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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)高中

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《超幾何分布》重慶—何

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重慶—何春強(qiáng)—設(shè)計(jì)—超幾何分布

§7.4.2  “超幾何分布”教學(xué)設(shè)計(jì)
人民教育出版社    普通高中教科書（A版）     選擇性必修第三冊(cè)
【授課內(nèi)容】     超幾何分布
【課時(shí)與課型】   一課時(shí) 新授課
【教學(xué)內(nèi)容解析】
超幾何分布是人民教育出版社普通高中教科書（A版）選擇性必修第三冊(cè)第七章第4節(jié)第2課時(shí)內(nèi)容，是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的一種離散型隨機(jī)變量的概率分布，它與二項(xiàng)分布一樣，都是描述從有限（）個(gè)物件（其中包含個(gè)指定種類的物件）中抽出個(gè)物件，成功抽出該指定種類物件次數(shù)的概率分布情況.不同的是，二項(xiàng)分布采用有放回抽樣，超幾何分布采用不放回抽樣！因其概率形式與“超幾何函數(shù)”的級(jí)數(shù)展式的系數(shù)有關(guān)，故稱為超幾何分布.
超幾何分布與二項(xiàng)分布都是特殊的離散型隨機(jī)變量的分布，在日常生活中大量存在，他們有著相同的數(shù)學(xué)期望，但抽取方式不同，超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，放回與不放回對(duì)的影響都很小，此時(shí)，超幾何分布可以與二項(xiàng)分布近似.
超幾何分布的學(xué)習(xí)安排在一般離散型隨機(jī)變量及其分布列之后，緊接二項(xiàng)分布，通過具體實(shí)例，去感受“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區(qū)別與聯(lián)系，這種由一般到特殊，由抽象到具象的辨析對(duì)比，自然關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也是對(duì)本章知識(shí)的一種深度理解與完美總結(jié).
教學(xué)重點(diǎn)：超幾何分布，超幾何分布的分布列和均值.
【教學(xué)目標(biāo)設(shè)置】
1.通過對(duì)比放回和不放回抽樣說明超幾何分布的特征，能求超幾何分布的分布列、均值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；
2.能用自己的語(yǔ)言解釋二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系，并能夠正確選擇模型解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
【學(xué)生學(xué)情分析】
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)完整的學(xué)習(xí)了一般離散型隨機(jī)變量及其分布列的內(nèi)容，明確了研究離散型隨機(jī)變量及其分布列的一般方法，同時(shí)，通過二項(xiàng)分布的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)“有放回”摸球試驗(yàn)已經(jīng)非常熟悉，這些都有利于我們進(jìn)行“不放回”摸球試驗(yàn)的教學(xué).但超幾何分布的概率依托于古典概型，要借助組合數(shù)的計(jì)算，特別是對(duì)超幾何分布的數(shù)字特征進(jìn)行研究時(shí)，公式推理較復(fù)雜，計(jì)算量也較大.另外，在對(duì)二項(xiàng)分布和超幾何分布進(jìn)行對(duì)比分析時(shí)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的能力.通過設(shè)置有趣的情境案例，借助PPT、Excel等多媒體軟件，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)字運(yùn)算效率，讓學(xué)生直觀感受二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系.
教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際問題中抽象出模型的特征；超幾何分布期望的推導(dǎo)以及區(qū)別二項(xiàng)分布和超幾何分布.
【教學(xué)策略分析】
為了便于教學(xué)的順利切入和展開，本節(jié)課從一個(gè)有趣的生活案例引入，通過對(duì)“有放回”和“不放回”兩種抽獎(jiǎng)方式的對(duì)比分析，在學(xué)生作“決策”的過程中“悄無聲息”的提出超幾何分布的概念，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想、推理論證超幾何分布的均值.再通過一個(gè)數(shù)據(jù)較大的摸球模型，借助Excel計(jì)算功能，讓學(xué)生感受超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系。這樣分散了教學(xué)重難點(diǎn)，通過由特殊到一般再到特殊的層層推進(jìn)，設(shè)計(jì)“問題串”教學(xué)，以問題的提出，問題的解決為主線，始終在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動(dòng)，生生互動(dòng)中完成超幾何分布的探究與學(xué)習(xí)。
為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究積極性，使每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象過程，遵循以學(xué)生為主體，教師是課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者的課堂教學(xué)原則，教學(xué)上采取“啟發(fā)式教學(xué)”方法，學(xué)生主要采取自主學(xué)習(xí)和小組合作相結(jié)合的“探究式學(xué)習(xí)法”，小組合作也為不同認(rèn)知的學(xué)生提供了學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和幫助.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】
引導(dǎo)語(yǔ)  上一節(jié)我們認(rèn)識(shí)了建立在重伯努利試驗(yàn)基礎(chǔ)上的二項(xiàng)分布，本節(jié)課我們來認(rèn)識(shí)另外一種常見的概率分布模型.
環(huán)節(jié)一　實(shí)例引入，提出問題
問題1　雙11即將來臨，某商家擬推出一項(xiàng)抽獎(jiǎng)優(yōu)惠活動(dòng)：在一個(gè)不透明的盒子里放有外觀相同的10個(gè)乒乓球，其中有3個(gè)乒乓球的表面上寫有“獎(jiǎng)”字，顧客消費(fèi)滿500元便可獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次從盒中任意摸取一個(gè)球，抽中帶有“獎(jiǎng)”字的乒乓球，均可獲得50元現(xiàn)金代用券.現(xiàn)有兩種抽獎(jiǎng)方式可供選擇：有放回抽獎(jiǎng)和不放回抽獎(jiǎng)，請(qǐng)同學(xué)們利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，給出合理的決策方案.
師生活動(dòng)  每組同學(xué)分成兩個(gè)小組，分別進(jìn)行“有放回抽獎(jiǎng)”和“不放回抽獎(jiǎng)”兩種方案的計(jì)算，然后再進(jìn)行小組討論，給出合理的決策方案.
記中獎(jiǎng)的次數(shù)為，獎(jiǎng)金為元，則.
事實(shí)上，若采用有放回抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為0.3，且各次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)服從二項(xiàng)分布，即，，（元），其中.
若采用不放回抽獎(jiǎng)，則每次抽取時(shí)條件不同，且各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，不滿足重伯努利試驗(yàn)的特征，此時(shí)不服從二項(xiàng)分布，只能根據(jù)古典概型求的分布列.而在不放回抽獎(jiǎng)過程中，逐個(gè)不放回抽取2個(gè)乒乓球和一次性抽取2個(gè)乒乓球，結(jié)果相同，故可用如下方法求的分布列.
從10個(gè)乒乓球中任取2個(gè)共有種不同的取法，中獎(jiǎng)個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2.恰有個(gè)中獎(jiǎng)的取法有種.
.
即隨機(jī)變量的分布列為

