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視頻標簽：二元一次方程組
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第八章第一節(jié)8.1“二元一次方程組”湖北省優(yōu)課
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8.1二元一次方程組
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第八章“二元一次方程組”第一節(jié)8.1“二元一次方程組”. 2.內(nèi)容解析
根據(jù)《課程標準（2011年版）》的要求，方程是刻畫現(xiàn)實世界實際意義的必要模型，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生在七年級上冊已學(xué)過一元一次方程，已經(jīng)具備列一元一次方程解決實際問題的經(jīng)驗基礎(chǔ)，為本節(jié)的學(xué)習(xí)已做好知識儲備，本章再次重建方程教學(xué)的內(nèi)容體系，本節(jié)課以激發(fā)學(xué)生的認知沖突為目標，為后繼其它方程的學(xué)習(xí)做好遷移和鋪墊。教學(xué)中從實際問題出發(fā)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流等活動，認識二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，突出建模思想，使學(xué)生逐步認識到建立方程（組）是解決實際問題的基本途徑之一，逐步培養(yǎng)學(xué)生的類比分析和歸納概括能力，滲透變與不變的辨證統(tǒng)一思想。
在實際問題中，根據(jù)兩個等量關(guān)系直接列二元一次方程，比列一元一次方程更容易，而二元一次方程有無數(shù)個解，是與一元一次方程的解不同之處。二元一次方程組的解是兩個方程的公共解。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：掌握二元一次方程及二元一次方程組的相關(guān)概念。
二、目標和目標解析
1.目標
（1）掌握二元一次方程（組）及其解的概念，會判斷一對數(shù)是否是二元一次方程（組）的解。
（2）會用類比的思想進行知識遷移，會用方程的思想解決實際問題，初步體會數(shù)學(xué)建模思想.
（3）在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中,體會探索的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探索創(chuàng)新精神.
2.目標解析
達成目標（1）的標志是：學(xué)生會判斷哪些是二元一次方程（組），會判斷一對數(shù)是否是二元一次方程（組）的解。 達成目標（2）（3）的標志是：學(xué)生能主動參與數(shù)學(xué)活動，自主的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.
三、教學(xué)問題診斷分析
方程、一元一次方程既是學(xué)生原有的認知經(jīng)驗，也是新知學(xué)習(xí)的生長起點。學(xué)生在學(xué)習(xí)了二元一次方程組后，還要繼續(xù)學(xué)習(xí)新的方程和方程組，甚至是不等式和不等式（組）等，二元一次方程（組）的學(xué)習(xí)過程具有承上啟下的橋梁作用，是貫通方程（組）、函數(shù)、不等式（組）的重要紐帶。
本節(jié)課的內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)有非常重要的作用，
在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分觀察、分析、討論、歸納，在形象直觀感知的基礎(chǔ)上得出結(jié)論，加深認識，從而對“元”的認識得到進一步深化，對方程思想、類比思想的感悟逐漸得到強化。
所以，本節(jié)課教師要大膽放手，給學(xué)生空間，讓他們自主去探索；給學(xué)生時間，讓他們自主去體會，使教學(xué)活動收到更好的效果。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點: 類比一元一次方程，了解二元一次方程（組）這一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
四、教學(xué)支持條件分析
本節(jié)課以多媒體課件為主，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法等，通過動感的畫面，選擇學(xué)生感興趣的問題作為例子，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生自主獲取新知，提高他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
五、教學(xué)過程設(shè)計：
活動一：觀看球賽——我來說
2019籃聯(lián)籃球世界杯將在中國舉行，學(xué)校也進行了籃球聯(lián)賽，請看大屏幕。作為一名中學(xué)生，你對籃球賽了解多少？
【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設(shè)生活情境，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。
活動二：解決問題——我來列
問題一：在籃球比賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在10場比賽中得到16分，那么勝負場數(shù)分別是多少?
