回顧橢圓概念，引出新問題.從學生認知的最近發展區入手，激發學生的求知欲.通過畫圖讓學生直觀地感受雙曲線的形成，并通過優美圖片的展示，滲透數學美的教育，讓學生感受數學美的同時體會數學的應用價值. 再次激發學生的學習興趣.
（二）抽象概括，歸納定義
提出問題：剛才我們通過直觀演示，觀察到動點的軌跡是雙曲線.你們能根據剛才畫雙曲線的過程，類比橢圓的定義，歸納概括出雙曲線的定義嗎？（出示橢圓圖形及定義，引導學生類比.）
學生討論交流，很快可以得出結果：平面內與兩個定點21,FF的距離的差的絕對值等于常數（小于21FF）的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點12F,F叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距．記為21FF=2c.
[師生活動]若學生能夠得出常數小于21FF ，繼續后續問題，如果學生沒有發現，教師需要引導學生觀察、分析.
師：我們通常將定義中的常數記為2a,也就是說，雙曲線就是點集：
121
2
P={M|MF|-|MF
|=202FF}
aa，. 【設計意圖】本環節在學生經歷雙曲線形成的基礎上，類比橢圓定義，歸納概括雙曲線定義，有助于學生對雙曲線定義的理解.在這個過程中，培養學生的動手實驗能力、
5
歸納概括能力、對比分析能力，體會類比和數形結合思想方法.同時滲透數學美的教育，讓學生感受數學美的同時體會數學的應用價值. 再次激發學生的學習興趣.
（三）類比橢圓，建立方程
師：得到了雙曲線的定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對于這種曲線還具有哪些性質，尚需進一步研究. 根據解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標法先建立雙曲線的方程“定量”的描述，然后通過對雙曲線的方程的討論，來研究其幾何性質.
師：坐標法建立橢圓標準方程的步驟有哪些？
[師生活動]請學生回顧坐標法建立橢圓方程的步驟，分析雙曲線的幾何特征.請一位同學回答.
提出探究內容：你能類比橢圓標準方程的建立過程，建立適當的坐標系，推導雙曲線的標準方程嗎？
【師生活動】這一環節是本節課的難點，但前面經歷了橢圓標準方程的建立過程，學生不會感到太困難，因此本環節放手讓學生去嘗試，有困難可以互相討論.教師教師巡視、個別予以點撥指導.絕大多數學生會選擇建立焦點在x軸上的雙曲線方程.
分析如下：
(1)建系設點:取過焦點12F,F的直線為x軸，線段12F,F的垂直平分線為y軸(如圖所示)建立直角坐標系,設M(x,y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c>0)，那么12F,F的坐標分別是1F(-c,0),2F(c,0)．又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值為2a.
(2)寫動點滿足的集合:由定義可知，點M滿足集合：
1212P={M|MF|-|MF|=2}={M|MF|-|MF|=2}aa ． (3)列方程（用坐標表示條件）：
22
1||()MFxcy
,22
2||()MFxcy
,2222()()2xcyxcya得
(4)化簡方程:
將這個方程移項，使式子兩邊平衡,再兩邊平方得：
222222222222222()44()(),:(c-)x-y=(c-)
xcyaaxcyxcyaaaa移項整理兩邊平方可得
6
類比橢圓的標準方程的處理方式進行簡化,使其簡潔美觀 ，即22
222xy1c-aa
（教師待學生得到以上的結論時，請學生展示成果.講評關鍵點. 特別強調在方程的形式上可以仿照橢圓的標準方程的處理方式：由雙曲線定義2c>2a， 即c>a,設
2
2
2
c-=b(b>0)a，代入上式22
222xy-=1c-aa
，將式子進一步簡化,使其簡潔、對稱，得到
方程：22
22xy-=1>0,b>0b
aa.
