視頻簡介：
視頻標簽：應用一元,二次方程
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學北師大版九年級上冊《2.6應用一元二次方程》重慶
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學北師大版九年級上冊《2.6應用一元二次方程》重慶市璧山來鳳中學校
《2.6應用一元二次方程》教學設計
教材分析：《應用一元二次方程》是北師大版2013課標版九年級上冊第二章第6節第一課時的內容,本節課的教學內容主要是平面幾何問題(梯子下滑問題、航海問題)的教學。將全章所強調的以一元二次方程為工具把實際問題模型化的思想提高到新的高度，為解決復雜的實際問題提供了基本的思路和方法，同時，它對于運用其他數學模型（如二次函數等）解決實際問題具有很強的示范作用。
學情分析：學生在七年級上冊學習一元一次方程，八年級上冊學習二元一次方程組，八年級下冊學習分式方程時，已經經歷了用一元一次方程、二元一次方程組、分式方程解決實際問題的基本過程，習得了數學建模的思想方法。而且學生在學習一元二次方程的定義、解法時經歷了列一元二次方程解決簡單實際問題的過程，掌握了列方程組解應用題的一般步驟，基本上學會了尋找等量關系并建立方程模型的方法。但是，部分學生對實際問題仍存在排斥的心理，當看到是很長的文字題目就不想看了。而這個問題的根源在于學生不能根據題意找到相關的等量關系，所以對本節課設計的重點在于引導學生突破這個重難點，幫助學生克服對實際問題的恐懼心理，提高學生分析問題、解決問題的能力，充分體會到一元二次方程應用的廣泛性和有效性。
我的思考：
1．多彩的問題情境能夠激發學生對數學的興趣，所以問題設計應該從學生身邊的問題入手，激發學生的探究欲望，提高學生主動學
習、主動探究的興趣。
2.學習一元二次方程的定義、解法的時候已經經歷了用二元一次方程組的方法解決實際問題的基本思路，所以本節課應該不同于一般例題內容的教學，應該以探究學習的方式完成，以啟發誘導為主，設計必要的問題作為鋪墊，讓學生獨立閱讀題目，學會從實際問題中提取數學信息并轉化為數學語言，準確地找出已知量和未知量，通過等量關系建方程。要留給學生足夠的思考時間，鼓勵學生探究不同的分析問題、解決問題的方法，使探究過程活躍起來，激發學生的思維，培養分析問題、解決問題的能力，使他們收獲更大。
3.本節課蘊含的數學思想是將實際問題抽象為方程的數學建模思想，所以本節課要著重培養學生的數學建模的核心素養。
一、教學目標：
1.能夠找出實際問題中的已知量和未知量，經歷分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型。
2.在列方程解決實際問題的過程中，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般步驟，進一步提高分析問題、解決問題的能力。
3.能根據具體的實際意義檢驗結果的合理性，增強數學應用意識和能力。
二、教學重點：探究用一元二次方程解決實際問題的過程。 教學難點：發現問題中隱含的未知量，尋找等量關系并列出
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一元二次方程，用方程的解來解釋實際問題的解。
三、教學方法：引導、啟發學生自主探索、合作交流 四、學習方法：自主閱讀法、合作學習法 五、教學準備：導學單、課件、幾何畫板 六、教學過程
教學流程
活動名稱
主要內容及目的
一、 創設情境，回顧舊知
（10分鐘）
主要內容：解決梯子下滑問題
目的：從學生身邊的問題出發，激發學生的學習興趣，調查學生起點在哪里？ 回顧用方程解決實際問題的一般步驟。 二、 探究新知，感受建模
（20分鐘） 主要內容：軍艦、補給船相遇問題 目的：學會從實際問題中提取數學信息并轉化為數學語言，準確地找出已知量和未知量，通過等量關系建一元二次方程。 三、 總結歸納，提煉步驟
（2分鐘）
總結運用一元二次方程解決實際問題的一般步驟
四 、利用新知，嘗試應用
（5分鐘）
主要內容：《九章算術》“勾股”章：兩人相遇問題。
目的：體驗數學與生活的緊密聯系 五、 課堂小結，內化新知
（2分鐘） 學生自主梳理列方程組解決問題的一般步驟，體會數學建模思想的重要意義。
六、布置作業
（1分鐘）
教材練習題
教 學 過 程
問題與情境 問題 備注 活動1、發現自我 1、展示直角三角形圖形
（1）勾股定理是勾股定理我國最早發現的，它揭
鋪設問題情境，奠定知識
看見這個熟悉的圖形，你想到了什么定理？
2、梯子下滑問題
一個長為10 m的梯子斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面垂直距離為8 m，（1）如果梯子的頂端下滑1 m時，那么梯子底端滑動多少米？
（2）當梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和梯子頂端下滑的距離相等？
示的什么內容？ （2）應用勾股定
理的條件是什么？如何沒有直角三角形，我們該怎么辦？
（1）首先要解決
這個實際問題可以把它抽象為什么幾何圖形？
