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視頻標簽：二次函數與,一元二次方程
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版數學九年級下冊《二次函數與一元二次方程》（1）河南省 - 平頂山
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2.5《二次函數與一元二次方程（第1課時）》
學情分析及教學任務
從心理學特征來說，九年級學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察
能力、記憶能力和想象能力也迅速發展，同時這一階段學生易發表見解，希望得到老師的認可.因此在這節課的教學中一方面用實際問題及探究活動吸引學生的注意力，另一方面創造條件和機會讓學生發表見解，發揮學生的主動性.
從知識技能基礎來說，學生在八上已經有過研究函數和方程關系的經驗，為這節課奠定了基礎.學生已經學習過二次函數的圖象和性質，這是從函數知識“形”的層面進行認識，本節課學習二次函數與一元二次方程之間的關系，將從方程知識“數”的層面進一步認識二次函數，也就是用數形結合的數學思想來研究二次函數.
本節課的教學任務，通過建立模型引出函數和方程的聯系，積累學生數形結合方法的運用經驗，經歷探索二次函數與一元二次方程關系的過程；理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，利用二次函數圖象理解與x軸交點的橫坐標就是其對應的一元二次方程的根，進一步培養學生運用數形結合思想解決問題的能力.
教學目標
知識與技能：
探索二次函數與一元二次方程的關系，體會方程與函數之間的聯系. 數學思考與問題解決：
1.理解二次函數cbxaxy2
的圖象與x軸交點的個數與一元二次方
程02
cbxax根的個數之間的對應關系.
2.理解二次函數cbxaxy2
與x軸交點的橫坐標是一元二次方程
02cbxax的根，體會用數形結合來解決問題.
情感與態度：
1.在探索二次函數與一元二次方程關系的過程中，培養學生的自主探索及合作交流意識，體會數形結合的思想.
2
2.通過探索二次函數與一元二次方程的關系，使學生體會數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.
教學重點
理解二次函數cbxaxy2
的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程
02cbxax的根的個數之間的關系.
教學難點
理解二次函數cbxaxy2
與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程
02cbxax的根.
教學過程
第一環節：復習提問，感知聯系
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△ =______.
當△﹥0時，方程根的情況是______________；
當△=0時，方程根的情況是______________； 當△﹤0時，方程根的情況是______________。
2、二次函數y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，且a≠0)圖像是一條_____，它與x軸的交點有幾種可能的情況？
設計意圖：通過復習一元二次方程根的情況及二次函數的圖像性質，為本節課奠定知識基礎.讓學生感知當二次函數的y=0時會形成一元二次方程.
第二環節：解決問題，發現問題
我們已經知道，豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可以近似地用公式0025htvty表示，其中h0(m)是拋出時的高度，v0(m/s)是拋出時的速度．
一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起，小球距離地面的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如圖所示，觀察并思考下列問題：
（1）h和t的關系式是什么？
tth4052
3
（2）小球經過多少秒后落地? 你有幾種求解方法?與同伴進行交流. [方法一]看圖象可知，8秒落地 [方法二]解方程：04052tt
設計意圖：本環節以物理問題引入，在建立數學模型解決問題的過程中，讓學生體會學科間的聯系及數學建模思想，滲透了數學核心素養中的數學建模.（2）中用不同的方法解決問題，讓學生體會數形結合的思想，同時感知體會到二次函數和一元二次方程之間的聯系.
第三環節：觀察思考，探究新知
二次函數221
2222
2xxyxxyxxy，，的圖象如圖所示.
(1) 觀察每個圖象與x 軸有幾個交點？交點坐標是什么？
(2) 一元二次方程 x²+2x=0, x2-2x+1=0有幾個實數根?一元二次方程 x²-2x+2=0 有實數根嗎?請分別求出它們的根；
二次函數圖象
圖象與x軸的交點
一元二次方程
方程的根
與x軸有兩個交點： （-2,0）、（0,0）
022
xx
0
221xx
x
xy22x
xy22
1
22xxy2
22xxy
4
與x軸有一個交點：(1,0)
0
122xx
1
21xx
與x軸沒有交點
0
222xx
方程無 實數根
第四環節：交流合作，解決問題
思考：(3)通過（1）（2）的探索過程，你有什么發現嗎？
(4)二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的坐標與一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么關系？ 歸納總結：
二次函數y=ax2+bx+c的圖 一元二次方程ax2+bx+c=0 象和x軸交點有三種情況: 的根有三種情況：
有兩個交點 有兩個不相等的實數根 有一個交點 有兩個相等的實數根 沒有交點 沒有實數根
二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根. 設計意圖：三四兩個環節使學生經歷探索二次函數與一元二次方程及根的判別式之間的聯系.通過獨立思考，自主探索及小組合作理解二次函數圖像與x軸交點的個數與一元二次方程根的個數之間的關系.理解二次函數與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程的根.（1）（2）是觀察思考獨立解決問題并發現問題的過程；（3）（4）是發現問題并解決問題的過程，這一過程要給學生充分的思考、討論、并嘗試表達的時間，其中(4)又體現了結論由特殊到一般的過程，體現了數學的理性思維及數學結論的嚴謹性.