（5）驗證說明（由教師帶領學生分析.）
師：由推導過程可知，雙曲線上任意一點的坐標都滿足方程22
22xy-=1>0,b>0b
aa，
同時，以方程的解為坐標的點到雙曲線的兩個焦點1F(-c,0),2F(c,0)的距離之差的絕對值為2a,即以方程的解為坐標的點都在雙曲線上.由曲線與方程的關系可知，該方程就是雙曲線的方程，我們把它叫做雙曲線的標準方程.它表示的雙曲線焦點在x軸上，焦點坐標分別為1F(-c,0),2F(c,0)，這里222c+ba.（教師板書兩種形式的標準方程）
師：你能得到焦點在y軸上的雙曲線的標準方程嗎？
生：類比橢圓，只要交換方程中的x和y即可.這樣就得到了焦點在y軸上的雙曲
線的標準方程, 即為22
2210,0yxabab
.（教師板書）
得到了雙曲線的定義和方程.借助于表格進行雙曲線再認識.強化概念. 定義 圖象 方程 焦點
a、b、c的關系
【設計意圖】這一過程由學生自主完成，這樣設計使學生完全成了學習的主人，由被動的接受變成主動的獲取.通過雙曲線標準方程的建立過程，訓練學生的運算能力、推
7
理論證能力、探究能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生的合作意識和嚴謹的學習態度，滲透數形結合的數學思想.并感受雙曲線方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悅！ （四）初步應用，例題講析
師：學習了新知識，就要應用，來看習題. 練習：
（1）已知兩定點)0,5()0,5(21FF若動點P到21,FF的距離的差的絕對值等于6，則動點P的軌跡是 （ ）
A 雙曲線 Ｂ圓 Ｃ射線 Ｄ 線段
（2）已知兩定點)0,5()0,5(21FF若動點P滿足621PFPF，則動點P的軌跡是（ ）
A. 雙曲線的右支 B. 雙曲線的左支 C. 以1F為頂點的射線 D. 以2F為頂點的射線
例1、已知雙曲線兩個焦點的坐標為 F1 (-5,0) F2(5,0) ，雙曲線上一點P到F1、F2 的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程.
【師生活動】先由學生獨2立去做，待大部分同學完成后，由學生敘述，教師板書.例1要強調待定系數法求雙曲線方程的步驟：先確定焦點位置，再待定出方程，然后求解方程中的a和b，最后寫出所求方程.
例2、求適合下列條件的雙曲線的方程 （1)a=4,b=5,焦點在x軸上； (2)a=3,c=5.
練習是屬于概念辨析題，可以進一步理解雙曲線的定義.例1主要是運用待定系數法求解雙曲線的標準方程.例2在例1的基礎上再次強化待定系數法的應用，同時對學生進行分類討論數學思想的滲透，達到拓展知識、提高能力的目的.
【設計意圖】 數學概念是要在運用中得以鞏固的，通過例題使學生進一步理解雙曲線的定義，掌握雙曲線標準方程的求解方法，并在解題過程中滲透數形結合的數學思想.通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法，從而實現對
8
知識的再次深化.
（五）知識總結，形成體系 出示問題：
1.本節課你學到了什么知識？ 2.研究雙曲線用到了什么思想方法？
讓學生自己進行總結，相互補充，教師點評：
本節課首先通過畫圖揭示出雙曲線上的點所滿足的條件，由此歸納概括出雙曲線的定義，運用坐標法建立了雙曲線的標準方程，在習題中應用待定系數法求雙曲線的標準方程.在整個過程中，類比橢圓的定義、圖象和標準方程的探究思路來處理雙曲線的類似問題.在這一學習過程中也進一步體會了數形結合的思想.
【設計意圖】 以問題形式來引導學生自我總結.通過總結使學生對所學的知識有一個完整的體系，突出重點，抓住關鍵，培養概括能力.同時，通過提煉數學的基本思想方法，提高學生的數學素養.
（六）布置作業，鞏固提高 必做題: 課本55頁 練習2，3題 選做題: 課本61頁 習題A 組2題
課外作業：查閱資料：ＧＰＳ中的雙曲線導航原理.
【設計意圖】 作業設計有梯度，分為必做題和選做題，注重不同層次的學生的認知水平,學生可以根據自己的實際學習情況完成作業，盡量做到讓不同層次的學生都能有所收獲.課外作業為學生利用雙曲線性質解決實際問題做準備，既可以拓展學生的知識，又可以讓學生體會到數學在現實中的廣泛應用. 五、教學設計說明
1. 本節課以新課程的教學理念為指導，充分體現素質教育的重點：培養學生的創新精神和實踐能力.
2.本節課不僅重視結論，也重視知識的生成過程，整個教學過程注重啟發探究、類比教學方式的應用，是研究性教學的一次有益嘗試.在教學過程中，教師作為引導者、參與者、合作者，努力引導學生動手、探索、分析，親身經歷知識形成的過程.在整個教學
9
過程中滲透了類比、數形結合等數學思想.
3.在教學過程中通過學生動手實踐、自主探索，培養其分析、交流、抽象概括及數學表達的能力. 在建立雙曲線的標準方程的過程中，提高學生運用坐標法解決幾何問題的能力及運算能力. 借助于信息技術平臺，也使得教學更加直觀生動.
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