（2）當梯子的頂
端下滑1 m時，你能用算術方法求梯子底端滑動的距離嗎？
（3）如果梯子頂端下滑的距離與底端滑動的距離
相等，你還能用算術方法求梯子頂端下滑的距離
基礎 【學生活動】
1. 學生獨立思考、解答問題； 2. 學生舉手發言、分享解題思路；
3. 學生經歷從算術到方程的過程，順利引入本課。
4. 學生嘗試用一元二次方程解決實際問題（學生板書，寫出完整過程）。 【教師活動】
1． 幾何畫板
演示梯子的動態過程；
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嗎？你準備用什么方法解決？請你獨立思考！
（4）你列出的是什么方程？（點題：應用一元二次方程）
（5）請同學們解答這個問題（教師只是觀察學生答題情況，完成之后進行評價，看審、設、列、解、撿、答是否完整！） （6）通過梯子問題，我們一起來回顧一下列方程解應用題的基本步驟
2.對學生的解答及解答進行評價。
3.引導學生回顧應用列方程解解應用題的基本步驟！
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活動2、挑戰自我 軍艦、補給船相遇問題
例. 某海軍基地位于點A處,在其正南方向200海里處有一重要目標B,在B的正東方向200海里處有一重要目標C.小島D位于AC的中點,島上有一補給碼頭;小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向.一艘軍艦從A出發,經B到C勻速巡航,一艘補給船同時從D出發,沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達軍艦. 已知軍艦的速度是補給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處,那么相遇時補給船航行了多少海里?(結果精確到0.1海里)
（1）請同學們仔細讀題，分析題中的已知量和需要解決的問題，并在圖形中標注出來。（2）要求DE，我們應該構造什么樣的圖形呢？圖形上有嗎？如何構造呢？
（3）我們不妨DE的長為x，請同學們根據題中的等量關系列出方程，然后在小組內交流一下你的思路。學生展示列出方程的思維過程！（上臺講解），然后解答！（教師評價）
（4）除了設DE【學生活
動】
（1）學生獨立思考，分析題中已知量，要求的問題，并在圖形中標注出來； （2）學生舉手發言，分享審題過程。
（3）學生獨立思考，列出方程。 （4）組內討論，交流所列方程的正確性。完成詳細的解答過程。 （5）小組代表分享解題思路，學生上臺分享！
【教師活動】 展臺展示學生解
題過程為x以外，還有其他的設法嗎？（列出方程即可）
總結：通過本題你有什么值得與大家分享的呢？請大家說一說
例如：解決幾何問題一定圖形先行，沒有基本圖形就構造； 讀懂題意，找出它們的路程關系！
（1）啟發學生思考，點撥學生對問題中不理解的
地方或疑惑的地方；
（2巡視，個別指導；
（3）參與小組討論；
傾聽、點撥、評價學生發言 【設計意圖】 通過審題，讓學生明確題目中告訴的已知條件以及要解決的問題。
通過未知數的不同設法，體會從不同角度分析問題、解決問題的方法，培養
學生的創新精神。
活動3、成就自我
《九章算術》“勾股”章中甲乙相遇問題
《九章算術》“勾股”章中有一題:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會.問甲乙各行幾何?”
大意是說:已知甲,乙二人同時從同一地點出發,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時,甲,乙各走了多遠?”
學生獨立完成 教師評價
【師生活動】 展臺展示學生解題過程學生獨立分析、解決甲乙相遇問題 投影
通過解決古文字應用題，充分調動學生的學習積極性，體會數學與生活的緊密聯系，增強學生熱愛中國數學文化的意識。
課后作業
必做題：軍艦、補給船相遇問題 變式：如果軍艦的速度是補給船的
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1.2倍（題中其他條件不變），那么軍艦與補給船應在哪段相遇？并求出相遇時補給船航行了多少海里?
選做題：收集一元二次方程解決那
些問題？
課堂小結
利用一元二次方程解決實際問題，你經歷了哪些過程？這三個問題的相同點是什么？這三個問題的不同點是什么？
這三個問題的相
同點是什么？
這三個問題的不同點是什么？
【教師活動】 今天我們解
決的梯子下滑問題、航海問題都是通過構造直角三角形，利用勾股定理建立一元二次方程來解決的，其實一元二
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次方程的應用遠遠不只這些，在以后的學習中，還有更多的實際問題需要我們去探索。 【設計意圖】 學生自主回憶解決問題的過程，培養學生總結歸納的能力。
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
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