1
22xxy2
22xxy
5
第五環節：課堂練習，鞏固新知
1.若方程ax2+bx+c=0的根為x1=-2和x2=3，則二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點坐標是________.
2.拋物線y=0.5x2-x+3與x軸的交點情況是（ ）
A 兩個交點 B 一個交點 C 沒有交點 D 畫出圖象后才能說明 3.拋物線y=x2-4x+4與x軸有___個交點，坐標是______. 4.不畫圖象，求拋物線y=x2-3x-4與x軸的交點坐標.
設計意圖：本環節的目的就是為了及時對新知進行鞏固練習，檢測學生對知識理解情況，同時在練習的過程中讓學生再次體會二次函數的圖象與一元二次方程的根之間的聯系及如何運用這些知識解決數學問題.
第六環節：拓展延伸，知識升華
一元二次方程x2-4x+4=1的根與二次函數y=x2-4x+4的圖象有什么關系？試把方程的根在圖象上表示出來.
設計意圖：本環節的目的是為了讓學生初步感知一元二次方程的根就是二次函數的圖象與直線y=h（h是實數）交點的橫坐標.讓學生自己動手畫親自感受圖象與方程的聯系，感知數形結合解決問題，同時這一問題也是對“y=0”的升華.
解決實際問題
在本節開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60m？你是如何知道的？
解法1：令h=60
t
th4052
6
6
20)6)(2(0
128604052122tttttttt，
故2s和6s時，小球離地面的高度是60m． 解法2：看圖象．
設計意圖：運用解決上一問題得到的經驗來解決實際問題.學生通過兩種方法再次對比體會一元二次方程和二次函數之間的聯系.理解二次函數y=ax2+bx+c的圖像與直線y=h交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=h的根.
第七環節：課堂小結
談談本節課你的收獲（知識、思想、方法、情感......） 歸納：
1.二次函數圖象與一元二次方程根的關系
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.思想方法：數學建模、數形結合、分類討論
設計意圖：讓學生從多方面談談本節課的收獲，不僅讓學生再次回顧課堂，也體現了新課標的四維教學目標，讓不同程度的學生都能體會到本節課的收獲.
第八環節：布置作業
必做題
課本52頁習題2.10第1（2）、2題． 選做題
已知拋物線y=x2+2x+m+1，若拋物線與直線y=x+2m只有一個交點，求m
二次函數一元二次方程一元二次方程y=ax2+bx+c的
圖象和x軸交點
ax2+bx+c=0的根
ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4ac
有兩個交點有兩個相異的實數根b2-4ac> 0
有一個交點有兩個相等的實數根b2-4ac= 0沒有交點
沒有實數根
b2-4ac< 0
7
的值.
設計意圖：必做題是對課堂知識的鞏固，選做題是對“二次函數y=ax2+bx+c與直線y=kx+b的交點坐標與方程ax2+bx+c=kx+b的根的關系”的補充，讓學生課下探究思考，是對本節課的進一步升華.
第九環節：課堂寄語
二次函數與一元二次方程的關系，體現了“數形結合”這一重要的數學思想方法.也啟示我們在學習和生活中只要善于觀察和思考，就能發現事物之間的各種聯系，去探索科學的奧秘.
板書設計
2.5 二次函數與一元二次方程（1）
1、圖像和x軸交點個數 方程的根 兩個 兩個不相等實數根
一個 兩個相等實數根
沒有 沒有實數根
2、圖像和x軸交點橫坐標 方程的根
1、y=ax2+bx+c y=0 ax2+bx+c=0 2、y=ax2+bx+c y=h ax2+bx+c=h
教學反思
本課時內容表面上顯得很簡單，實際上是初高中銜接中的關鍵點之一，備課過程中要緊扣課標，注重培養學生數學核心素養，講授時需緊緊扣住數形結合的思想這條主線.
首先，本節課是從學生已有的二次函數知識和一元二次方程知識展開：復習回顧——問題情境——探究發現——得出結論——理解運用，在課堂上注重培養學生自己發現問題并解決問題能力.整節課從學生回答問題的情況來看，學生大多數理解了二次函數的圖象和一元二次方程根之間的聯系，會用數形結合的思想思考問題并解決問題，達到了教學目標；其次，是對討論的環節的放手，能夠使每個學生都發表自己的見解，使每個學生都參與其中；再次，在設計中關注學生的情感態度，強調知識的主動獲得，鼓勵學生的積極參與探究的信心，照顧到學
8
生已有知識及經驗水平；最后，在本節課的教學設計中，注重問題的引導，啟發性的問題追問，從個例到一般，層層深入，讓學生逐步的獲取知識和情感的體驗.
總體來說，這節課的教學設計和課堂活動充分體現了新課標的要求，但仍有不足之處，如教學的語言需要進一步凝練，板書需進一步規范等.總之，在今后的教學中我會緊扣新課標的理念，揚長避短，使自己的課堂越來越好！
視頻來源：優質課網 www.jjlqy.cn