，（元），
其中

.
由于兩種抽獎(jiǎng)方式獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望都是30元，但不放回抽獎(jiǎng)的方差更小，所以選擇不放回抽獎(jiǎng)方式.
設(shè)計(jì)意圖  通過具體的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生積極思考并參與互動(dòng)，說出自己的見解，從而引入超幾何分布的概念.
環(huán)節(jié)二　抽象概念，內(nèi)涵辨析
問題2　上述問題中不放回抽獎(jiǎng)方式不服從二項(xiàng)分布，你能說說這類不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征嗎？你能根據(jù)這些特征嘗試歸納出這一類分布的概念嗎？
師生活動(dòng)  學(xué)生觀察比較上述問題的放回與不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，歸納出超幾何分布模型的特征，教師進(jìn)行總結(jié).
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為
.
其中，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布，記作.
追問1  公式中各個(gè)字母的含義是什么？
師生活動(dòng)  －總體中的個(gè)體總數(shù)；
－總體中的特殊個(gè)體總數(shù)（如次品總數(shù)）；
－樣本容量；
－樣本中的特殊個(gè)體數(shù)（如次品數(shù)）.
追問2  相關(guān)字母的限定是什么？
師生活動(dòng)  .
設(shè)計(jì)意圖  通過比較放回與不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，歸納出超幾何分布模型的特征，由特殊到一般地得出超幾何分布的分布列，加深學(xué)生的理解和思考.
例1　一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.
師生活動(dòng)  教師采用下列問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：零件中不合格品數(shù)服從什么分布？若服從超幾何分布，則公式中的在本題中各是多少？
設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為，則服從超幾何分布，且，的分布列為
.
則至少有1件不合格的概率為

另解  .
注意  （1）超幾何分布的模型是不放回抽樣.
（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率.
設(shè)計(jì)意圖  通過本例的分析與解答，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解超幾何分布的概念及其特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng).
問題3　根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，定義了超幾何分布后，接下來要研究什么呢？
追問3  你能推導(dǎo)出服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值嗎？
師生活動(dòng)  學(xué)生獨(dú)立探究，然后展示、交流，教師予以引導(dǎo)完善，最后師生共同總結(jié).
設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布，則可以解釋為從包含件次品的件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則是件產(chǎn)品的
次品率，而是抽取的件產(chǎn)品的次品率，猜想，即.
實(shí)際上，由隨機(jī)變量均值的定義，令，有
.
因?yàn)?img height="47" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image111.png" width="133" />，所以
     .
超幾何分布的方差計(jì)算比較復(fù)雜，不作要求，感興趣的同學(xué)可以嘗試推導(dǎo)：
.
設(shè)計(jì)意圖  通過探究服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值，加深學(xué)生對(duì)于超幾何分布的認(rèn)知，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.
環(huán)節(jié)三　例題練習(xí)，鞏固理解
例2　一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的小球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).
（1）分別就有放回和不放回摸球，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差的絕對(duì)值不超過0.1的概率.
師生活動(dòng)  教師可以用下列問題引導(dǎo)學(xué)生思考：
（1）本題中每次摸球是一個(gè)什么試驗(yàn)？
（2）若采用有放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果獨(dú)立嗎？服從什么分布？
（3）若采用不放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果獨(dú)立嗎？服從什么分布？
因?yàn)橹挥袃煞N顏色的球，每次摸球都是一個(gè)伯努利試驗(yàn).摸出20個(gè)球，若采用有放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，；若采用不放回摸球，則各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，服從超幾何分布.
（1）對(duì)于有放回摸球，由題意知，則的分布列為
.