思路一：設(shè)一個未知數(shù)，根據(jù)其中一個等量關(guān)系表示另一個未知量，借助于另一個等量關(guān)系列出方程。
思考：1、所列的是什么方程？
2、解這個方程的一般步驟和依據(jù)是什么？ 3、列方程的等量關(guān)系是什么？ 問題（1）（2）指引學(xué)生回顧一元一次方程的相關(guān)知識，問題（3）引導(dǎo)學(xué)生找到更多的等量關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)另一個等量關(guān)系的用途。
思路二：設(shè)兩個未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系，直接列兩個方程。 問題：這兩種方法有什么異同？ 學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)：
相同點：都有兩個未知量，兩個等量關(guān)系。
不同點：列一元一次方程，設(shè)一個未知數(shù)，根據(jù)一個等量關(guān)系用一個未知量表示另一個未知量，根據(jù)另一個等量關(guān)系列出方程。設(shè)兩個未知數(shù)，則是根據(jù)兩個等量關(guān)系直接列出兩個方程。
問題二：七（1）班勝5場，負4場，總積分12分場；七（6）班勝3場，負7場，總積分13；那么籃球聯(lián)賽中勝1場、負1場分別得多少分？
在問題1的基礎(chǔ)上，學(xué)生多數(shù)設(shè)了兩個未知數(shù)，列了兩個方程。
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生初步感受求兩個未知量的實際問題，列二元一次方程組比一元一次方程更容易，同時引導(dǎo)學(xué)生用類比的學(xué)習(xí)方法建構(gòu)本章節(jié)的知識框架，學(xué)會運用類比探索新知的方法．
活動三：形成概念——我會比 一、二元一次方程的概念
問題：類比一元一次方程的定義，什么是二元一次方程？
生：含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程是二元一次方程 練習(xí)1、辨一辨：判斷下列方程是否是二元一次方程？為什么？
（第2個方程，學(xué)生產(chǎn)生了認知沖突，從而進一步完善二元一次方程的定義。）
【設(shè)計意圖】學(xué)生在已有的一元一次方程知識的基礎(chǔ)上,進行知識遷移,在此過程中能充分體會類比的數(shù)學(xué)方法，注重學(xué)生獲取知識的過程和采用的方法，實現(xiàn)知識與方法的整體構(gòu)建。讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。 繼續(xù)判斷下列方程是否是二元一次方程？為什么？
【設(shè)計意圖】學(xué)生對方程的認識也從一元方程擴充到了二元方程，幾道練習(xí)題各有側(cè)重，加深學(xué)生對二元一次方程概念的理解。只有掌握了二元一次方程的定義，就能快速判斷、準確判斷方程是否是二元一次方程。 二、二元一次方程組的概念
方程①②中的x、y表示的實際意義相同嗎？（x都表示勝場數(shù)，y都表示負場數(shù)）
兩個方程合在一起就組成了方程組，含有兩個未知數(shù)，每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．
追問：二元一次方程組必須具備什么條件？
從定義中分析出二元一次方程組需要滿足的條件，這是理解概念的重要方法。 練習(xí)2、你能從下面幾個方程中選取兩個方程組成二元一次方程組嗎?
追問：1、去掉第一個方程中的y，（1）（6）組合是二元一次方程組嗎？
2、組成二元一次方程組的兩個方程必須是二元一次方程嗎？
【設(shè)計意圖】從問題中發(fā)現(xiàn)兩個方程相同未知數(shù)的意義是一樣的，引出二元一次方程組的概念。設(shè)計開放性的練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生從多種情況考慮問題，既提高了學(xué)生全面分析、解決問題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，通過追問，加深對二元一次方程組的理解。 三、二元一次方程（組）的解
問題1：類比一元一次方程的解，什么是二元一次方程的解？
填一填：章引言中滿足下列方程，且符合問題的實際意義的值有哪些？填入表。
x
…
1
-y32)3(x6
)2(st1)4(yx7
31zyx）（21
)
5(yx
212
3
)
6(y① 10yx6
)2(st731zyx）（1-y32)3(x1)4(yx21
)
5(yx
212
3
)
6(y
追
問： 1、你是如何確定x，y的值的？
（確定一個未知數(shù)的值，再帶入求另一個未知數(shù)） 2、這些x，y的值都是什么數(shù)？（非負整數(shù)解） 3、二元一次方程的解有多少個？（無數(shù)個）
問題2：方程
的解又是哪些？ 問題3：觀察方程①②的解，有什么新發(fā)現(xiàn)？
x=6,y=4，既滿足方程①，也滿足方程②，即x=6,y=4是兩個方程得公共解。
【設(shè)計意圖】學(xué)生通過對具體數(shù)值代入方程，經(jīng)歷猜想——探索——列舉——總結(jié)的過程，得出結(jié)論：（1）二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的；（2）二元一次方程的解有無數(shù)多個。這與一元一次方程有顯著的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)二元一次方程組解的概念，層次推進。
活動四：學(xué)以致用——我拓展
1、在 3對數(shù)中，
是方程組 的解. 2、寫出一個以57xy
為解的二元一次方程組是_________．
變式：將二元一次方程變成二元一次方程
3、在“答案”奶茶店中，一杯果汁和一杯奶茶共28元，佳佳買了3杯果汁和1杯奶茶，共花費54元．設(shè)果汁和奶茶的單價分別為x、y元，則列方程組為
拓展： x+y=28
小組討論：上述問題3中的二元一次方程組 3x+y=54 的解是多少 ？為什么？ 預(yù)設(shè)：
思路一：由①得，y=28-x，再代入方程②；
思路二：②-①得，2x=26,x=13,再代入方程①或②； 思路三：將x+y=28整體代入方程②.
【設(shè)計意圖】設(shè)計這組課堂練習(xí)，使學(xué)生熟練的掌握知識，形成技能，提高分析、解決問題的能力，同時培養(yǎng)嚴瑾的邏輯思考能力和舉一反三的學(xué)習(xí)習(xí)慣，小組討論充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)探究精神和良好的思維品質(zhì)，為本章接下來系統(tǒng)學(xué)習(xí)二元一次方程組的解做鋪墊。
活動五：整理歸納——我善學(xué)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？
1、知識:
二元一次方程
y
…
162yx②
1391
22yxyxyx③②①
728
3yxyx
類比思想
概念 二元一次方程組 本章的主要內(nèi)容 二元一次方程（組）的解 2、思想：類比
3、方法：比較、歸納、觀察 本章主要內(nèi)容：
本章主要思想：類比、建模、方程
【設(shè)計意圖】本節(jié)課從知識、思想、方法三個方面展開, 既有本節(jié)課的小結(jié)，也有本章的主要內(nèi)容，既有知識的總結(jié),又有方法的提煉，培養(yǎng)養(yǎng)了學(xué)生歸納概括能力,發(fā)展他們的語言表達能力.
活動六：當堂檢測——我能行
1．方程 是二元一次方程的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2、二元一次方程 5a－11b=21 （ ）
A． 有且只有一解 B．有無數(shù)解 C．無解 D．有且只有兩解
3、方程 與 的公共解是（ ）
A．3
333
...2422xxxxBCDyyyy
4、某班有40名同學(xué)去看演出，購買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，
乙種票每張8元，設(shè)購買了甲種票x張，乙種票y張，由此可列出方程組：________________. 【設(shè)計意圖】通過一組達標測評題，及時了解學(xué)生對本節(jié)知識掌握的情況，也是對教學(xué)重難點的一個考查。
活動七、課后作業(yè)——我行動
必做題：
1、課本P89練習(xí)
2、設(shè)計一個實際問題，并列二元一次方程組。 選做題：
我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？你能列二元一次方程組表示？其中的數(shù)量關(guān)系嗎？試找出問題的解。
【設(shè)計意圖】作業(yè)設(shè)計了一個開放題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，并運用于實際生活。
采用分層的形式面向全體，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。
六、板書設(shè)計
實際問題 方程
實際問題
xy1523yx，43-2yx,532zyx12
yx
，43
2yx，432
yx二元一次方程（組）
二元一次方程（組）的解
解法……
方 程 思 想 建模
思
想
一元一次方程 二元一次方程 二元一次方程組 定義 一個未知數(shù) 未知數(shù)的項的 兩個方程 未知數(shù)的次數(shù)是1 次數(shù)是1
x=a 解 x=a 無數(shù)個 y=b
解方程 等式的性質(zhì) 等式的性質(zhì) ？ 解決問題
七、教學(xué)設(shè)計說明
1、兩條主線：一明一暗相呼應(yīng)
本節(jié)課以“籃球聯(lián)賽”為主線， “類比思想”為暗線，通過觀察總結(jié)出二元一次方程（組）的定義，隨后教師進一步通過問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生歸納二元一次方程（組）的解的概念。使各個教學(xué)環(huán)節(jié)之間緊密聯(lián)系在一起，很好地實現(xiàn)了最初的預(yù)設(shè)效果。在數(shù)學(xué)中，每一個研究對象都是一個系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部往往有某種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，抓住這種結(jié)構(gòu)進行類比學(xué)習(xí)，可以簡化新系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程，有效提高學(xué)習(xí)效率。本節(jié)課在設(shè)計和實施過程中注重了對數(shù)學(xué)思想的滲透。
2、三次類比：一淺一深凸核心
從概念到解法，類比的思想從淺到深。學(xué)生回顧一元一次方程的整章學(xué)習(xí)過程后，通過類比遷移、歸納概括展開學(xué)習(xí)，逐步向?qū)W生滲透長遠的學(xué)習(xí)方法和基本套路，學(xué)生研究意識進一步強化。形成概念的過程中，比較了二元一次方程與一元一次方程的異同，歸納了二元一次方程組具備的條件，通過觀察發(fā)現(xiàn)了二元一次方程（組）的解特點。拓展的多種二元一次方程組的解法，依據(jù)依然是等式的性質(zhì)。二元一次方程的學(xué)習(xí)過程完全類比一元一次方程，從實際問題出發(fā)，列二元一次方程組，解二元一次方程組，再回到實際問題。通過更深層次的類比，學(xué)生了解了本章的主要內(nèi)容。
3、三輪重構(gòu):一節(jié)一章為整體
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”。對于二元一次方程組來說，它的知識生長點是一元一次方程，通過一元一次方程的概念、解法、應(yīng)用，可以遷移到二元一次方程組中來，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗、已熟悉的研究路徑繼續(xù)研究新的內(nèi)容，這有利于學(xué)生今后學(xué)習(xí)“一元二次方程”等一系列方程。讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”，從整體上對學(xué)習(xí)內(nèi)容有初步的感悟和體驗，理清知識的脈絡(luò)，形成科學(xué)完善的數(shù)學(xué)。同時學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升：學(xué)會數(shù)學(xué)建模、學(xué)會歸納概括、學(xué)會類比分析、學(xué)會邏輯推理、學(xué)會直觀想象……
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jjlqy.cn
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