對(duì)于不放回摸球,由題意知服從超幾何分布，則的分布列為
.

（2）在Excel中（對(duì)于組合數(shù)，可以直接調(diào)用函數(shù)COMBIN進(jìn)行計(jì)算）計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.00001），如下表所示:

0	0.00004	0.00001	11	0.07099	0.06376
1	0.00049	0.00015	12	0.03550	0.02667
2	0.00309	0.00135	13	0.01456	0.00867
3	0.01235	0.00714	14	0.00485	0.00217
4	0.03499	0.02551	15	0.00129	0.00041
5	0.07465	0.06530	16	0.00027	0.00006
6	0.12441	0.12422	17	0.00004	0.00001
7	0.16588	0.17972	18	0.00000	0.00000
8	0.17971	0.20078	19	0.00000	0.00000
9	0.15974	0.17483	20	0.00000	0.00000
10	0.11714	0.11924

樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算得
有放回摸球：.
不放回摸球：.
因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.


注意  兩種摸球方式下，隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（如下圖）看，通過統(tǒng)計(jì)比較兩種不同分布在隨機(jī)變量取值在5－11的概率，可以發(fā)現(xiàn)超幾何分布更集中在均值附近.
設(shè)計(jì)意圖  通過解決實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)超幾何分布與二項(xiàng)分布在均值與方差上的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，為問題4做鋪墊.
問題4  二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別是什么？
師生活動(dòng)  學(xué)生思考二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別，嘗試回答，教師加以引導(dǎo)和完善，最后師生共同總結(jié).
可以通過均值和方差對(duì)比二項(xiàng)分布和超幾何分布，如下表所示：

抽樣方式	的分布
有放回	二項(xiàng)分布
無放回	超幾何分布

（1）在抽樣試驗(yàn)如抽次品或摸球模型中，二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，有放回抽取是二項(xiàng)分布，不放回抽取是超幾何分布.兩個(gè)分布的均值相同，但由于，因此超幾何分布的方差小于二項(xiàng)分布的方差，即超幾何分布取值更集中于均值附近.
（2）對(duì)于超幾何分布，當(dāng)充分大，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，各次抽樣結(jié)果彼此影響很小，可以近似認(rèn)為是相互獨(dú)立的.因此，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.從方差角度看，由于，兩個(gè)分布的方差也近似相等.
（3）在確定分布列時(shí)，超幾何分布必須同時(shí)知道和，而二項(xiàng)分布只需要知道即可.
設(shè)計(jì)意圖  通過典型例題解析，在具體的問題情境中，深化對(duì)超幾何分布的理解.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)四　小結(jié)提升，形成結(jié)果
問題5  回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并回答下列問題：
（1）超幾何分布的分布列是怎樣的？
（2）超幾何分布的均值是多少？
（3）在抽樣試驗(yàn)（如抽次品或摸球模型）中，如何區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布？
師生活動(dòng)  學(xué)生嘗試獨(dú)立解決，其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充回答，然后師生共同總結(jié).
（1）超幾何分布的分布列：.
（2）超幾何分布的均值：.
（3）在抽樣試驗(yàn)（如抽次品或摸球模型）中，二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，有放回抽取是二項(xiàng)分布，不放回抽取是超幾何分布，且二項(xiàng)分布與超幾何分布的均值相等，超幾何分布的方差更小.
設(shè)計(jì)意圖  通過對(duì)問題的深入思考，加深對(duì)超幾何分布的理解與認(rèn)知，體會(huì)二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系和區(qū)別.
環(huán)節(jié)五　目標(biāo)檢測(cè)，檢驗(yàn)效果
1.下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（　　）
A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)
B.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)
C.某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為
D.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)
2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為　　　　.
3.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：
①不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)的均值；
②放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)的均值.
設(shè)計(jì)意圖  第1、2題檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容的理解和掌握程度，即能否準(zhǔn)確識(shí)別超幾何分布模型，能否求出超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望；第3題檢測(cè)學(xué)生對(duì)二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別的理解程度，是對(duì)本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)效果的即時(shí)檢測(cè).
參考答案
1. .
2. 次品數(shù)服從超幾何分布，則.
3. ①方法一：
.
∴隨機(jī)變量的分布列為
方法二：由題意知，
∴隨機(jī)變量服從超幾何分布，，∴.
②由題意知，每次取到次品的概率為，∴，
∴.
環(huán)節(jié)六　布置作業(yè)，應(yīng)用遷移
作業(yè)1：舉出一個(gè)服從超幾何分布的隨機(jī)變量的例子；
作業(yè)2：教科書第81頁(yè)習(xí)題7.4第4、6、8題.
設(shè)計(jì)意圖  通過學(xué)生自主舉例，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)超幾何分布概念的理解，后面3道題是離散型隨機(jī)變量概率分布的實(shí)際應(yīng)用題，主要訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
【板書設(shè)計(jì)】

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